Extension de ces opérateurs

9.2 Extension de ces opérateurs

Dans cette section, on va étendre les définitions et propriétés des opérateurs présentés dans la section précédente.

Les opérateurs présentés dans la section 9.1 sont appliqués aux éléments de l’ensemble E˘. Dans cette section, au lieu d’utiliser les éléments deE˘, on présente l’extension des opérateurs pour lescouples d’éléments. Les couples d’éléments sont typiquement les couples de transitions d’un modèle SAN, com-prenant un événement et une probabilité de routage. Désormais, on va utilisertuples de transitions pour faire référence auxcouples d’éléments.

Définition 9.2.1. SoitT˘ l’ensemble des tuples de transitions(e, π_e(x, y)), oùe∈E^˘etπ_e(x, y)∈[0,1]

est une probabilité, fonction dexety, oùxetyappartiennent à un espaceS.

Un tuple de transition(e, π_e(x, y))représente typiquement une transition de l’étatxvers l’étaty dé-clenchée par l’événementeavec la probabilité de routageπ_e(x, y)dans un automate d’un modèle SAN,

xetyappartenant à l’espace d’étatSde l’automate. Il est intéressant de remarquer que la probabilité de routageπ_e(x, y), ainsi que la probabilité d’occurrence ρ_e de l’événementepeuvent être exprimées par desfonctions définies dans l’espace (ou sous-espace) d’états du modèle SAN. Dans ce chapitre, on se restreint à la présentation des définitions et propriétés des opérateurs de l’algèbre tensorielle complexe. Le traitement de fonctions des probabilités d’occurrence et probabilités de routage des événements est reprise au chapitre 11 lors de la résolution du modèle.

Notons qu’un même événemente ∈ E^˘peut être associé à plusieurs tuples de transitions deT˘,i.e., soit un événemente∈E^˘,(e, π_e(x, y))∈T^˘ et(e, π_e(z, w))∈T^˘ sont deux tuples de transitions distincts de l’événementesix6=zouy6=w.

Définition 9.2.2. On définit un tuple de transitionnul(O_E˘,0), notéO_T˘.

Définition 9.2.3. On définit un tuple de transitionneutre(I_E˘,1), notéI_T˘.

Dans la suite, on définit trois opérateurs “·”, “+” et “∗” sur l’ensemble de tuples de transitions T˘. On noteT+l’ensemble obtenu par toutes les expressions légales de ces opérateurs. L’ensembleT+est l’ensemble sur lequel opère ces trois opérateurs.

Dans les sections suivantes, on va présenter les notations et propriétés des opérateurs “·”, “+” et “∗” pour les tuples de transitions de l’ensemble T˘. Ces notations et propriétés sont des extensions des notations et propriétés présentées dans les sections précédentes.

9.2.1 Extension de l’opérateur de simultanéité

Définition 9.2.4. On définit sur l’ensemble de tuples de transitionsT˘ l’opérateur desimultanéité, noté “·”. Cet opérateur est défini par :

1. Soit(e₁, π_e1(x₁, y₁))∈T^˘,(e₂, π_e2(x₂, y₂))∈T^˘,

(e₁, π_e1(x₁, y₁))·(e₂, π_e2(x₂, y₂))est irréductible et n’a un sens que si̺_e1 < ̺_e2 ety₁ =

x₂. On remarque que(e₁, π_e1(x₁, y₁))·(e₁, π_e1(x₁, y₁)) n’a pas de sens, et (e₁, π_e1(x₁, y₁))·

2. Pour le tuple de transition nul :

∀(e, π_e(x, y))∈T^˘, (e, π_e(x, y))·O_T˘ =O_T˘

3. Pour le tuple de transition neutre :

∀(e, π_e(x, y))∈T^˘, (e, π_e(x, y))·I_T˘ = (e, π_e(x, y))

4. L’opérateur de simultanéité est un opérateur associatif. Quels que soient les tuples de transitions

(e₁, π_e1(x₁, y₁)),(e₂, π_e2(x₂, y₂)),(e₃, π_e3(x₃, y₃)) ∈ T^˘ tel que̺_e1 < ̺_e2 < ̺_e3 ety₁ = x₂ et

y₂=x₃, alors

(e₁, π_e1(x₁, y₁))·^h(e₂, π_e2(x₂, y₂))·(e₃, π_e3(x₃, y₃))ⁱ=

h

(e₁, π_e1(x₁, y₁))·(e₂, π_e2(x₂, y₂))ⁱ·(e₃, π_e3(x₃, y₃))

Définition 9.2.5. Soientstuples de transitions deT˘, on écrit la forme itérée de l’opérateur de simulta-néité, appelécombinaison simultanée de couples(csc), avec la notation suivante :

csc= ^s·

i=1(e_i, π_ei(x_i, y_i)) = (e₁, π_e1(x₁, y₁))·(e₂, π_e2(x₂, y₂))·. . .·(e_s, π_es(x_s, y_s)), (9.15)

où les priorités sont telle que̺_e1 < ̺_e2 < . . . < ̺_eset∀i∈[1..s−1], y_i =x_i+1. On noteT˘_csc⊆T^˘ l’en-semble des facteurs qui apparaissent danscscetE˘csc⊆E^˘l’ensemble des événements qui apparaissent danscsc.

