IV Champ électromoteur de Lorentz
IV.3. Application : fonctionnement de la roue de Barlow
C
−→ve∧−→ B
·−→dℓ6= 0
Cette composante supplémentaire du champ électrique est susceptible de mettre en mouvement les charges par rapport au circuitC, de sorte qu’il apparaît dans le circuit une force électromotrice d’induction.
Ainsi, si un circuit électrique est en mouvement dans un champ magnétique indépendant du temps (induction de Lorentz), le champ électromoteur s’écrit :
−
→Em=−→ve∧−→
B champ électromoteur de Lorentz
Dans le cas de l’induction de Lorentz (−→B permanent et conducteur mobile), le champ électromoteur, appelé champ électromoteur de Lorentz, vaut
−
→Em=−→ve ∧−→B
où−→ve est la vitesse du conduteur.
La force électromotrice générée entre les pointAetB d’un conducteur mobile vaut eAB=
Z B A
(−→ve ∧−→B)·−→dℓ Propriété
IV.3. Application : fonctionnement de la roue de Barlow
La Roue de Barlow fut le premier moteur électrique rotatif à courant continu. Elle fut imaginée et mise en œuvre par le mathématicien et physicien anglais Peter Barlow en 1828. Compte tenu de son manque de puissance, son utilité n’est qu’historique (et pédagogique !).
Une roue de Barlow est un disque conducteur dont un rayon est relié à un circuit parcouru par un courant i, tournant à la vitesse angulaire ω et placé dans un champ magnétique extérieur uniforme −→ B orienté normalement au disque.
Notons O le centre du disque, a son rayon et J son moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz). On suppose que le courant arrive en O et qu’il quitte la roue en un point A situé sur sa circonférence. Le circuit est alimenté par un générateur de tension continueU et on note Rla résistance totale du circuit.
Le vecteur rotation et le champ magnétique sont portés par le vecteur ~uz : −→
B = B ~uz et −→ω =ω ~uz et le champ magnétique est supposé permanent.
On cherche à décrire le mouvement de la roue.
a) :::::::::::::Approche::::::::::::::qualitative
Le circuit est traversée par un courant d’intensité i. Lorsque le courant arrive enO, il se disperse dans le circuit avant de se re-concentrer en A. Chaque ligne de courant, plongée dans un champ magnétique, est le siège d’efforts de Laplace qui vont mettre la roue en mouvement.
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Physique Induction électromagnétique
Figure10 –
La roue étant en mouvement dans un champ magnétique permanent, elle est le siège d’un phénomène d’induction de Lorentz. Il apparaît donc dans le circuit une force électromotrice e.
Cette force électromotrice va modifier l’intensitéi du circuit en fonction de la vitesse de rotation de la roue.
b) ::::::::::::Équation::::::::::::::électrique
Le disque étant en mouvement dans un champ magnétique uniforme, il est le siège d’un phénomène d’induction de Lorentz.
Lorsque le courant arrive enO, il se disperse dans le circuit avant de se re-concentrer enA. Considérons une ligne de courant Cquelconque parcourue par une intensité di.
La force électromotrice induite sur cette ligne de courant est de la forme eOA=
Z
C
−
→Em·−→dℓ avec −→
Em=−→ve∧−→
B (champ électromoteur de Lorentz) où−→ve est la vitesse d’entraînement du disque et−→dℓun élément de courant de la ligne de courant.
En coordonnées cylindriques d’axe (Oz), on a
−
→ve = −→ω ∧−−→
OM =ω ~uz∧r ~ur=rω ~uθ
−
→dℓ = dr ~ur+rdθ ~uθ+ dz ~uz
On en déduit
eOA = Z
C
−→ve∧−→B
·−→dℓ
= Z
C
(rωB ~uθ∧~uz)·−→dℓ
= Z
C
rωB ~ur·−→dℓ
= Z A
O
ωB rdr
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Physique Induction électromagnétique
ω et B étant uniformes, on a
eOA= Ba2 2 ω
La force électromotrice est indépendante de la ligne de courant choisie. On peut donc calculer son expression en choisissant une ligne de courant confondue avec le segment [OA].
Remarque
On en déduit l’équation électrique
Ri=U+eOA=E+Ba2
2 ω (1)
L’application de la loi de Faradaye=−dΦ
dt est délicate ici puisque le flux du champ magnétique ne varie pas sur la surface du disque. Il faut utiliser le "flux coupé", c’est-à-dire le flux à travers la surface décrite par une ligne de courant fixe dans le référentiel de la roue.
