Objectifs du projet de thèse

où P est la pression, g la gravité de surface, dτν un élément de profondeur optique du milieu

traversé par les photons de fréquence ν, et κ_ν le coefficient d’absorption du milieu. L’expression mathématique de la profondeur optique est donnée par l’équation :

τν = Z L

0

κνρ dz, (1.6)

où ρ est la masse volumique, L la longueur du trajet et dz un élément de profondeur géomé- trique.

1.4.2 Transfert radiatif

Dans une étoile, il se produit continuellement une interaction entre la matière et le rayonne- ment. Celle-ci conduit à une variation de l’intensité de la radiation qui se résume au niveau de l’atmosphère par l’équation de transfert radiatif suivante :

cos θdIν dτν

= Iν− Sν, (1.7)

où Iν est l’intensité spécifique du faisceau, Sν la fonction source, et θ l’angle du faisceau

par rapport à la ligne de visée vers l’observateur. La profondeur optique est nulle en surface de l’étoile. La fonction source S_ν mesure le rapport entre le coefficient d’émission j_ν et le coefficient d’absorption κν. Dans le cas de l’ETL, la fonction source Sν correspond à la loi de

Planck B_ν pour un corps noir. La loi de Planck est exprimée par l’équation :

Bν(τν) = 2hν3 c2 1 e hν kT (τν ) _{− 1} , (1.8)

où h représente la constante de Planck, c la vitesse de la lumière et k la constante de Bolzmann. La solution formelle de l’équation du transfert radiatif (Équation 1.7) est donnée par l’expres- sion : Iν(τν) = Iνout(τν) + Iνin(τν), Iν(τν) = Z ∞ τν Sνe−(tν−τν) sec θsec θdtν− Z τν 0 Sνe−(tν−τν) sec θsec θdtν. (1.9)

Comme le montre l’Équation 1.9, la solution formelle de l’équation de transfert radiatif est représentée par une radiation sortante I_νout(τν) et une autre entrante Iνin(τν). À la surface de

l’étoile I_νin(0) = 0, en supposant que la radiation due aux étoiles voisines est complètement négligeable. L’intensité spécifique peut alors s’écrire :

Iν(0) = Iνout(0) = Z ∞

0

Sνe−tνsec θsec θdtν, (1.10)

À partir de l’expression de l’intensité spécifique pour τν = 0, on peut en déduire le flux sortant

à la surface à partir de l’équation suivante :

Fν(0) = I Iν cos θ dω = 2π Z ∞ 0 Sν(tν)E2(tν) dtν, (1.11)

où dω est un élément d’angle solide et E₂(tν) est l’intégrale exponentielle d’ordre 2 qui re-

présente un facteur d’extinction. Le flux total, donné par l’intégrale du flux sur toutes les fréquences, devient :

F = σ T4

ef f, (1.12)

où T_{ef f} est la température effective de l’étoile et σ la constante de Stefan-Bolzmann. La luminosité d’une étoile supposée sphérique avec un rayon R est alors L = 4πR2F .

1.4.3 Équilibre radiatif

La condition de l’équilibre thermique permet une solution simple et fiable du transfert radiatif. Pour satisfaire cette condition, il faut que toute l’énergie absorbée par une couche en ressorte et soit réabsorbée par la couche suivante en se déplaçant vers la surface, i.e. dF /dz = 0. Si l’on considère que le transport radiatif domine dans l’atmosphère (le transport convectif peut être plus ou moins important aussi selon le type d’étoile, et complètement négligé dans les étoiles BHB), l’équilibre thermique se dit simplement "équilibre radiatif" et se résume, par exemple, par l’équation suivante :

Z ∞ 0 κνJνdν = Z ∞ 0 κνSνdν, (1.13)

où J_ν représente l’intensité spécifique moyenne donnée par l’équation :

Jν = 1 4π Z ∞ 0 Iνdν. (1.14)

1.4.4 Approximation de l’atmosphère grise

Une première étape de solution de l’équation de transfert consiste à simplifier les équations en considérant l’approximation de l’atmosphère grise. Dans cette approximation, on suppose que le coefficient d’absorption et la profondeur optique ne sont plus dépendants de la fréquence ; ils sont alors notés κ et τ . On peut donc écrire l’équation de transfert radiatif dans sa forme intégrée :

cos θdI

dτ = I − S, (1.15)

où I et S représentent l’intégrale de l’intensité et de la fonction source sur les fréquences. L’équilibre radiatif peut alors se traiter rapidement en ajoutant l’approximation d’Eddington, qui considère que les équations de l’équilibre radiatif simplifiées dans le cas optiquement

épais s’appliquent à tous les cas d’opacité. Ainsi les approximations de l’atmosphère grise et d’Eddington permettent de relier directement la fonction source au flux intégré par l’équa- tion : S(τ ) = 3F 4π  τ +2 3  . (1.16)

À l’ETL et à l’équilibre radiatif, on obtient un profil de la température locale qui ne dépend plus que de la profondeur optique et qui définit la température effective comme étant la température à la profondeur optique τ = 2/3. L’équation est donnée par :

T (τ ) =h3 4  τ + 2 3 i1/4 Tef f. (1.17)

Cette fonction pour T (τ ) est souvent utilisée comme première approximation lors de la mo- délisation d’une atmosphère stellaire.