Définition 9.2.6. Soitcscla combinaison simultanée de couplescsc= ^s·

i=1(e_i, π_ei(x_i, y_i))=(e₁, π_e1(x₁, y₁))

·(e₂, π_e2(x₂, y₂))·. . .·(e_s, π_es(x_s, y_s)), on définitcsc^−ej la combinaison simultanée de couplescscoù le tuple de la transition(e_j, π_ej(x_j, y_j))est remplacé par le tuple de transition neutreI_T˘, i.e.,csc^−ej = (e₁, π_e1(x₁, y₁))·. . .·(e_j−1, π_ej−1(x_j−1, y_j−1))·I_T˘ ·(e_j+1, π_ej+1(x_j+1, y_j+1))·. . .·(e_s, π_es(x_s, y_s)). 9.2.2 Extension de l’opérateur de choix

Définition 9.2.7. On définit sur l’ensemble de tuples de transitions T˘ l’opérateur dechoix, noté “+”. Cet opérateur est défini par :

1. ∀(e₁, π_e1(x₁, y₁)),(e₂, π_e2(x₂, y₂))∈T^˘,

(e₁, π_e1(x₁, y₁)) + (e₂, π_e2(x₂, y₂))a un sens et est irréductible ;

2. Pour le tuple de transition nul :

∀(e, π_e(x, y))∈T^˘, (e, π_e(x, y)) +O_T˘ = (e, π_e(x, y))

3. Pour le tuple de transition neutre :

∀(e, π_e(x, y))∈T^˘, (e, π_e(x, y)) +I_T˘ est irréductible

4. L’opérateur de choix est un opérateurassociatif. Quels que soient les tuples de transitions(e₁, π_e1(x₁, y₁)),

(e₂, π_e2(x₂, y₂)),(e₃, π_e3(x₃, y₃))∈T^˘, alors

(e₁, π_e1(x₁, y₁)) +^h(e₂, π_e2(x₂, y₂)) + (e₃, π_e3(x₃, y₃))ⁱ=

h

(e₁, π_e1(x₁, y₁)) + (e₂, π_e2(x₂, y₂))ⁱ+ (e₃, π_e3(x₃, y₃))

5. L’opérateur de choix est un opérateur commutatif, quels que soient les tuples de transitions

(e₁, π_e1(x₁, y₁)),(e₂, π_e2(x₂, y₂))∈T^˘,

9.2. EXTENSION DE CES OPÉRATEURS 167

Définition 9.2.8. Soientctuples de transitions deT˘, on définit la forme itérée de l’opérateur de choix avec la notation suivante :

c

+

i=1(e_i, π_ei(x_i, y_i)) = (e₁, π_e1(x₁, y₁)) + (e₂, π_e2(x₂, y₂)) +. . .+ (e_c, π_ec(x_c, y_c)) (9.16)

9.2.3 Extension de l’opérateur de concurrence

Définition 9.2.9. On définit sur l’ensemble de tuple de transitionsT˘ l’opérateur deconcurrence, noté “∗”. Cet opérateur est défini par :

1. ∀(e₁, π_e1(x₁, y₁)),(e₂, π_e2(x₂, y₂))∈T^˘, (e₁, π_e1(x₁, y₁))∗(e₂, π_e2(x₂, y₂))existe et sie₁ 6=

e₂, alors(e₁, π_e1(x₁, y₁))∗(e₂, π_e2(x₂, y₂))estirréductible; 2. Pour le tuple de transition nul :

∀(e, π_e(x, y))∈T^˘, (e, π_e(x, y))∗O_T˘ =O_T˘

3. Pour le tuple de transition neutre :

∀(e, π_e(x, y))∈T^˘, (e, π_e(x, y))∗I_T˘ = (e, π_e(x, y))

4. Soit un événement e ∈ E^˘ et n tuples de transitions (e, π_e(x^(j), y^(j))) ∈ T^˘ (où j ∈ [1..n] et

x^(j), y^(j)sont les paramètres de la probabilité duj-ème tuple de transition), on associe un degré d’idempotence entier, notéη_e∈[1..+∞[, tel que on ait les propriétés suivantes :