Remarque
c) ::::::::::::Équation::::::::::::::mécanique
Considérons une ligne de courantC quelconque parcourue par une intensité di. Cette ligne de courant est soumise aux actions de Laplace. Un élément de courantdi−→dℓde cette ligne de courant est soumis à la force élémentaire
d2−→
F = di−→dℓ∧−→ B Le moment par rapport à Ode cette force élémentaire s’écrit
d2−→ΓO=−−→OM∧d2−→F =−−→OM∧
di−→dℓ∧−→B On en déduit, en coordonnées cylindriques
d2−→
ΓO = di B r~ur∧[(dr ~ur+rdθ ~uθ+ dz ~uz)∧~uz]
= di B r~ur∧(−dr ~uθ+rdθ ~ur)
= −di B rdr ~uz
Le moment résultant des efforts qui s’exercent sur la ligne de courant C est obtenu par intégration surr∈[O, a]
d−→ ΓO=
Z
C
d2−→ Γ =−
Z a 0
di B rdr ~uz
soit
d−→ΓO =−Ba2 2 di ~uz
Le moment résultant qui s’exerce sur l’ensemble des courants dispersés dans la roue est égal à la somme des moments agissant sur chaque ligne de courant
−
→ΓO= Z
courants
d−→ ΓO
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soit
−
→ΓO=−Ba2 2 i ~uz
Dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, la roue est soumise :
⋆ aux efforts de Laplace de moment résultant−→ΓO enO;
⋆ aux efforts résistants dus aux frottements fluides exercés par l’air−→Γf =−f−→ω ;
L’équation mécanique est obtenue en appliquant, au point fixe O, le théorème du moment cinétique à la roue dans le référentiel terrestre (supposé galiléen) :
J d−→ω
dt =−→Γf +−→Γ0 En projection sur~uz, on obtient
J dω
dt =−f ω+ Γ0=−f ω−Γr−Ba2
2 i (2)
d) :::::::Bilan::::de:::::::::::::puissance
Multiplions l’équation électrique (1) par i
Ri2=Ui+ei=Ei+ Ba2
2 ω i (3)
Cette équation traduit un bilan de puissance électrique : l’énergie électrique fournie par les sources (géné-rateur et f.e.m. induite par le phénomène d’induction) est intégralement transmise à la résistanceR.
Multiplions l’équation mécanique (2) par ω J dω
dt ω=−f ω2+ Γ0ω=−f ω2−Γrω−Ba2 2 i ω soit
d dt
1 2J ω2
!
=−f ω2−Ba2
2 i ω (4)
Cette équation traduit un bilan de puissance mécanique : l’énergie cinétique du disque (Ec = 1 2 Jω2) varie du fait :
⋆ de la puissance reçue de la part des efforts de Laplace PLaplace=−→
Γ0· −→ω =−Ba2 2 i ω;
⋆ de la puissance dissipée par frottements fluidesPf =−→Γf · −→ω =−f ω2 . On remarque queei= Ba2
2 ω i=−Γ0ω. En sommant les équations (3) et (4), on obtient un bilan de puissance global
d dt
1 2J ω2
!
=−f ω2−Ri2+Ui La variation d’énergie cinétique de la roue résulte :
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⋆ de la puissance absorbée par la résistance PJ = −Ri2 et dissipée sous forme de chaleur par effet Joule ;
⋆ de la puissance reçue de la part du générateur Pg =Ui. e) ::::::::::::Équation::::du::::::::::::::::mouvement
Dans les équations électrique (1) et mécanique (2), apparaît la même quantitéΦ0 telle que e= Φ0ω et Γ0=−Φ0i avec Φ0= Ba2
2 On note queΦ0 est bien homogène à un flux magnétique.
L’équation électrique (1) fournit l’expression de ien fonction de ω: i= U
R+Φ0
R ω
En remplaçant cette expression dans l’équation mécanique (2), on obtient J dω
On constate que les efforts de Laplace agissent comme un couple de frottement fluide en Φ20/R ω qui se superpose au couple résistant exercé par l’air. On retrouve ainsi la loi de Lenz : les effets de l’induction tendent à s’opposer à leurs causes.
Les solutions sont donc de la forme
ω(t) =Ke−t/τ −Φ0 oùK est une constante d’intégration.
Si la roue est initialement immobile ω(t= 0) = 0et l’on a
La roue se met donc en mouvement sur un temps caractéristique τ, le vecteur rotation étatn de sens opposé au champ magnétique. La vitesse de rotation limite vaut
ωlim=ω∞ =−Φ0
R U f+Φ20
R
Cette vitesse de rotation limite est directement proportionnelle à la f.e.m. du générateur.
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Physique Induction électromagnétique
τ t
ω
ω∞ 0