Les équations de Maxwell, que nous avons étudiées dans un précédent chapitre, sont l’équivalent des équations du mouvement pour le champ électromagnétique. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons à la résolution de ces équations dans un milieu vide de charge et de courant.
Nous verrons alors que les solutions s’interprètent en termes d’ondes électromagnétiques dont nous étudierons les caractéristiques.
I Équation de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide
I.1. Équations de Maxwell de le vide
On rappelle que les équations de Maxwell s’écrivent div(−→
E) = ρ ε0
div(−→ B) = 0
−→rot(−→
E) =−∂−→ B
∂t
−→rot(−→
B) =µ0−→ +µ0ε0
∂−→ E
∂t
Dans une région vide de charge et de courant, qui correspond à du véritable vide : ρ= 0 et −→ =−→0
On en déduit les équations de Maxwell dans une région vide de charge et de courant :
div(−→
E) = 0 div(−→ B) = 0
−→rot(−→E) =−∂−→B
∂t
−→rot(−→B) =µ0ε0 ∂−→E
∂t
On remarque la structure "relativement" symétrique des équations de Maxwell dans le vide. Les champs −→E et −→B sont à flux conservatif et il existe un couplage entre leur rotationnel et leur dérivée temporelle.
Dans toute la suite, nous nous placerons dans la situation ρ= 0et −→ =−→0.
I.2. Équation pour le champ électrique
Afin d’établir une équation ne faisant intervenir que le champ électrique, prenons le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
Tristan Brunier Page 1/29 Année 2009-2010
Ondes électromagnétiques dans le vide
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Physique Ondes électromagnétiques dans le vide
−→roth−→rot(−→E)i
= −→rot −∂−→ B
∂t
!
(équation de Maxwell-Faraday)
= −∂
∂t
−→rot(−→B) (permutation des dérivées)
= −∂
∂t µ0ε0
∂−→ E
∂t
!
(équation de Maxwell-Ampère avec−→ =−→0)
= −µ0ε0
∂2−→E
∂t2
Mais le double rotationnel peut s’exprimer sous une autre forme, en utilisant une relation d’analyse vectorielle
−→roth−→rot(−→C)i
=−−→
gradh
div(−→C)i
−∆−→C ∀−→C En appliquant cette relation au champ électrique, on obtient
−−→gradh
div(−→E)i
| {z }
=ρ/ε0=0
−∆−→E = −µ0ε0 ∂2−→E
∂t2
−∆−→E = −µ0ε0 ∂2−→E
∂t2 (équation de Maxwell-Gauss avecρ= 0) Cette équation relie les variations spatiales et temporelles du champ électrique.
Dans le vide, le champ électrique−→E vérifie l’équation de d’Alembert :
∆−→E − 1 c2
∂2−→E
∂t2 =−→0 avec c= 1
√µ0ε0 oùcest la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide.
Propriété
L’application numérique avec µ0= 4π.10−7 H.m−1 etε0≈ 1
36π.109 F.m−1 conduit à c= 1
√µ0ε0≈3.108 m.s−1
La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide s’identifie à la célérité de la lumière.
Remarque
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I.3. Équation pour le champ magnétique
Afin d’établir une équation ne faisant intervenir que le champ magnétique, prenons le rotationnel de l’équation de Maxwell-Ampère :
−→roth−→rot(−→ B)i
= µ0ε0−→rot ∂−→ E
∂t
!
(équation de Maxwell-Ampère avec−→ =−→0)
= µ0ε0 ∂
∂t
−→rot(−→E) (permutation des dérivées)
= µ0ε0
∂
∂t −∂−→ B
∂t
!
(équation de Maxwell-Faraday)
= −µ0ε0 ∂2−→B
∂t2 Par ailleurs,
−→roth−→rot(−→ B)i
=−−→
gradh div(−→
B)i
| {z }
=0
−∆−→
B =−∆−→ B On en déduit
∆−→B −µ0ε0 ∂2−→B
∂t2 =−→0
Dans le vide, le champ magnétique −→B vérifie l’équation de d’Alembert :
∆−→B − 1 c2
∂2−→ B
∂t2 =−→0 avec c= 1
√µ0ε0 Propriété
On retrouve la même équation vectorielle que pour le champ électrique.
Remarque
L’équation de d’Alembert s’écrit parfois
2f = 0 avec 2= ∆− 1 c2
∂2
∂t2 où l’opérateur 2 est appelé d’Alembertien.