∀i,1≤i < η_e (e, π_e(x⁽¹⁾, y⁽¹⁾))∗. . .∗(e, π_e(x⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁾)) | {z } ifois =O_T˘ sie∈ E (9.17) ∀i,1≤i < η_e (e, π_e(x⁽¹⁾, y⁽¹⁾))∗. . .∗(e, π_e(x⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁾)) | {z } ifois =I_T˘ sie∈E^¯ (9.18) i=η_e (e, π_e(x⁽¹⁾, y⁽¹⁾))∗. . .∗(e, π_e(x⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁾)) | {z } ifois = (e, Πⁿ j=1π_e(x^(j), y^(j))) (9.19) ∀i > η_e (e, π₍x⁽¹⁾, y⁽¹⁾))∗. . .∗(e, π_e(x⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁾)) | {z } ifois

n’a pas de sens (9.20)

5. L’opérateur de concurrence est un opérateurassociatif. Quels que soient les tuples de transitions

(e₁, π_e1(x₁, y₁)),(e₂, π_e2(x₂, y₂)),(e₃, π_e3(x₃, y₃))∈T^˘, alors

(e₁, π_e1(x₁, y₁))∗^h(e₂, π_e2(x₂, y₂))∗(e₃, π_e3(x₃, y₃))ⁱ=

h

(e₁, π_e1(x₁, y₁))∗(e₂, π_e2(x₂, y₂))ⁱ∗(e₃, π_e3(x₃, y₃))

6. L’opérateur de concurrence est un opérateur commutatif, quels que soient les tuples de transitions

(e₁, π_e1(x₁, y₁)),(e₂, π_e2(x₂, y₂))∈T^˘,

(e₁, π_e1(x₁, y₁))∗(e₂, π_e2(x₂, y₂)) = (e₂, π_e2(x₂, y₂))∗(e₁, π_e1(x₁, y₁))

7. L’opérateur deconcurrence“∗” est distributif sur l’opérateur dechoix“+”, i.e., soient les tuples de transitions(e₁, π_e1(x₁, y₁)),(e₂, π_e2(x₂, y₂)),(e₃, π_e3(x₃, y₃))∈T^˘,

(e₁, π_e1(x₁, y₁))∗^h(e₂, π_e2(x₂, y₂)) + (e₃, π_e3(x₃, y₃))ⁱ=

h

Définition 9.2.10. Soientptuples de transitions deT˘, on définit la forme itérée de l’opérateur de concur-rence avec la notation suivante :

p ∗

i=1(e_i, π_ei(x_i, y_i)) = (e₁, π_e1(x₁, y₁))∗(e₂, π_e2(x₂, y₂))∗. . .∗(e_c, π_ec(x_c, y_c)) (9.21)

Définition 9.2.11. Soientpcombinaisons simultanées de couples(csc_i)^p_i=1 , on appelleccc la combi-naison concurrente de couplesdes(csc_i)^p_i=1 :

ccc= ∗^p

i=1csc_i =csc₁∗csc₂∗. . .∗csc_p (9.22)

Définition 9.2.12. Soit un événement e∈ E^˘et une combinaison concurrente de couples ccc, on définit

O_e(ccc) le nombre de fois que l’événement eapparaît dans les combinaisons simultanées de couples (csc) deccc.

Propriété 9.2.1. Soit un événemente∈E^˘de degré d’idempotence η_e, une combinaison concurrente de couplesccc=csc₁∗. . .∗csc_pavecpcombinaisons simultanées de couples et unO_e(ccc)donné, alors le produit de concurrence “∗” a les propriétés suivantes :

1. ccc=csc₁∗. . .∗csc_p | {z } Oe(ccc)=ηe = (e, Π i∈[1..p]/e∈E^˘_csci π_e(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾))·(csc^′₁∗. . .∗csc^′_p) sie∈E^˘etcsc^′_i= ( csc_i sie6∈E^˘csci csc⁻_i^e sie∈E^˘csci (9.23) 2. ccc=csc₁∗. . .∗csc_p | {z } Oe(ccc)<ηe =csc^′₁∗. . .∗csc^′_p sie∈E^¯etcsc^′_i= ( csc_i sie6∈E^˘csci csc⁻_i ^e sie∈E^˘csci (9.24) 3. ccc=csc₁∗. . .∗csc_p | {z } Oe(ccc)<ηe =O_T˘ sie∈ E (9.25)

Propriété 9.2.2. Soit un événement e ∈ E^˘, une combinaison concurrente de couples ccc = csc₁ ∗

. . .∗csc_N avecNcombinaisons simultanées de couples, où une combinaison simultanée de couplescsc_i

représente l’occurrence simultanée de tuples d’événements dans l’automate complétéA˘(i), et l’ensemble d’indices d’automates concernés O_e par cet événement e, alors le produit de concurrence “∗” a les propriétés :

•Si pour toutcsc_i, oùi∈ O_e,e∈E^˘_cscialors

ccc=csc₁∗. . .∗csc_N = (e, Π i∈[1..N]/e∈E^˘_csci π_e(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾))·(csc^′₁∗. . .∗csc^′_N) oùcsc^′_i = ( csc_i sie6∈E^˘csci csc⁻_i ^e sie∈E^˘csci (9.26)