Aproximación al sistema decimal posicional

Se presentan los resultados sobre contenidos matemáticos relacionados con el sistema decimal posicional que Leire da muestra de considerar relevantes. Según el análisis realizado, se recoge la frecuencia de documentos primarios en los que aparecen estos contenidos. Esta frecuencia se mide según aparezca o no en una fuente de datos primaria, sin contabilizar la cantidad de menciones que hace de ese contenido en un mismo documento.

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Figura 14.Aparición de los contenidos VP y CD en las fuentes de datos

La Figura 14 da cuenta de que el valor posicional y la composición y descomposición numérica son elementos que se han mostrado presentes a lo largo de todo el proceso de recogida de datos.

Valor posicional

En relación con el sistema decimal posicional, se comienza analizando VP a fin de identificar los elementos clave en la comprensión del valor posicional de los números considerados por Leire. Siguen ejemplos de cada elemento clave identificado.

- Principio posicional: Distinción entre dígito y valor que representa dentro del número según posición

En la respuesta a la pregunta 7 del cuestionario inicial, pasado al principio del estudio, Leire identifica la distinción entre el dígito situado en la posición de las decenas, el uno, y la cantidad que representa, una decena:

No entiende que el 1 del 13 es una decena. (Septiembre 2011)

Esta distinción aparece en varias ocasiones. A modo de ejemplo, se presenta otra cita del curso siguiente, que muestra cómo Leire identifica que “cuatro” es la respuesta a la pregunta de qué dígito del número 143 está en la posición de decenas, mientras que la respuesta a la pregunta de cuántas decenas tiene el número 143 es “catorce decenas”.

Bueno en el [ciclo] medio se puede hacer poniendo ciento cuarenta y tres y aquí está, hay catorce [decenas]... Cambiaría los números... Claro, los niños que ya te lo saben hacer... Yo lo estoy haciendo en clase, ¿cuántas decenas hay? Hay catorce. 'Cuatro'.

No, cuatro es la cifra de las decenas... Yo añadiría [la pregunta] ¿y cuántas unidades hay? En el [ciclo] inicial serían unidades y en el [ciclo] medio pondría unidades,

Capítulo 4

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En la cita que se presenta a continuación, Leire no solo identifica el principio posicional de los números sino que alude a que los estudiantes pueden utilizar los nombres de las unidades de la numeración sin asociar esos nombres a la cantidad que representa.

Intento hacerlo así para que vean qué son las decenas, porque si no… unidades, decenas, centenas, sí de memoria lo ven, pero dónde están las decenas colocadas. Y qué es cada cosa. Y lo que añadía aquí también, porque yo esto no lo sabía, lo aprendí con la formadora, el ciento veinticuatro tiene doce decenas. (Noviembre 2012)

La investigación de Clivaz (2012) pone en evidencia que hay profesores que utilizan las expresiones valor posicional, centenas, decenas… como nombres de columnas en las que se organizan los números sin dotarlas de significado matemático. La cita de Leire antes señalada evidencia el conocimiento de este contenido relevante.

- Principio decimal: una unidad de la numeración corresponde a diez unidades del orden inferior

En la discusión mantenida entre la formadora y los maestros del ciclo medio, Leire muestra conocer la relación entre unidades de distintos órdenes:

Formadora: Una centena, vale, pero si yo analizo hasta aquí el número, mirad.

Otros: Una centena.

Leire: Son diez decenas.

Otros: Diez decenas.

Formadora: Son diez decenas. O cien unidades. Ahora bien, en la posición de las unidades, ¿qué cifra tenemos? Cero. (Septiembre 2011)

Más explícitamente, Leire identifica el principio decimal en la revisión de tareas basadas en el material manipulativo multibase:

Leire: Aquí puedes enganchar a muchos.

Formadora: Pero enganchar con errores de qué tipo.

Leire: Los que no tengan claro todavía que cada diez decenas es una centena, o que cada diez unidades es una decena. Que son grupos de diez. Es que el que tiene claro esto, que son grupos de diez, después... (Noviembre 2012)

Se evidencia la identificación del principio decimal para la conversión de centenas a decenas y de decenas a unidades, aunque en los datos no hay ejemplos de conversión entre unidades de órdenes superiores. Al comenzar el análisis de las tareas basadas en el material multibase, Leire identifica el problema de la escasez de cubos, piezas que

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simbolizan la unidad de mil. A esas alturas del curso, en tercero, comienzan a estudiar las unidades y decenas de mil. Por eso ve una limitación en el material, aunque piensa que puede fabricar una ampliación en la materia de plástica. Esta anotación adquiere importancia porque, según Tempier (2016), los alumnos de estas edades pueden realizar con éxito conversiones entre unidades de orden inferior sin garantizar su extensión natural a conversiones de órdenes superiores.

