Modèle SAN avec taux fonctionnel

Ainsi, la fonctionf₁détermine un taux d’occurrence variable pour l’événemente₁. Selon la fonction

f₁, l’occurrence de l’événemente₁se produira avec le taux suivant :

f₁=     

α si l’automateA⁽³⁾est dans l’état0⁽³⁾ 0 si l’automateA(3)est dans l’état1(3)

0 si l’automateA(3)est dans l’état2⁽³⁾

L’évaluation de f₁ donne le résultat en fauxquand l’automate A⁽³⁾ est dans les états1⁽³⁾ ou 2⁽³⁾,

i.e., la valeur résultant pour cette comparaison estzéro, qui annule le taux d’occurrence de l’événement

e₁. Donc, le taux fonctionnel associé au tirage de l’événement e₁ est tel que, le taux estα si l’état de l’automateA⁽³⁾est égal à0⁽³⁾et nul, ce qui empêchera que l’événemente₁puisse être tiré, pour tous les autres cas.

Les probabilités de routage d’un événement peuvent aussi être exprimées par des fonctions. La défini-tion de foncdéfini-tions utilisées pour exprimer les probabilités foncdéfini-tionnelles sont les mêmes que les foncdéfini-tions utilisées pour exprimer les taux d’occurrence d’un événement.

2.1. DESCRIPTION INFORMELLE DES SAN À TEMPS CONTINU 19 Dans FIG. 2.4, il faut observer que les probabilités de routageπ₁ etπ₂ de l’événemente₄sont aussi exprimées par une fonction. Comme on l’a dit précédemment, la somme des probabilités des transitions d’un événement à partir d’un même état doit être toujours égale à 1 (100%). Donc, de même si les probabilités de routage d’un événement sont exprimées par une fonction, cette caractéristique doit être respectée.

π₁=

(

1 si l’automateA(1)est dans l’état1(1)

0 si l’automateA(1)est dans l’état0⁽¹⁾ou2⁽¹⁾

π₂=

(

0 si l’automateA(1)est dans l’état1(1)

1 si l’automateA(1)est dans l’état0(1)ou2(1)

Dans cet exemple, les probabilitésπ₁etπ₂s’excluent,i.e., si le résultat de l’évaluation de la probabi-litéπ₁est égal à1, le résultat de la probabilitéπ₂sera égal à0, et vice-versa. Cependant, des probabilités exprimées par des fonctions n’ont pas toujours l’obligation de l’exclusion.

2.1.4 Fonction d’atteignabilité

Il y a un autre utilisation des fonctions pour la modélisation dans le formalisme SAN : lafonction d’atteignabilité. Les expressions qui définissent la fonction d’atteignabilité sont décrites de la même façon que les fonctions pour les taux et probabilités fonctionnels. Cependant, ce type de fonction a un rôle différent dans le formalisme.

Comme la représentation d’un modèle SAN est faite de façon modulaire et l’automate global (équi-valent à chaîne de Markov) est composé de la combinaison de tous les états des automates du modèle (Section 2.1.6, page 20), il faut déterminer une fonction sur le modèle global qui définit lesétats attei-gnablesdu modèle SAN.

La définition de quels états peuvent êtreatteignablesouaccessiblesdans un modèle SAN est donnée par lafonction d’atteignabilité. Jusqu’à présent, la fonction d’atteignabilité est définie par l’utilisateur. Il faut aussi remarquer que la fonction d’atteignabilité pourrait être calculée à partir d’un état initial et de transitions définies par le modèle. Ceci sera l’objet de notre contribution du chapitre 5.

