Partie expérimentale : Étude par régression

Dans cette partie, nous proposons de réaliser l’étude en utilisant la première et la deuxième méthode décrites précédemment.

4.5.1

1

_{Formule : α ∗ CA + β ≈ Nombre d’emplois}

On se propose ici d’étudier la relation la plus simple que nous avons supposée précédemment, à savoir : α ∗ CA + β ≈ Nombre d’emplois. Nous obtenons les résultats suivants :

Secteur Plastique et caoutchouc Chimique Médical Sidérurgie Tous secteurs

Nombre de points 139 50 112 217 475

α 5.9017 ∗ 10−6 2.5782 ∗ 10−6 7.2207 ∗ 10−6 7.5279 ∗ 10−6 6.1591 ∗ 10−6 β 1.14 ∗ 10−6 0.00116934 0.0011697 0.000288296 0.000292573

AEP 38 % 63 % 38 % 39 % 47 %

4.5. PARTIE EXPÉRIMENTALE : ÉTUDE PAR RÉGRESSION

Secteur Plastique et caoutchouc Chimique Médical Sidérurgie Tous secteurs

Nombre de points 139 50 112 217 475 α 1.987 ∗ 10−6 1.934 ∗ 10−6 7.187 ∗ 10−6 6.413 ∗ 10−6 2.694 ∗ 10−6 β 8.827 5.862 1.059 2.849 6.137 R2 0.49 0.59 0.75 0.77 0.5 α t value 10.16 7.965 17.813 26.895 21.83 α Pr(>|t|) < 2 ∗ e−16 < 5.32 ∗ e−10 < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 β t value 9.73 4.312 3.027 6.389 16.11 β Pr(>|t|) < 2.7 ∗ e−16 < 9.26 ∗ e−05 0.0031 1.03 ∗ e−9 < 2 ∗ e−16

Tableau 4.2– Estimation du nombre d’emplois en utilisant le CA avec la seconde méthode

Dans les deux cas, nous voyons que les meilleurs coefficients trouvés, c’est-à-dire ceux qui permettent de réduire l’erreur entre les valeurs estimées et réelles, ne satisfassent pas le critère de moins de 30 % (Tab.4.1) ou un coefficient R2_{acceptable (Tab.4.2). Nous constatons que les points sont dispersés formant un nuage autour} des valeurs trouvées, ce qui nous laisse penser que notre raisonnement est, comme nous le pensions, erroné.

Ceci s’explique car le chiffre d’affaires, d’après la définition, correspond au produit de chaque production (la quantité de différents biens vendus) par leurs prix respectifs. Ces prix tiennent compte de la matière première utilisée. À contrario, le nombre d’employés dépend du procédé et de la quantité produite. Par conséquent, si les procédés des entreprises comparés sont différents, notre hypothèse, bien que très intéressante, n’est plus valide. Pour donner un exemple, supposons trois entreprises F1, Fa1 et Fa2. L’entreprise F1 produit à partir de la matière première A le produit C. L’entreprise Fa1 produit à partir de la matière première A le produit B et l’entreprise Fa2 produit à partir de la matière première B le produit C. On peut facilement supposer que le prix de vente du produit C sera le même dans les deux cas. Par conséquent, avec une même production (même quantité), le chiffre d’affaires des entreprises F1 et Fb1 sera le même. Or, le procédé de fabrication du produit C n’est pas le même pour les deux entreprises puisque qu’elle n’utilise pas la même matière première et de ce fait, il est fort à parier que le nombre d’employés nécessaires ne sera pas le même non plus.

A

B

C

A

C

Figure 4.1– Schéma montrant que pour le même chiffre d’affaires, les procédés peuvent être différents

NOMBRE D’EMPLOIS D’UNE ACTIVITÉ

4.5.2

2

_{Formule : α ∗ (V A − EBE) + β ≈ Nombre d’emplois}

Dans cette section, on se propose de faire l’étude de la seconde formule proposée. Cette formule issue des relations comptables simplifiée, suppose une relation linéaire entre le coût de la masse salariale et le nombre d’emplois. Comme nous l’avons fait précédemment, on cherche ici les coefficients α et β de la formule réduisant au maximum l’écart entre les points réels et ceux estimés par la formule :

α ∗ (V A − EBE) + β ≈ Nombre d’emplois (4.15)

Nous obtenons grâce aux méthodes 1 et 2 les résultats résumés dans les tableaux suivants4.3 et4.4.

