DEUXIÈME PARTIE SYNTHÈSE BIBLIOGRAPHIQUE
II. 3.1.1.2.2 Orientation Externe
L’orientation externe définit la position et l’orientation angulaire de l’appareil photo au moment de la prise de vue. Les paramètres de position de l’orientation externe incluent Xo, Yo, et Zo, position du centre de perspective (O) par rapport au système de coordonnées terrestre (X, Y, Z). Zo est généralement égal à la hauteur de l’appareil photo au-dessus du niveau de la mer.
En utilisant les trois angles de rotation : omega (ω), phi (φ), et kappa (κ), le rapport entre le système de coordonnées spatiales d’une image (x, y, et z) et le système de coordonnées
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terrestres (X, Y, et Z) est déterminé. Une matrice de rotation [M] à trois dimensions, est employée :
[M]
=
m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 (4)[M]
=
m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 (4)La matrice de rotation est définie par une rotation séquentielle d’oméga (ω) autour de l’axe des abscisses, de phi (φ) autour de l’axe des ordonnées, et de kappa (κ) autour de l’axe z. Une vectrice image →a peut se définir comme le vecteur qui part du centre de perspective O au point d’image p (figure X). Un vecteur terrain A→ peut se définir comme le vecteur qui part du centre de perspective O au point terrain P. La vectrice image et le vecteur terrain sont situés sur la même ligne droite, impliquant que centre de perspective, point sur l’image et point sur le terrain sont colinéaires. La vectrice image et le vecteur terrain sont seulement situés sur la même ligne droite si l’on peut écrire l’équation (5) où k est un scalaire :
→
a = k A→ (5)
Une expression matricielle de cette même relation dans le système de coordonnées image va alors s’écrire sous la forme :
[a] = k[M][A] (6)
[a] est la matrice colonne relative à →a (en système image), [A] la matrice colonne relative à A→ (en système terrain), et [M] est la matrice de rotation (4). L’équation finale qui définit le rapport entre le centre de perspective O de l’appareil photo au moment de la prise de vue et le point P sur le terrain (point p sur l’image) est la suivante :
(7)
=
xp- xo yp- yo -fk[M]
Xp- Xo Yp- Yo Zp- Zo (7)=
xp- xo yp- yo -fk[M]
Xp- Xo Yp- Yo Zp- Zo Xp- Xo Yp- Yo Zp- Zooù xp et yp sont les coordonnées image du point terrain, xo et yo sont les coordonnées images du point principal et f est la distance focale, Xp, Yp et Zp sont les coordonnées terrain du point terrain, Xo, Yo et Zo sont les coordonnées terrain du centre de perspective (figue II.17 et II.18, tableau II.2). Cette équation est à la base de la colinéarité qui est employée dans la plupart des opérations photogrammétriques (Leica Geosystems GIS & Mapping, 2003). CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref
Figure II.17 - Paramètres de position de l’orientation externe (Leica Geosystems GIS & Mapping, 2003).
Figure II.18 - Paramètres d’orientation angulaire de l’orientation externe.
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Tableau II.2 - Légende des figures II.18 et II.19.
Terme Définition
ωφκ angles de rotation
O1 et O2 centre de perspective (Xo,Yo,Zo) de chaque image o1 et o2 point principal de chaque image (xo1-2,yo1-2)
P objet ponctuel sur le terrain (Xp,Yp,Zp)
p1 et p2 objet ponctuel sur chaque image (xp1-2, yp1-2)
f1 (de O à o1) et f2 (de O à o2) distance focale de chaque image
de O1 à p1 et de O2 à p2 vecteur image de chaque image
de O1 à P1 et de O2 à P2 vecteur objet 3D de chaque image
vecteur image et vecteur objet sont collinaires
Des points additionnels communs aux deux images stéréo (dits points homologues, ou PH), connus uniquement dans le système de coordonnées image, sont intégrés afin d’améliorer l’ajustement du modèle d’aérotriangulation. Ces PH peuvent être repérés manuellement ou de façon automatique par corrélation d’image.
II.3.1.1.3 Aérotriangulation
Afin d’accomplir la restitution d’un couple stéréo, une relation entre les paramètres de l’appareil photo, des photos et du terrain doit être établie. Pour définir cette relation on utilise les paramètres d’orientation interne et externe de chaque photo et une représentation précise du terrain par un ensemble de points de contrôle terrestres (PCT).
Les paramètres d’orientation externe d’une photo aérienne sont normalement inconnus et le calcul de ces paramètres est l’obstacle le plus important de la stéréorestitution. Selon les données d’entrée disponibles, plusieurs techniques sont employées pour définir les variables exigées dans la stéréophotogrammétrie. Parmi celles-ci, l’ajustement par paquet de blocs est la technique la plus rigoureuse considérant la minimisation d’erreurs et la distribution des résidus. La condition de coplanéité établit que les deux positions du capteur d’un couple stéréoscopique, ainsi qu’un point au sol quelconque et sa position image correspondante sur les deux images, doivent se situer dans un plan commun.
