Opérateur de concurrence

Définition 9.1.11. On définit sur l’ensemble E˘un opérateur, noté “∗”. On appelle cet opérateur de

produit de concurrenceet on le définit par :

1. ∀e₁, e₂ ∈E^˘, e₁∗e₂ existe et sie₁ 6=e₂, alorse₁∗e₂estirréductible; 2. Pour l’événement nul :

∀e∈E^˘, e∗O_E˘=O_E˘

3. Pour l’événement neutre :

∀e∈E^˘, e∗I_E˘=e

4. Soit un événemente∈E^˘, on associe un degré d’idempotence entier, notéη_e ∈ [1..+∞[, tel que l’on ait les propriétés suivantes :

∀e∈ E,∀i,1≤i < η_e e∗e∗. . .∗e | {z } ifois =O_E˘ (9.3) ∀e∈E^¯,∀i,1≤i < η_e e∗e∗. . .∗e | {z } ifois =I_E˘ (9.4) ∀e∈E^˘, i=η_e e∗e∗. . .∗e | {z } ifois =e (9.5) ∀i, i > η_e e∗e∗. . .∗e | {z } ifois

n’a pas de sens (9.6)

5. L’opérateur de concurrence est un opérateur associatif et quels que soient les événementse₁, e₂, e₃∈

˘

E,

e₁∗(e₂∗e₃) = (e₁∗e₂)∗e₃

6. L’opérateur de concurrence est un opérateur commutatif et quels que soient les événementse₁, e₂∈

˘

E,

e₁∗e₂ =e₂∗e₁

7. L’opérateur deconcurrence “∗” est distributif sur l’opérateur dechoix“+” et quels que soient les événementse₁, e₂, e₃ ∈E^˘,

e₁∗(e₂+e₃) = (e₁∗e₂) + (e₁∗e₃)

Dans un modèle SAN, le produit de concurrence est la représentation de l’occurrence dans la même unité de temps d’événements dans différents automates. Par exemple,e₁ ∗e₂ représente l’occurrence de l’événement e₁ dans un automate etl’occurrence de l’événement e₂ dans un autre automate dans la même unité de temps.

Dans la propriété (4)de la définition 9.1.11 sont présentées les propriétés d’un produit de concur-rence relatif au degré d’idempotence d’un événement. Le degré d’idempotence sera mis en relation avec le nombre d’automates concernés par un événement dans un modèle SAN. Pour un événement synchro-nisant concernantη_eautomates, celui-ci ne pourra avoir lieu que sie∗e∗. . .∗e

| {z }

ηefois

.

Définition 9.1.12. Soientpévénements deE˘, on écrit la forme itérée de l’opérateur de concurrence avec la notation suivante :

p ∗

9.1. OPÉRATEURS 163 Dans un modèle SAN à temps discret, où plusieurs événements peuvent avoir lieu simultanément dans un même automate, les facteurs d’un produit de concurrence peuvent être des combinaisons simul-tanées au lieu de “simples” événements deE˘.

Définition 9.1.13. Soientpcombinaisons simultanées(cs_i)^p_i=1, on appellecclacombinaison concur-rentedes(cs_i)^p_i=1:

cc= ∗^p

i=1cs_i =cs₁∗cs₂∗. . .∗cs_p (9.8) Les facteurs d’une combinaison concurrente sont des combinaisons simultanées qui représentent le produit de simultanéité d’événements dans un même automate. On remarque qu’un événemente₁ ∈ E^˘

peut être interprété comme une combinaison simultanéecsd’un seul événement (s= 1),i.e.,E˘_cs={e₁}.

Définition 9.1.14. Soit un événement e ∈ E^˘et une combinaison concurrente cc, on définit O_e(cc) le nombre de fois que l’événementeapparaît dans les combinaisons simultanées (cs) decc.

Dans le contexte des SAN, soit une combinaison concurrente et un événement, on cherche le nombre de fois que l’identificateur de cet événement apparaît dans les combinaisons simultanées de la combinai-son concurrente. On remarque queeapparaît au plus une fois dans chaquecc.