Secteur Plastique et caoutchouc Chimique Médical Sidérurgie Tous secteurs

Nombre de points 139 64 115 255 476

α 2.1744 ∗ 10−5 1.7482 ∗ 10−5 1.5288 ∗ 10−5 2.0599 ∗ 10−5 1.946 ∗ 10−5 β 0.0002862 0.000292425 0.000292572 0.000292572 7.3145 ∗ 10−5

AEP 19.8 % 33.2 % 35.79 % 28.13 % 31.71 %

Tableau 4.3– Résultats de l’estimation de l’effectif avec la première méthode

Secteur Plastique et caoutchouc Chimique Médical Sidérurgie Tous secteurs

Nombre de points 139 64 115 255 476 α 2.082 ∗ 10−5 1.431 ∗ 10−5 1.816 ∗ 10−5 1.729 ∗ 10−5 1.903 ∗ 10−5 β 1, 458 2.539 4.615 3.999 1.2409 R2 _{0.94 0.8749 0.922 0.92 0.86} α t value 47.24 18.127 36.110 94.523 63.567 α Pr(>|t|) < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 β t value 1.641 2.495 1.451 7.160 6.187 β Pr(>|t|) 0.106 0.0162 0.15 8.42 ∗ e−12 1.17 ∗ e−9

Tableau 4.4– Résultats de l’estimation de l’effectif avec la seconde méthode

Nous voyons ici que les résultats obtenus sont corrects avec les deux méthodes et, pour la première méthode, ils avoisinent le critère recherché d’un écart de moins de 30 %. La droite de régression linéaire pour le secteur de la sidérurgie, montre que la grande majorité des points se trouve dans la zone de confiance. De même, un nombre significatif de points se situe dans la tranche de prédiction à 95 %. Ainsi, la figure Fig.4.2montre une tendance à la linéarité conformément aux hypothèses. Cette tendance est confirmée sur la figure Fig.4.3qui correspond à la figure précédente avec un zoom sur la première partie du graphe (valeurs VA-EBE inférieures à 3 ∗ 106). On remarque par conséquent qu’il n’y a pas de « dispersion » suite à la suppression des valeurs extrêmes.

4.5. PARTIE EXPÉRIMENTALE : ÉTUDE PAR RÉGRESSION

Secteur sidérurgique : EFF = fct(VA-EBE)

Con
ance

Figure 4.2– Dans le secteur sidérurgique,

régression linéaire avec les moindres car- rées

Figure 4.3– Dans le secteur sidérurgique,

régression linéaire avec les moindres car-

rés pour des valeurs VA-EBE < 3 ∗ 106

Secteur sidérurgique : EFF = fct(VA-EBE)

erreur E
estimé =EFF

Figure 4.4– Estimation de l’effectif dans le secteur sidérurgique

Secteur sidérurgique : résiduelles/ valeurs

Valeurs résiduell es Valeurs estimées E
estimé = E
erreur 50% erreur 40% erreur 30%

Figure 4.5– Valeurs résiduelles vs valeurs

estimées dans le secteur sidérurgique

Figure 4.6– Écart relatif par rapport à l’effectif tout secteur

Figure 4.7– Écart relatif par rapport à l’effectif tout secteur pour un effectif compris entre 15 et 100 personnes

NOMBRE D’EMPLOIS D’UNE ACTIVITÉ

Figure 4.8– Écart relatif par rapport à l’effectif tout secteur pour un effectif compris entre 15 et 100

et dont l’écart est compris entre +/- 50%

Le graphique Fig.4.4 suggère une assez bonne corrélation pour le secteur sidérurgique avec néanmoins une dispersion pour les effectifs faibles. Ceci se confirme sur la figure Fig.4.5 qui montre que pour de nombreuses entreprises ayant un effectif inférieur à 10 personnes, les points présentent un pourcentage d’erreur supérieur à 30 %. Néanmoins, ceci peut s’expliquer par le fait que le nombre d’employés est un entier et par conséquent, sur des petits nombres, une erreur de 1 ou 2 employés peut produire des pourcentages d’erreur importants. De plus, les valeurs-p2 _{du tableau Tab. 4.4montrent que l’hypothèse nulle est rejetée pour le coefficient α mais qu’elle} ne l’est pas pour le coefficient β pour les secteurs Médical et Plastique & caoutchouc (valeur-p > 0.05). Il semble donc qu’il y ait bien une relation entre VA-EBE et l’effectif.

Enfin, les graphiques Fig.4.6, Fig.4.7 et Fig.4.8montre l’écart relatif, r2 = Ef f −Ef f Calcule_{Ef f} , par rapport à l’effectif réel (y). La figure Fig.4.6 montre que le taux d’erreur augmente lorsque l’effectif tend vers zéro. Cependant, pour un effectif compris entre 15 et 100 personnes, Fig.4.7, l’écart relatif semble suivre une droite montrant ainsi qu’une tendance linéaire se dégage conformément aux hypothèses posées. Enfin, la figure Fig.4.8 illustre le fait que l’écart relatif est de +/- 50% pour la majorité des points avec une concentration au centre (ce qui corrobore les précédents résultats). Par conséquent, au-delà d’un intervalle d’erreur, cette régression semble montrer qu’il y a une tendance linéaire de l’ensemble à condition de garder une sélection large dans le nombre d’effectifs.