Une fois que chaque équation d’observation est formulée, la condition de colinéarité peut être résolue en utilisant l’ajustement par moindres carrés. Cette technique statistique est employée pour estimer les paramètres inconnus associés à une solution, tout en minimisant l’erreur. En ce qui concerne l’aérotriangulation, cette technique est employée pour : a) estimer ou ajuster les paramètres d’orientation interne et externe ; b) estimer les coordonnées X, Y, et Z des PH ; c) minimiser l’erreur et distribuer les résidus dans l’ensemble des PCT.
La solution par paquets de blocs utilise un calcul itératif des paramètres d’orientation interne et externe de chaque image dans un bloc, ainsi que des coordonnées de points homologues (PH) et de points de contrôle terrestre (PCT). Un bloc d’images contenues dans un projet est traité simultanément dans une solution en paquets de blocs (figure II.19).
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L’ajustement par moindres carrés est employé afin d’estimer la meilleure solution pour le bloc entier en réduisant l’erreur au minimum et en distribuant des résidus de façon équilibrée (Leica Geosystems GIS & Mapping, 2003).
La solution par paquets de blocs triangule les points de contrôle terrestre, re-projete les images et établit l’auto calibrage des photos, et ceci de manière simultanée. Cette technique est la plus rigoureuse considérant la minimisation d’erreurs et la distribution des résidus, elle produit les coordonnées finales XYZ de tous les points mesurés.
La mise en œuvre de la méthode par paquets de blocs, utilise le fait que dans la zone de recouvrement entre deux images il y a deux jeux de coordonnées images (x, y) pour chaque PCT (Xo, Yo, Zo), tous connus. Ainsi, deux équations de colinéarité pourraient être formulées pour chaque image (4 au total) afin de représenter le passage des données terrain à leurs coordonnées images correspondantes (équation 8). La condition de colinéarité peut être résolue en utilisant l’ajustement des moindres carrés.
Le jeu d’équations de colinéarité peut être formulé pour chaque PCT de chaque image (tableau II.2). Donc, pour chaque PCT (dans la zone de recouvrement entre deux images), nous avons 4 équations de colinéarité (coordonnées image et terrain par image, connus), et 9 paramètres d’orientation externe (3 de position et 6 d’orientation, inconnus).
Figure II.19 - Ajustement par paquets de blocs (www.geodesie-maintenance.com).
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Des erreurs systématiques subsistent à l’issue de l’aérotriangulation et se répercutent sur le MNT et les images associées. En mode numérique il s’agit des effets du non isotropie de la déformation de lentille ainsi que des effets d’une mauvaise disposition des mires dans la zone couverte par les clichés. Maatouk (2004) a réalisé des essais par rapport à la disposition des mires sur modèle réduit. Il montre des conséquences fortes sur la stabilité de l’aérotriangulation (basculement par exemple). Ainsi, une dissymétrie dans la disposition des mires a entraîné un déplacement en X jusqu’à 5,2 cm dans l’estimation de la position d’un appareil photo situé à 1,60 m d’altitude.
Il existe plusieurs manières de réduire les erreurs systématiques, comme la compensation a posteriori, le calibrage par données complémentaires de terrain, et l’approche par auto calibrage. Tandis que les deux premières méthodes sont coûteuses en temps, les approches par auto calibrage emploient des paramètres additionnels dans le processus de triangulation pour minimiser les erreurs systématiques. Dans la figure II.20 et le tableau II.3, nous pouvons observer les 12 paramètres additionnels de l’approche d’Ebner (1976) pour l’auto calibrage, et leurs effets sur les neuf points d’image.
Figure II.20 - Paramètres additionnels d’image pour l’auto calibrage (d’après Ebner, 1976). Tableau II.3 - Equations des 12 paramètres additionnels d’Ebner (1976).
X Y X Y a b1x -b1y g b7x(y2-2b2/3) - b b2y b2x h - b8(x2-2b2/3)y c -b3(2x2-4b2/3) b3xy i b9(x2-2b2/3)y - d b4xy -b4(2y2-4b2/3) j - b10x(y2-2b2/3) e b5(y2-2b2/3) - k b11(x2-2b2/3)(y2-2b2/3) - f - b6(x2-2b2/3) l - b12(x2-2b2/3)(y2-2b2/3) CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref
La recherche et le développement intensif des modèles « auto calibrage » dans la stéréophotogrammétrie se sont intensifiés pendant les années 1970 et 1980, et plusieurs de ces résultats sont opérationnels aujourd’hui. Les paramètres additionnels sont un moyen extrêmement efficace pour compenser les erreurs systématiques, quelle que soit leur provenance, qu’il s’agisse d’une distorsion résiduelle de l’objectif, de déformations du film (en cas de photo argentique), d’anomalies de réfraction, ou de toute autre source d’erreur (Kraus & Waldhäusl, 1998).