Propriété 9.1.1. Soit un événement e ∈ E^˘de degré d’idempotence η_e, une combinaison concurrente

cc=cs₁∗. . .∗cs_pavecpcombinaisons simultanées et unO_e(cc)donné, alors le produit de concurrence “∗” a les propriétés suivantes :

1. cc=cs₁∗. . .∗cs_p | {z } Oe(cc)=ηe =e·(cs^′₁∗. . .∗cs^′_p) cs^′_i = ( cs_i sie6∈E^˘csi cs⁻_i ^e sie∈E^˘_csi (9.9) 2. cc=cs₁∗. . .∗cs_p | {z } Oe(cc)<ηe =cs^′₁∗. . .∗cs^′_p sie∈E^¯etcs^′_i = ( cs_i sie6∈E^˘csi cs⁻_i ^e sie∈E^˘csi (9.10) 3. cc=cs₁∗. . .∗cs_p | {z } Oe(cc)<ηe =O_E˘ sie∈ E (9.11)

La propriété 9.1.1 est une extension de la propriété (4) de la définition de l’opérateur “∗” (Définition 9.1.11), où les facteurs d’un produit de concurrence sont des combinaisons simultanées au lieu de simples événements deE˘.

Dans le contexte des SAN, un événement est réalisable uniquement s’il est réalisable au même ins-tant danstous les automates concernéspar cet événement. On rappelle que l’ensemble d’indices d’auto-mates concernés par un événementeest noté parOeet|Oe|=η_e. Avec la vision de cet aspect positionnel des événements d’un modèle SAN à temps discret, le produit de concurrence “∗” possède la propriété suivante.

Propriété 9.1.2. Soit un événement e ∈ E^˘, une combinaison concurrente cc = cs₁ ∗. . .∗cs_N avec

N combinaisons simultanées, où une combinaison simultanée cs_i représente l’occurrence simultanée d’événements dans l’automate complétéA˘(i), et l’ensemble d’indices d’automates concernésOepar cet événemente, alors le produit de concurrence “∗” a les propriétés :

•Si pour toutcs_i, oùi∈ Oe,e∈E^˘csialors cc=cs₁∗. . .∗cs_N =e·(cs^′₁∗. . .∗cs^′_N) cs^′_i= ( cs_i sie6∈E^˘_csi cs⁻_i ^e sie∈E^˘csi (9.12)

•S’il existecs_i, oùi∈ Oe, tel quee6∈E^˘csi alors

sie∈E^¯,cc=cs₁∗. . .∗cs_N =cs^′₁∗. . .∗cs^′_N cs^′_i = ( cs_i sie6∈E^˘csi cs⁻_i ^e sie∈E^˘csi (9.13) sie∈ E,cc=cs₁∗. . .∗cs_N =O_E˘ (9.14) La propriété 9.1.2 est un cas particulier de la propriété 9.1.1, où les combinaisons simultanées cs

d’une combinaison concurrenteccpossède une information positionnelle en fonction des indices d’auto-mates d’un modèle SAN.

Cette vision permet d’obtenir une optimisation algorithmique. Par exemple, si on évalue la combi-naison concurrenteccde gauche à droite, dès le premier indicei∈ Oe, tel quee6∈E^˘csi, alors on constate par la propriété 9.1.2 queccest évaluée àO_E˘. Cette constatation est présentée par le corollaire suivant.

Corollaire 9.1.1. Soit un événemente∈ E et une combinaison concurrente cc= (cc_A)∗(cc_B), oùcc_A

etcc_Bsont des combinaisons concurrentes tel quecc_A=cs₁∗. . .∗cs_petcc_B =cs_p+1∗. . .∗cs_N, s’il existei∈ Oe, oùi≤p, tel quee6∈E^˘csi, alors

l’évaluation de cc_A = O_E˘ et par le produit de concurrence avec l’événement nul (propriété 2 de la définition 9.1.11) ce qui donnecc=O_E˘.

Sachant qu’une combinaison simultanéecs_ireprésente l’occurrence simultanée d’événements dans l’automate complétéA˘(i)d’un modèle SAN à temps discret (oùi∈[1..N]) et l’opérateur de concurrence est un opérateur commutatif, on peut définir un “attribut” pour chaque combinaison simultanéecsdans une combinaison concurrente cc = cs₁∗. . .∗cs_N afin de garder l’information relative à l’automate d’origine de cette combinaison simultanée.

Définition 9.1.15. Soit un modèle SAN( ˘E,A˘⁽ⁱ⁾,Sˆ,F)à temps discret (oùi∈[1..N]) et une combinaison concurrenteccrelative à l’occurrence globale d’événements du modèle SAN telle quecc = cs₁∗. . .∗

cs_N, oùcs_i représente l’occurrence simultanée d’événements dans l’automate complétéA˘(i), on définit l’attribut de position “a” pour la combinaison simultanéecs_itel que :

a(cs_i) =i

étantil’indice de l’automate complétéA˘(i)du modèle SAN (oùi∈[1..N]).

L’utilisation d’un attribut de position pour les combinaisons simultanées dans une combinaison concurrente a un rôle important dans la méthode de résolution d’un modèle SAN à temps discret qui sera présentée dans le chapitre 11.