Remarque
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I.4. Équation de propagation des potentiels V et A ~ dans le vide
En utilisant la condition de jauge de Lorentz dont on rappelle l’expression : div−→
A +µ0ǫ0
∂V
∂t = 0
on peut montrer facilement que les potentiels scalaire V et vecteur −→A vérifient également les mêmes équations :
∆V −µ0ǫ0 ∂2V
∂t2 = 0
∆−→ A −µ0ǫ0
∂2−→ A
∂t2 =−→0
I.5. Solutions de l’équation de d’Alembert : ondes planes et ondes sphériques
a) ::::::::Ondes:::::::::planes
Supposons pour simplifier que les champs électrique et magnétique ne dépendent que d’une coordonnée cartésienne d’espace, par exemple x, et du temps :
−
→E(x, y, z, t) =−→E(x, t) et −→B(x, y, z, t) =−→B(x, t) onde plane de vecteur~ux
Le champ électrique prend alors la même valeur∀(y, z), c’est-à-dire en tout point d’un plan perpen-diculaire à~ux. On dit que l’évolution du champ électrique est celle d’une onde plane d’axe~ux.
Attention : a priori, on ne dispose d’aucune indication sur la direction du champ. En effet, pour une onde plane d’axe ~ux, on écrit, en composantes :
−
→E(x, t) =Ex(x, t)~ux+Ey(x, t)~uy+Ez(x, t)~uz
et le champ n’est ni nécessairement suivant ~ux, ni orthogonal à ~ux (voir figure 1).
Remarque
Figure 1 – Une onde plane correspond à un champ qui ne dépend que d’une coordonnée cartésienne d’espace. Les surfaces d’onde sont des plans orthogonaux à la direction de propagation.
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Physique Ondes électromagnétiques dans le vide
On rappelle qu’une surface d’onde est une surface sur laquelle, à une date donnée, chaque com-posante du champ (électrique ou magnétique) est uniforme. Pour une onde plane de vecteur~ux, les surfaces d’onde sont des plans orthogonaux à~ux.
Remarque
Les équations de propagation pour les champs électrique et magnétique prennent la forme d’une équa-tion de d’Alembert unidimensionnel
∂2−→E
∂x2 − 1 c2
∂2−→E
∂t2 =−→0
∂2−→ B
∂x2 − 1 c2
∂2−→ B
∂t2 =−→0
Les solutions s’écrivent comme une superposition d’ondes planes parogressives se propageant dans des sens différents
−
→E(x, t) =−→
E1(x−ct) +−→
E2(x+ct)
−
→B(x, t) =−→
B1(x−ct) +−→
B2(x+ct)
où−→E1, −→E2, −→B1 et−→B2 sont des champs de vecteurs C2 quelconques qui ne dépendent que dex±ct.
Plus généralement, une onde plane de vecteur~u s’écrira sous la forme
−
→E(M, t) =−→
E1(~u· −→r −ct) +−→
E1(~u· −→r +ct)
−
→B(M, t) =−→B1(~u· −→r −ct) +−→B1(~u· −→r +ct) avec −→r =−−→
OM,O étant une origine quelconque.
Remarque
Le modèle de l’onde plane n’est pas physique car c’est une onde d’extension spatiale infinie dans les direction~uy et~uz. L’énergie transportée par une onde plane est donc infinie.
Remarque
b) ::::::::Ondes:::::::::::::::sphériques
Les champs électromagnétiques sont généralement émis par des atomes, passant d’un niveau d’énergie à un niveau d’énergie plus faible. À l’échelle d’un observateur, ces atomes apparaissent ponctuels ce qui suggèrent de considérer que les champs électrique et magnétique, sont émis depuis un un point.En sup-posant de plus l’émission isotrope, on peut considérer que les champs ne dépendent, en norme, que de la distancer à un point origineO. On écrit donc, en coordonnées sphériques de centre O:
−
→E(M, t) =Er(r, t)~ur+Eθ(r, t)~uθ+Eϕ(r, t)~uϕ
−
→B(M, t) =Br(r, t)~ur+Bθ(r, t)~uθ+Bϕ(r, t)~uϕ
Les surfaces d’onde sont alors des sphères concentriques de rayon r. On parle d’onde sphérique.
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Physique Ondes électromagnétiques dans le vide
Définition :
On parle d’onde électromagnétique sphérique lorsque les composantes du champ électromagnétique ne dépendent que du temps et de la dis-tance r à une origine O.
Le champ électrique vérifie l’équation de d’Alembert
∆−→
L’expression du laplacien vectoriel est compliqué et sont calcul doit être fait en utilisant la relation
∆−→E =−−→grad(div−→E)−−→rot(−→rot−→E)
Intéressons-nous par exemple à la projection de l’équation de d’Alembert sur ~uθ. Tout calcul fait, on obtient soit, en multipliant parr
∂2(rEθ)
∂r2 − 1 c2
∂2(rEθ)
∂t2 = 0 Les solutions sont donc de la forme
Eθ(r, t) = 1
r;f(r−ct) + 1
r;g(r+ct) solutions en ondes sphériques oùf etg sont des fonctionsC2quelconques.
Le terme en f(r−ct)correspond à une onde se propageant dans le sens desr croissants, c’est-à-dire à une onde divergente.
Au contraire, le terme en g(r+ct)correspond à une onde convergente.
Par rapport à une onde plane, on constate que l’amplitude du champ décroît en 1 r. Remarque