Graphe universel induit pour les graphes de degr´e deux

Lemme 6. Le graphe Un,2 repr´esent´e dans la figure 15 ayant ⁵₂n+O(1) sommets et ⁹₂n+ O(1) arˆetes est un graphe Fn,2-universel induit.

D´emonstration. Il suffit de prouver que chaque grapheG∈ F^n,2 est un sous-graphe induit

_n

2

+ 5 tuiles en s´erie

Figure 15 – Le graphe F^n,2-universel induit Un,2.

deUn,2. Pour 16i6n, soitni le nombre de composantes connexes deGayantisommets.

Le degr´e deG´etant born´e par deux, les composantes connexes de Gsont donc des chemins ou bien des cycles. Par cons´equent, G contient n1 sommets isol´es, n2 K2 disjoints et pour i>3,ni cycles ou chemins disjoints de longueuri.

Le graphe U_n,2 est constitu´e de cycles de longueur 5 appel´es tuiles qui sont reli´ees en s´erie par quatre arˆetes chacune. On va montrer qu’il est possible d’encastrer les composantes connexes de G dans au plus _n

2

+ 5 tuiles et donc dans le graphe Un,2. Pour ce faire, on trie les composantes connexes deGd’apr`es leurs tailles et on les encastre dans les tuiles de Un,2 de gauche `a droite par taille croissante. Les sommets encastr´es sont repr´esent´es dans les figures par des sommets blancs.

_n1

2

+ 1 tuiles

Figure 16 – L’encastrement du stable de n1 sommets, utilisant _n1

2

+ 1 tuiles.

n2+ 1 tuiles

Figure 17 – L’encastrement de n2 K2, utilisant n2+ 1 tuiles.

3.2. Graphe universel induit pour les graphes de degr´e born´e 53

n3+ 1 tuiles

Figure 18 – L’encastrement desn3 composantes connexes de taille 3, utilisant n3+ 1 tuiles.

2n4+ 1 tuiles

Figure 19 – L’encastrement desn4composantes connexes de taille 4, utilisant 2n4+1 tuiles.

2n5 tuiles

Figure 20 – L’encastrement des n5 composantes connexes de taille 5, utilisant 2n5 tuiles.

k−1 tuiles k−1 tuiles

Figure 21 – Pourk >3, l’encastrement des n2k composantes connexes de taille 2k, utilisant kn2k tuiles.

k−1 tuiles k−1 tuiles

Figure 22 – Pour k >3, l’encastrement des n2k+1 composantes connexes de taille 2k+ 1, utilisant kn2k+1 tuiles.

Il est facile de v´erifier que pour tout i, l’encastrement des composantes connexes de taille i est induit. De plus, il n’y a pas de sommet de G encastr´e dans la derni`ere tuile de la partie de Un,2 utilis´ee pour encastrer les composantes connexes de taillei. Il n’y a donc par d’arˆetes reliant des sommets de composantes connexes de tailles diff´erentes. Par cons´equent, l’encastrement de Gdans U<sub>n,2</sub> est bien induit. Il ne reste donc plus qu’`a majorer le nombre l de tuiles n´ecessaire pour encastrer G.

l = n1

Remarque 3. Pourn>10, il est possible de construire un sch´ema d’adjacence en⌈logn⌉+ 3 bits pour la famille F^n,2 `a partir de Un,2 de telle sorte que l’adjacence se teste en temps constant et l’´etiquetage s’effectue en temps O(n).

D´emonstration. L’id´ee est tout simplement d’´etiqueter Un,2 de telle sorte que l’on puisse tester l’adjacence en temps constant `a partir des ´etiquettes des sommets. On ´etiquette chaque sommet v ∈V(Un,2) avec un couple (iv, jv) o`uiv est le num´ero de la tuile de v, les tuiles ´etant num´erot´ees de gauche `a droite, et jv sa position dans sa tuile (voir figure 23).

Ce couple peut se coder avec logn+ 3 bits. Pour toutv ∈ V(Un,2), iv 6n/2 + 56n car n>10 et j_v 64 et donc i_v peut se coder avec ⌈logn⌉ bits et j_v avec 3 bits.

L’´etiquetage d’un grapheGconsiste simplement `a encastrerGet `a mettre les ´etiquettes de Un,2 aux sommets correspondants de G. L’encastrement de G peut se faire en temps

3.2. Graphe universel induit pour les graphes de degr´e born´e 55

(i,0)

(i,3)

(i+ 1,0)

(i+ 1,3) (i,4) (i,1)

(i,2)

(i+ 1,1)

(i+ 1,2) (i+ 1,4)

Figure 23 – L’´etiquetage de Un,2.

lin´eaire ´etant donn´e un d´ecoupage du graphe en composantes connexes. Or, ce d´ecoupage se calcule facilement puisque G a un degr´e born´e.

On cherche `a tester l’adjacence entre deux sommets u, v ∈ V(G). Le test peut se calculer tr`es facilement grˆace `a la condition suivante en supposant sans perte de g´en´eralit´e que iu 6iv :

(u, v)∈E(G)⇔

iu =iv et (iu ≡jv + 1 (mod 5) oujv ≡ju+ 1 (mod 5)) ouiv =iu+ 1 et (ju =jv ∈ {0,3} ou (ju ∈ {1,2} et jv = 4))

On peut se demander s’il est possible d’obtenir un graphe universel induit ayant moins de sommets et si oui combien de sommets on peut r´eduire le graphe. On donne un ´el´ement de r´eponse `a cette question dans le fait suivant.

Fait 2. Chaque graphe F^n,2-universel induit contient au moins 11_n

6

sommets.

D´emonstration. Soit n un multiple de 6. On consid`ere les trois graphes suivants : – Le stable de n sommets not´e G1,

– L’union disjointe de n/2K2 ou arˆetes, not´eG2, – L’union disjointe de n/3K3 ou triangles, not´e G3.

Ces trois graphes ont n sommets et leur degr´e est clairement born´e par deux. On en d´eduit que tout graphe Un,2 F^n,2-universel induit doit contenir ces trois graphes en tant que sous-graphe induit.

Les stables dansG3 ont au plusn/3 sommets car chaque triangle ne peut contenir qu’un seul sommet par stable. Il s’en suit que Un,2 doit contenir un stable de 2n/3 sommets qui est sommet-disjoint de l’encastrement deG3 car autrement il ne contiendrait pas un stable den sommets (G1).

On consid`ere maintenant l’encastrement du graphe G2. Deux arˆetes deG2 ne peuvent avoir leurs extr´emit´es encastr´ees dans les trois sommets correspondant `a l’encastrement d’un triangle deG3. En effet, dans le cas contraire, il existerait une arˆete entre deux arˆetes disjointes deG2 et l’encastrement ne serait pas induit. On en d´eduit queUn,2 doit contenir

n/3 triangles plus un graphe H_n ayant un stable de taille 2n/3 et le graphe compos´e de n/2−n/3 =n/6 arˆetes disjointes en tant que sous-graphe induit. Le graphe Hn doit avoir au moins 2n/3 +n/6 = 5n/6 sommets puisque chaque arˆete de G2 ne peut avoir plus d’une extr´emit´e contenue dans un stable. Au final, U_n,2 a au moins 11n/6 sommets pour n multiple de 6. Donc, n’importe quel graphe F^n,2-universel induit a au moins 11⌊n/6⌋ sommets pour n quelconque.