1.4.5 Équations de Bolzmann et de Saha

À l’ETL, la physique statistique permet de relier l’état de la matière (i.e. l’état d’excitation et d’ionisation) avec la température et la pression du milieu. Le rapport entre le nombre N_r,s des atomes dans l’état d’excitation r et d’ionisation s (s = 0 pour les atomes neutres) et le nombre total N_s des atomes dans l’état d’ionisation s est donné par l’équation de Bolzmann :

Nr,s Ns = gre −χr/kT Qs , (1.18)

où Qs est la fonction de partition astrophysique (qui dépend de la température T et de la

pression des électrons P_e), g_r le poids statistique du niveau r et χ_r le potentiel d’excitation (la différence d’énergie des niveaux : Er−E1). Entre deux états d’ionisation, on emploie l’équation

de Saha pour calculer le rapport de populations des ions :

Ns+1 Ns = (2πme) 3/2_{(kT )}5/2 h3_P e 2Qs+1e−χs/kT Qs , (1.19)

où Ns et Ns+1 sont les populations des ions voisins d’un élément donné (l’ion s + 1 étant le

plus ionisé), m_ela masse électronique et χ_sl’énergie d’ionisation de l’ion s vers l’ion s + 1. Les Équations 1.18 et 1.19 permettent de connaître les populations des ions dans les divers états d’excitation qui sont nécessaires pour le calcul des opacités radiatives.

1.4.6 Formation des raies spectrales

Le spectre des étoiles présente des raies d’absorption issues des divers éléments présents dans leur atmosphère. Ces raies sont caractérisées (longueur d’onde centrale, largeur et profondeur) par les opacités de type bound-bound des absorbeurs en relation avec l’opacité du continuum sous-jacent aux raies (opacité de type bound-free, free-free ou de diffusion). L’opacité d’une raie est complexe et combine une section efficace propre à chaque élément, une densité d’absorbeurs et un profil d’élargissement lié à la nature quantique des atomes, à la vitesse des absorbeurs et aux effets de pression (i.e. collisions). Selon le type d’absorbeur (H, He, métaux, etc.), les effets de pression vont venir jouer beaucoup au niveau des ailes des raies (e.g. Gray 2005). Alors, bien caractériser les raies spectrales d’une étoile est primordial pour extraire correctement ses paramètres atmosphériques.

Figure 1.9 – Fonction source et le profil d’une raie. Le coeur de la raie est produit dans les couches atmosphériques qui sont plus proches de la surface, là où la fonction source est plus faible que pour les ailes de la raie. Figure tirée de Gray (2005).

En adoptant les approximations utilisées pour obtenir l’Équation 1.16, on peut écrire une relation simple entre la fonction source Sν et le flux à la surface Fν(0) qui permet de relier le

flux dans une raie avec une couche de l’atmosphère. Cette relation est donnée par :

Sν(τν) = 3Fν(0) 4π  τν+ 2 3  . (1.20)

En particulier, lorsque τν = (4π − 2)/3 ≈ 3.5 = τ1, alors nous voyons que la fonction source

Planck, on peut voir que les contributions (selon ν) à une même raie viennent de τ₁ différents dans l’atmosphère. La Figure 1.9 résume bien ce comportement. Avec S_ν qui augmente avec la profondeur optique, on peut simplement conclure que le coeur de la raie est alors formé plus près de la surface de l’étoile que les ailes. En effet, pour S_ν petite, l’opacité de la raie est grande et le flux ne peut venir que d’une région en surface de l’atmosphère.