4.5.3

3

_{Formule : α ∗ V A + β ∗ EBE + γ ≈ Nombre d’emplois}

De même que précédemment, nous cherchons à réaliser l’étude pour la troisième formule : α∗V A−β ∗EBE ≈ Nombre d’emplois. L’étude nous donne les résultats consignés dans les tableaux Tab.4.5et Tab.4.6.

Secteur Plastique et caoutchouc Chimique Médical Sidérurgie Tous secteurs

Nombre de points 139 50 112 217 475

α 2.07 ∗ 10−5 1.65 ∗ 10−5 1.39 ∗ 10−5 2.10 ∗ 10−5 1.98 ∗ 10−5 β −1.86 ∗ 10−5 _{−1.771 ∗ 10}−5 _{−1.2945 ∗ 10}−5 _{−2.35 ∗ 10}−5 _{−1.98 ∗ 10}−5

γ 0.2384 0.238 0.19 -0.05 0.059

AEP 19 % 31 % 35 % 30 % 31.6 %

Tableau 4.5– Résultats obtenus avec la troisième formule première méthode

4.5. PARTIE EXPÉRIMENTALE : ÉTUDE PAR RÉGRESSION

Secteur Plastique et caoutchouc Chimique Médical Sidérurgie Tous secteurs

Nombre de points 139 50 112 217 475 α 2.117 ∗ 10−5 1.424 ∗ 10−5 9.766 ∗ 10−5 2.151 ∗ 10−5 1.422 ∗ 10−5 β −2.351 ∗ 10−5 _{−1.635 ∗ 10}−5 _{−2.02 ∗ 10}−5 _{−2.634 ∗ 10}−5 _{−1.638 ∗ 10}−5 γ 1.503 8.277 4.197 1.432 6.868 R2 0.94 0.944 0.84 0.945 % 0.96% α t value 45.6 37.55 6.668 44.338 91.103 α Pr(>|t|) < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 < 1.11 ∗ e−09 < 2 ∗ e−16 < 2 ∗ e−16 β t value -18.075 -20.452 -4.277 -17.224 -49.185 β Pr(>|t|) 2, 37 ∗ e−16 _{0.000168 4.08 ∗ e}−05 _{< 2 ∗ e}−16 _{< 2 ∗ e}−16

Tableau 4.6– Résultat de l’estimation de l’effectif avec VA et EBE par la troisième formule, deuxième mé-

thode

Réel

Estimé

Figure 4.9– Estimation du nombre d’employés dans le secteur des plastiques avec la première méthode

Le tracé des résultats (Fig. 4.9) obtenus avec la première méthode pour le secteur des plastiques et caou- tchoucs montre que l’estimation est correcte puisque, la grande majorité des points se trouvent sous les droites Eb2 et Eh2, représentant respectivement les limites de -20 % d’erreur et de +20 % d’erreur. Nous pouvons dresser le même constat que pour la seconde formule, à savoir que pour des effectifs petits, le critère d’erreur à moins de 30 % n’est pas respecté pour les mêmes raisons. De plus, on remarque que les valeurs obtenues avec les deux méthodes sont très proches et que l’utilisation de la troisième formule n’apporte pas un apport significatif. En effet, les valeurs de α et β sont, dans les tableaux Tab. 4.5 et Tab. 4.6 très proches ou identiques et à contrario, la marge d’erreur n’est pas significativement améliorer par rapport à la seconde formule.

Chimique Plastique et caoutchouc Sidérurgie Médical Réel Estimé

NOMBRE D’EMPLOIS D’UNE ACTIVITÉ

Figure 4.11– Écart relatif par rapport à

l’effectif tout secteur avec la troisième formule

Figure 4.12– Écart relatif par rapport à

l’effectif tout secteur avec la troisième formule pour un effectif compris entre 15 et 100 personnes

Enfin, l’estimation sur tous les secteurs confondus avec la première méthode et son tracé (Fig.4.10) montre qu’il y a bien une corrélation possible prenant en compte toutes les entreprises. Néanmoins, on remarque que le nuage de points est assez dispersé autour de cette tendance et laisse supposé que les coefficients obtenus en prenant en compte tous les secteurs donnent des résultats approximatifs. Par conséquent, nous pensons qu’il serait préférable de réduire à des secteurs d’activité similaires l’évaluation des coefficients pour l’obtention de résultats avec un taux d’erreur acceptable. Finalement, comme pour la seconde formule, les graphiques Fig.4.11 et Fig.4.12représentent l’écart relatif par rapport à l’effectif réel pour tous les secteurs confondus. La conclusion est la même, avec une erreur très importante pour un effectif proche de zéro, et une dispersion de l’écart compris à +/-50% pour un effectif compris entre 15 et 100.