- El cero como ausencia de unidades de algún orden

Este elemento no se observa en los datos. Una de las tareas con material multibase preparadas por la investigadora para que Leire revisase contenía la tarea: De manera simbólica [con números] representa la cantidad que representa esta combinación de piezas del multibase [cuatro placas y tres unidades]. Intencionadamente no aparecían piezas de decenas, con lo que la representación numérica 403 incluye el cero como ausencia de unidades de segundo orden. Este elemento no fue identificado por la maestra. Lo mismo sucedió con la siguiente propuesta: Representa manipulativamente [con piezas del multibase] y simbólicamente [con números] estas cantidades expresadas de forma verbal. Mil setecientos dos. Tampoco aquí se resaltó que no aparecerían barras de decenas ni que el número, 1702, incluye la cifra cero en la posición de decena para simbolizar esa ausencia. Tempier (2016) da cuenta de la dificultad que encuentran algunos niños con la ausencia de unidades de cierto orden. Los que encuentran dificultad aquí, tienden a recomponer por yuxtaposición números como 1UM 2C 3D 4U en 1234 y generalizan esta forma de hacer a casos en los que no es válida, por la ausencia de unidades de cierto orden: 1UM 2D 3U en 123 en vez de 1023.

Composición y descomposición de los números

Un paso necesario para el desarrollo de procedimientos de cálculo de las operaciones aritméticas básicas es la comprensión del valor posicional de las cifras y la descomposición numérica (Gallardo, 2004).

- Composición y descomposición aditiva canónica y no canónica

La composición y descomposición aditiva canónica, es decir, según las unidades de la numeración (unidades, decenas, centenas…), es la descomposición que habitualmente se observa en los datos; por ejemplo, véase la siguiente cita de discusión entre Leire, Leonor y Aida, maestras del ciclo superior:

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Leonor: Una pregunta, si en vez de un doce, es que claro, yo estoy aquí que no me entero, si en vez de doce pones treinta y dos, ¿qué les haces poner diez más diez más diez?

Leire: No, ahí no.

Aida: No, treinta más dos.

Leonor: Ah, no sé, es que yo no…

Leire: Por ejemplo, mil quinientos treinta y ocho, les dices que pongan mil más quinientos más treinta más ocho.

Leonor: Vale, lo descomponen así. (Abril 2013)

Leire también identifica, en menor proporción, descomposiciones no canónicas:

Leire: No se me había ocurrido hacer el doble de siete, eso el doble de siete, hacerlo como lo has hecho tú.

Formadora: Pero, ¿qué hago ahí?

Leire: Cinco y cinco, y cuatro. (Septiembre 2011)

Este tipo de descomposiciones forman parte de los conocimientos que constituyen la segunda fase en el desarrollo de la comprensión del sistema decimal posicional planteadas por Resnick (1983) y que prepara la comprensión de los algoritmos de las operaciones.

"¿Puedes encontrar alguna manera más de hacerlo?" [Pregunta de las tareas con material multibase para el desarrollo del pensamiento numérico]

Leire: ¿Si ya has puesto tres [decenas] y siete [unidades]? Bueno a lo mejor, puedes dejarlo libre... Ya sé por dónde va: dos decenas y diecisiete unidades, y esto va bien en el *ciclo+ inicial para trabajar la resta llevando… O sea, para descomponer... Si un niño no..., tú le puedes explicar: ¿Y si cojo una decena y la desmonto? Y entonces ya... (Noviembre 2012)

Esta cita identifica los contenidos matemáticos que procuran el paso de la segunda a la tercera fase de comprensión del sistema decimal posicional de Resnick (1983). Primero se plantea la oportunidad de la pregunta sobre encontrar alguna manera más de representar el número 37. Cuestión que surge por haber representado ya el 37 en su descomposición aditiva canónica, esto es, 3D 7U. Acto seguido, Leire identifica otra posible descomposición aditiva no canónica, 2D 17U, y relaciona esta descomposición con el algoritmo de la resta con llevadas.

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79 - Composición y descomposición factorial

Leire no siempre identifica la descomposición factorial de los números. Por ejemplo, la pregunta 3 del cuestionario inicial pide describir en qué se basan los alumnos o qué conocimientos de numeración utilizan implícitamente para realizar unos determinados productos. En la respuesta dada, Leire explica: Primero hace la mitad de 14, multiplica y hace el doble (Septiembre 2011):

Figura 15.Respuesta a la pregunta 3.1. del cuestionario inicial

En la respuesta de la Figura 15, Leire identifica las operaciones dividir y multiplicar por dos como estrategia de cálculo, pero no identifica la descomposición factorial del 14 en 7x2. No identificar la descomposición factorial no implica desconocimiento, por lo que se decidió buscar en otras fuentes de datos posteriores. Al no aparecer en ninguna fuente primaria, se acudió a una fuente secundaria donde se planteó cuatro años después la misma pregunta a la maestra. La respuesta fue: Ha descompuesto el 14 en 7x2 y ha ido multiplicando por partes (Octubre 2015). Aquí sí se identifica la descomposición factorial.

La débil identificación de este contenido matemático relevante no afecta tanto al cálculo de la multiplicación mediante el algoritmo estándar o mediante la multiplicación en columna, pero sí podría afectar a la flexibilidad de las estrategias de cálculo.