Définitions de base

       -α 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -β 0 0 β 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 µπ₁ 0 µπ₂ 0 0 -µ        

Comme le descripteur Markovien sera représenté dans un format tensoriel, il est important de remar-quer que seulement les matrices localesQ⁽_lⁱ⁾ et les matrices positivesQ⁽_eⁱ+⁾ et négativesQ⁽_eⁱ−⁾ des événe-ments synchronisants sont stockées. Ainsi, seulement les petites matrices de taillen_isont manipulées en permettant d’avoir une représentation compacte et structurée du modèle. Généralement, le descripteur MarkovienQn’est pas représenté de façon entière, sachant qu’il y a des méthodes numériques perfor-mantes pour utiliser le descripteur dans un format tensoriel [55, 10].

2.2 Description formelle des SAN à temps continu

Dans cette section, on va présenter d’une façon formelle les notations et définitions de base utilisés tout au long de cette thèse pour le formalisme SAN. Dans ce qui suit, on présente les restrictions im-posées à ces définitions précisant le concept de SANbien défini, ainsi que la génération du descripteur Markovien obtenu à partir d’un modèle SAN.

2.2.1 Définitions de base

On va considérer dans cette thèse la formalisation d’un modèle SAN comprenantN automates etE

événements synchronisants.

✍Soit

A l’ensemble des automates (|A|=N)6;

E l’ensemble des événements ;

F la fonction d’atteignabilité.

L’ensemble d’automates Acomprend N automates nommés A(i), oùi ∈ [1..N]. Tout au long de cette thèse, on adopte la notation [i..j] pour le sous-ensemble de N (des valeurs discrètes) contenant toutes les valeurs deijusqu’àj(ces valeurs incluses) et [i,j] pour le sous-ensemble deR(des valeurs continues) contenant toutes les valeurs deijusqu’àj(ces valeurs incluses).

2.2. DESCRIPTION FORMELLE DES SAN À TEMPS CONTINU 27

Définition 2.2.1. S(i)est l’ensemble des états (locaux) de l’automateA(i).

Définition 2.2.2. L’espace d’états produit (potentiels) Sˆd’un modèle SAN est défini par le produit car-tésien des espaces d’étatsS(i), i.e.,Sˆ=

N

Y

i=1 S⁽ⁱ⁾

✍Soit

x⁽ⁱ⁾ l’état local de l’automateA(i).

Définition 2.2.3. L’état globalx˜ = (x⁽¹⁾, . . . , x^(N)) d’un modèle SAN est le vecteur des états locaux desN automates, oùx˜∈S^ˆ.

✍Soit

ω un ensemble d’indices d’automates, oùω⊆[1..N];

˜

x^(ω) le vecteur des états locauxx⁽ⁱ⁾tel quei∈ω.

Il est intéressant de remarquer que la définition d’un état local d’un automate (x⁽ⁱ⁾) et la définition d’un état global (x˜) peuvent être vues comme des cas particuliers dex˜^(ω). Un état localx⁽ⁱ⁾est le cas où

ω ={i}, et l’état globalx˜est le cas oùω={1,2,3, . . . , N}.

Définition 2.2.4. Sˆ(ω)est l’espace d’états produit de l’ensemble des états locaux des automatesA(i), où

i∈ω.

Définition 2.2.5. Un élément fonctionnelf( ˆS(ω))est une fonction deSˆ(ω) → R+, où l’ensemble d’in-dices d’automatesω⊆[1..N].

Notons que les états x⁽ⁱ⁾, où i ∈ ω, sont les paramètres d’évaluation pour l’élément fonctionnel

f( ˆS(ω)),i.e., l’espace d’étatsSˆ(ω)est le domaine de définition de la fonction de l’élément fonctionnelf.

✍Soit

f(˜x^(ω)) l’élément fonctionnelf( ˆS^(ω))évalué pour le vecteurx˜^(ω).

Définition 2.2.6. Un élément fonctionnelf₁( ˆS(ω))estidentiqueà l’élément fonctionnelf₂( ˆS(ω)), si et seulement si∀x˜^(ω)∈S^ˆ(ω),f₁(˜x^(ω)) =f₂(˜x^(ω)).

Les éléments fonctionnels sont utilisés pour définir des taux et probabilités fonctionnels des événe-ments. Tous les taux et probabilités fonctionnels peuvent être considérés comme des éléments fonction-nels, même ceux qui ont des valeurs constantes. Une telle définition ne représente pas une restriction, sachant que des éléments constants peuvent être vus comme des fonctions constantes etω = ∅. Ainsi, tous les éléments d’un modèle SAN peuvent être considérés comme des fonctions deS →ˆ R+.

Définition 2.2.7. Dans un modèle SAN, un événement est défini par un identificateure, oùe∈ E.

Définition 2.2.8. Un tuple d’événement(e, τ_e)est composé de : 1. e, l’identificateur de l’événement ;

Les définitions 2.2.7 et 2.2.8 précisent les événements d’un modèle SAN. Notamment, la définition 2.2.7 identifie chaque événement du modèle et la définition 2.2.8 associe un taux d’occurrence τ_e à un événemente.

✍Soit

τ_e(˜x) le taux d’occurrence de l’événementeexprimé par l’élément fonctionnelτ_eévalué pour l’état globalx˜.