Cette fonction utilise les règles adoptées pour la définition des taux et probabilités fonctionnels. La notion de fonction d’atteignabilité est plus claire si on imagine, par exemple, un modèle de partage de ressources avecN clients distincts qui partagent Rressources communes identiques entre elles. Ce système peut être modélisé par le formalisme SAN en utilisant un automate avec deux états pour chaque client. L’état0⁽ⁱ⁾indique que la ressource n’est pas utilisée par le clienti, tant que l’état1⁽ⁱ⁾indique que la ressource est utilisée par le clienti. Il est facile d’imaginer que s’il y a plus de clients que de ressources (N > R), l’état global qui représente tous les clients utilisant une ressource ne pourra pas se produire. Les états qui possèdent telle caractéristique sont nommés deétats non-atteignableset doivent être éliminés du modèle par lafonction d’atteignabilité. La probabilité du modèle se trouver dans quelconque de ces états est égale àzéro. La fonction d’atteignabilité correcte pour le modèle de partage de ressources décrit ci-dessus est5:

reachability=nb[A⁽¹⁾..A^(N)] 1≤R

Ainsi, la fonction d’atteignabilité représente un concept important dans la description de modèles SAN. Néanmoins, la complexité de certains modèles peut rendre la description de la fonction d’atteigna-bilité difficile à réaliser.

2.1.5 Fonction à intégrer

Une autre utilisation des fonctions dans la modélisation avec le formalisme SAN est l’utilisation de

fonctions à intégrer. Une fonction à intégrer est utilisée pour l’obtention d’indice de performance ou de fiabilité moyens sur le modèle. Ces fonctions évaluent, par exemple, la probabilité du modèle SAN de se trouver dans un état donné. Calculer un indice de performance moyen revient à intégrer cette fonction sur levecteur de probabilitéstationnaire ou transitoire du modèle.

Par exemple, avec le modèle de partage de ressources (décrit dans la section 2.1.4), on peut définir la fonctionupour déterminer la probabilité de l’automateA⁽¹⁾de ne pas utiliser une ressource (quand l’automateA(1)se trouve dans l’état0(1)).

u=st(A⁽¹⁾) == 0

Toutes les fonctions utilisées dans les modèles SAN sont décrites de la même façon, ce qui les différencie est l’utilisation de chaque fonction dans le modèle.

2.1.6 Construction de la chaîne de Markov équivalente

Bien qu’un modèle SAN soit représenté par un ensemble d’automates, il peut aussi être représenté par un seul automate qui contient tous les états globaux possibles du modèle. Cet automate est une représentation de la chaîne de Markov du système modélisé [55]. Une autre représentation est sa matrice de transition, ou bien le descripteur qui sera calculé ultérieurement (Section 2.1.7, page 21).

Dans cet automate global, il n’y a plus d’événements synchronisants, mais seulement des événements locaux. Les arcs de cet automate global sont étiquetés par les taux d’occurrence des événements et les probabilités de routage. Les durées de résidence dans chaque état sont des variables aléatoires de distribution exponentielle. Donc, à un instant de temps, le changement vers un état suivant ne dépend que de l’état courant et pas du temps écoulé dans cet état.

La représentation graphique de la chaîne de Markov équivalente est un graphe àétats-transitionsqui représente l’automate global du système. Les états de la chaîne de Markov sont formés à partir du produit cartésien des états locaux de chaque automate du modèle SAN. Dans FIG. 2.5, on présente la chaîne de Markov (CTMC) équivalente au modèle présenté dans FIG. 2.4, en supposant que l’état global initial est égal à000.

Pour représenter clairement les états de la CTMC équivalente, on omet les indices de chaque auto-mate, en supposant que le chiffre le plus à gauche représente l’état du premier automate et le chiffre plus à droite représente l’état du dernier automate,i.e., l’état201est équivalent à l’état2(1)dans l’automate

A(1),0⁽²⁾dans l’automateA(2)et1⁽³⁾dans l’automateA(3).

Le formalisme SAN propose une vision modulaire du système, alors que la CTMC équivalente (ou l’automate global) représente une vision “centralisée” (mais potentiellement très grande) du même

sys-2.1. DESCRIPTION INFORMELLE DES SAN À TEMPS CONTINU 21 000 010 001 011 100 102 112 101 111 110 200 202 212 201 211 210 λ λ λ λ λ λ λ σ σ λ α δ µ µ µ µ µ µ α γ β β β β β γ β δ δ