Operaciones y algoritmos: la multiplicación

El interés por los contextos numéricos no se agota con la expresión simbólica de los números. Hay una necesidad primordial diferente del recuento y la cantidad que son las

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acciones, relaciones y transformaciones cuantitativas que pueden realizarse con los objetos. Estas acciones se ven reflejadas en las operaciones numéricas. Las operaciones numéricas dan potencialidad al número y establecen conexiones entre números dotándolos de estructura.

Fischbein, Deri, Nello y Marino (1985) afirman que las operaciones aritméticas suelen ir asociadas a un implícito modelo intuitivo que media y restringe la resolución de problemas. Castro, Rico y Castro (1995), basándose en resultados de la investigación, establecen seis etapas en el aprendizaje de las operaciones: I) acciones y transformaciones en distintos contextos numéricos; II) uso de modelos a partir de relaciones y transformaciones de números; III) simbolización de la operación que represente todos los modelos; IV) hechos numéricos y su expresión canónica en tablas; V) algoritmos de cálculo de la operación de números; VI) aplicación a la resolución de problemas.

De las cuatro operaciones aritméticas básicas, este estudio se centra en la multiplicación.

Algunas definiciones y representaciones de la multiplicación son las siguientes:

Desde la teoría de conjuntos se define el número como el cardinal de los conjuntos equipolentes entre ellos, con lo que el producto de dos números naturales, es decir, el producto de dos cardinales, se define como el cardinal del conjunto ‘producto cartesiano’.

) rectángulo donde el resultado de la operación es el área del rectángulo cuya base es el multiplicando y la altura es el multiplicador (Castro et al., 1995). Esta representación permite extender la multiplicación al conjunto de números reales. La teoría de conjuntos permite demostrar las propiedades de la multiplicación, conmutativa, asociativa, distributiva respecto de la adición, existencia del elemento neutro 1 y del elemento absorbente 0.

Otra definición de la multiplicación entre números naturales consiste en la siguiente recurrencia, relacionada con la representación de la multiplicación como una suma repetida:

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La representación de la suma repetida 

veces n

x x

x x n

.

...







 es fácil de contextualizar a partir de material concreto. Este modelo suele corresponderse al modelo intuitivo que generalmente se utiliza para la multiplicación (Fischbein et al., 1985). Sin embargo esta definición conlleva inconvenientes:

 Dificulta la demostración de la propiedad conmutativa, puesto que tiene una interpretación diferente de .

 Dificulta la extensión de la multiplicación al conjunto de los números reales: es difícil comprender que significa sumar veces el número 3.

 Como consecuencia de tener que restringir el multiplicador a los números enteros, se facilita el supuesto de que el resultado de la multiplicación es mayor que los factores.

Figura 2. Representación de la multiplicación como suma repetida y según el esquema de correspondencia (Clark y Kamii, 1996, p. 42)

El pensamiento multiplicativo conlleva un grado de abstracción mayor que el pensamiento aditivo. La estructura multiplicativa, si bien puede relacionarse en ocasiones con la aditiva, no es reducible a aspectos aditivos, como por ejemplo en problemas de producto cartesiano y de proporcionalidad (Fernández y Llinares, 2012). Las investigaciones de Clark y Kamii (1996) y de Park y Nunes (2001) sostienen que la operación multiplicación se basa en el esquema de correspondencia y afirman que explicarlo de esta forma ayuda más a la comprensión de la operación por parte de los estudiantes que la suma repetida.

Comprender la multiplicación va más allá de calcular. Se debe comprender que la multiplicación puede usarse en diferentes situaciones, además de comprender las propiedades de la multiplicación y las relaciones entre multiplicación y suma o división.

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Un algoritmo se puede considerar como una serie finita de reglas y normas basadas en principios matemáticos –que pueden no ser manifiestos en la enseñanza– que permiten operar según un orden cualquier pareja de números y cuya aplicación garantiza la obtención de respuestas de un mismo tipo de problemas (Gallardo, 2004). Los algoritmos se suelen utilizar en las operaciones con números grandes que dificultan el cálculo mental. El algoritmo se caracteriza según Castro, Rico y Castro (1995) por la nitidez del proceso mecánico, por la eficacia en la obtención del resultado tras un número finito de pasos simples y por la universalidad en la aplicación a situaciones de un mismo tipo.

La comprensión del valor posicional es necesaria para comprender, aprender y usar los algoritmos de las operaciones aritméticas (Clements y Sarama, 2009). Sin embargo, la forma habitual de enseñar los algoritmos matemáticos básicos en primaria suele vaciar de valor posicional las cifras operando con cada dígito como si fuesen unidades aisladas. Se espera que el estudiante agilice el cálculo y recupere el sentido del número completo al terminar el algoritmo. Pero los resultados de la investigación demuestran que muchas veces el estudiante aprende una mecánica exenta de significado y no reconoce errores en el procedimiento (Clements y Sarama, 2009).

Según Sowder (1992), una escasa comprensión del valor posicional es causa de la mayoría de los errores computacionales en los algoritmos de las operaciones básicas con números naturales e incluso, en niveles escolares superiores, de las dificultades de los estudiantes en la comprensión de los números decimales. Clements y Sarama (2009) añaden la importancia de un sólido conocimiento de las propiedades y procedimientos de conteo como herramientas que facilitan el uso de algoritmos y su adaptación a cada situación.

El tema de la enseñanza de los algoritmos y, en concreto, del algoritmo de la multiplicación por números de varios dígitos, sigue teniendo interés en la investigación por varias razones. Por una parte, la generalidad del uso de estos procedimientos operatorios en las escuelas de la gran mayoría de países. Por otra, la constatación de que muchos profesores o estudiantes para profesor no son capaces de explicar versiones no habituales del algoritmo de la multiplicación por dos dígitos, hecho que puede indicar una ausencia de comprensión de las matemáticas necesarias para justificar el algoritmo (Clivaz, 2012).

Existen multitud de algoritmos de la multiplicación. Estos suelen compartir el uso de las propiedades matemáticas de la multiplicación, pero se distinguen por la disposición de los elementos. Considerando lo tratado en este estudio, se señalan el algoritmo estándar y la multiplicación en columna que se detallará más adelante (ver Figura 3).

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Algoritmo estándar Multiplicación en columnas Figura 3. Cálculo algorítmico