Définition 2.2.9. L’ensemble T contient tous les tuples de transition (e, π_e). Un tuple de transition

(e, π_e)est composé de :

1. e, l’identificateur de l’événement ;

2. π_e, l’élément fonctionnel défini deS →ˆ [0,1], représentant la probabilité de routage d’une transi-tion lors de l’occurrence de l’événemente.

L’ensembleT contient au moins un tuple de transition pour chaque événementede l’ensemble des événementsE. On utiliseT∗pour définir queT∗=T ∪ {∅}.

Définition 2.2.10. Q⁽ⁱ⁾ est la fonction de transition de S⁽ⁱ⁾ × S⁽ⁱ⁾ → T^∗, qui contient les tuples de transition de l’automateA(i).

Définition 2.2.11. Q˜ est la fonction de transition deS ׈ S → T^ˆ ∗, qui contient les tuples de transition de l’automate global.

✍Soit

Q(i)(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾) la fonction de transition de l’état localx⁽ⁱ⁾ vers l’état localy⁽ⁱ⁾, qui contient une liste de tuples de transition(e, π_e)dansT∗;

˜

Q(˜x,y˜) la fonction de transition de l’état global x˜ vers l’état global y˜, qui contient une liste de tuples de transition(e, π_e)dansT∗;

La fonction de transitionQ(i)d’un automateA(i)(Définition 2.2.10) indique la relation entre les états de l’automate et les événements qui peuvent être tirés. Cette relation est décrite par les tuples de transition

(e, π_e)qui composent l’ensemble de tuples de transitionT (Définition 2.2.9). Chaque tuple de transition définit, outre l’identificateur, la probabilité de l’événement pour une transition. Le nombre de tuples de transition associé à une même transition est égal au nombre d’événements qui peuvent déclencher cette transition.

✍Soit: Etant donnée∈ E,

O(e) l’ensemble d’indicesi(i∈[1..N]) tel que l’automateA(i)contienne au moins un tuple de transition avec l’identificateur de l’événementedans un élément deQ(i);

ι^(e) l’indice minimum de l’ensembleO(e),i.e., l’indice le plus petit des automates qui possèdent au moins un tuple de transition de l’événemente.

Définition 2.2.12. Un événementeest classé comme : 1. événement local, si|O^(e)|= 1;

2.2. DESCRIPTION FORMELLE DES SAN À TEMPS CONTINU 29

Définition 2.2.13. L’ensemble des événements locauxElest défini commeEl ={e∈ E tel que|O(e)|=

1}.

Définition 2.2.14. L’ensemble des événements synchronisantsEsest défini commeEs ={e∈ Etel que

|O(e)|>1}. On note|Es|=E.

Définition 2.2.15. L’ensemble des événementsEest défini commeE=El∪ EsetEl∩ Es =∅.

La définition 2.2.12 classe chaque événement qui peut être unévénement localou unévénement syn-chronisant. Il est intéressant de remarquer qu’on n’a pas besoin de classer un événement pour le définir, vu que ce classement est seulement utilisé lors de la création des tenseurs du Descripteur Markovien

(Section 2.2.3, page 30), qui est composé par une partie locale (événements locaux) et d’autre partie synchronisante (événements synchronisants).

Définition 2.2.16. Un automateA(i)est défini par : 1. un ensemble d’étatsS(i);

2. une fonction de transitionQ(i).

✍Soit

π_e(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾) la probabilité de routage associée au tuple de transition(e, π_e)dansQ⁽ⁱ⁾(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾);

π_e(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾)(˜x) la probabilité de routage associée au tuple de transition(e, π_e)dansQ(i)(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾)

évaluée pour l’état globalx˜;

succ_e(x⁽ⁱ⁾) l’ensemble des états successeurs y⁽ⁱ⁾ dex⁽ⁱ⁾ tels que Q(i)(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾) possède un tuple de transition avec l’identificateureetτ_e6= 0,π_e(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾)6= 0. L’ensemble des états successeurs de l’événement eà partir de x⁽ⁱ⁾ peut être vide, cas où la transition ne peut pas être tirée dansx⁽ⁱ⁾par l’événemente.

On peut dire qu’un événement synchronisanteestréalisabledans l’état globalx˜, si et seulement si

∀i∈ O(e)l’ensemble des états successeursy⁽ⁱ⁾∈succ_e(x⁽ⁱ⁾)n’est pas vide etτ_e(˜x)6= 0.

Définition 2.2.17. La fonction d’atteignabilité F est un élément fonctionnel défini deS →ˆ [0..1]. La fonction associe aux états globaux x˜ ∈ S^ˆla valeur 1si ils sontatteignables et la valeur 0 si ils sont

non-atteignables.

Définition 2.2.18. L’espace d’états atteignablesS est le sous-ensemble deSˆ(S ⊆S^ˆ) composé de tous les états globauxx˜tels queF(˜x) = 1.

La fonction d’atteignabilitéF s’évalue pour tous les états globauxx˜∈S^ˆd’un modèle SAN et ainsi détermine quels sont les états atteignables de ce modèle. Donc, il est possible d’obtenir l’espace des états atteignables d’un modèle SAN avec cette fonction.

Définition 2.2.19. Un modèle SAN composé deN automates et|E|événements est défini par :

1. chacun des événementse∈ E, ainsi que son tuple d’événement(e, τ_e)et ses tuples de transition

(e, π_e)∈ T ;

2. chacun des automatesA(i)(i∈[1..N]) et leur fonction de transition ; 3. la fonction d’atteignabilitéF.