1.5

Objectifs du projet de thèse

Le but principal de cette thèse est d’approfondir notre compréhension des étoiles BHB, plus particulièrement de mieux cerner ce qui se passe dans l’atmosphère des étoiles BHB chaudes en lien avec les anomalies d’abondances déjà connues. Dans ce but, un objectif précis est alors d’analyser un ensemble d’étoiles BHB du champ afin de voir si elles présentent un compor- tement similaire à celui de leurs homologues dans les amas globulaires. Jusqu’à maintenant, seulement une étoile BHB du champ, soit HD 135485 (Khalack et al. 2007), a été étudiée pour vérifier la présence de la stratification verticale d’éléments chimiques dans l’atmosphère stellaire. La stratification verticale de l’azote et du soufre a été observée dans cette étoile de température effective de 15 500 K. Pour cette thèse, des données de haute résolution spectrale (R = 81000) et haut rapport signal-sur-bruit (> 200) ont été recueillies au télescope Canada- France-Hawaï avec l’instrument ESPaDOnS (pour les étoiles BHB HD 128801, HD 143459, HD 213781 et HZ 27) et d’autres sont tirées des archives de l’ESO avec l’instrument UVES (pour Feige 86) pour une nouvelle étude de la stratification verticale en lien avec la tempé- rature effective des étoiles. Le choix des étoiles devait respecter les critères suivants : 1) des BHB chaudes du champ déjà connues ; 2) une haute brillance pour assurer le haut rapport signal-sur-bruit nécessaire pour l’analyse des raies à haute résolution spectrale et 3) leur dis- ponibilité pour les observatoires sollicités. Le code PHOENIX est utilisé pour produire une grille de modèles d’atmosphère pour diverses températures effectives, gravités de surface et métallicités. Le code ZEEMAN2 (Landstreet 1988) sert à reproduire et ajuster les raies des divers ions présents dans les spectres.

Les étoiles BHB froides des amas globulaires ont en général une métallicité atmosphérique si- milaire à celle des autres étoiles de l’amas, tandis que les atmosphères des étoiles plus chaudes montrent un enrichissement de certains métaux qui peuvent être verticalement stratifiés. Ce- pendant, puisque les modèles existants incluant la stratification des éléments surestiment les abondances atmosphériques (LeBlanc et al. 2009), on utilise typiquement des modèles d’at- mosphères homogènes pour déterminer leurs paramètres atmosphériques. Ces constatations soulèvent la question de l’effet du choix de la métallicité des modèles pour la détermination des paramètres atmosphériques des étoiles BHB. Afin de mesurer l’impact de ce choix, une étude comparative des valeurs de la température effective et de la gravité de surface obtenues avec des modèles d’atmosphère de PHOENIX de métallicité entre −2.0 et +0.5 dex solaire est entreprise dans cette thèse. Vingt étoiles BHB chaudes et froides des amas globulaires M 3 et

M 13 étudiées par Moehler et al. (2003) servent pour cette étude. Les paramètres atmosphé- riques sont extraits avec une méthode photométrique, qui se base sur un assemblage d’indices de couleur, et une méthode spectroscopique, qui se base sur l’ajustement du profil des raies de Balmer.

Peu d’étoiles BHB chaudes sont connues dans le champ. Ainsi un autre objectif de cette thèse est de contribuer à la confirmation de candidates BHB chaudes et à la détermination de leur température effective et de leur gravité de surface. Des observations spectroscopiques de 21 étoiles ont alors été faites à l’Observatoire du Mont-Mégantic. Les paramètres atmo- sphériques ont été obtenus en utilisant les raies de Balmer. Les étoiles observées devaient être brillantes pour garantir un rapport signal-sur-bruit d’au moins 100. Parmi ces étoiles, plusieurs viennent des travaux photométriques et spectroscopiques de Kinman et al. (2012) et Christ- lieb et al. (2005) qui présentent de vastes listes d’étoiles BHB du champ, dont les paramètres atmosphériques ne sont pas encore déterminés.

Chapitre 2

Outils et méthodes de travail

2.1

Code d’atmosphère stellaire

Parmi les programmes informatiques les plus connus pour la simulation des modèles d’atmo- sphères stellaires, on trouve ATLAS (Kurucz 1979), TLUSTY (Hubeny 1988) et PHOENIX (Hauschildt et al. 1999) qui permettent le calcul de modèles de transfert radiatif à une di- mension. Les programmes TLUSTY et ATLAS donnent des modèles plan-parallèles, ils fonc- tionnent en mode hors-ETL et ETL, respectivement. Alors que PHOENIX, en plus de prendre en compte les modes ETL et hors-ETL, est un code d’atmosphère stellaire polyvalent. Ayant un accès privilégié au code PHOENIX, c’est ce code qui a été choisi pour calculer les modèles d’atmosphère qui seront utilisés dans cette thèse. PHOENIX a été créé en 1994 à Phoenix en Arizona à partir d’une fusion d’un code écrit pour les naines de type M par Allard (1990) et du code de transfert radiatif de Hauschildt (1991). Initialement, 700 modèles d’atmosphère de naines de type M calculés en mode ETL avec PHOENIX ont fait l’objet d’une publication par Allard & Hauschildt (1995). Ensuite a suivi un ensemble de modèles pour des températures effectives de 3000 à 10000 K publié par Hauschildt et al. (1999). PHOENIX compte aujourd’hui à son actif plus d’une dizaine de versions adaptées à divers projets bien spécifiques. Par exemple, une version 11 modifiée a été développée par LeBlanc et al. (2009) pour tenir compte de l’accélération radiative de certains éléments chimiques et étudier le phénomène de la stratification verticale dans l’atmosphère d’étoiles BHB. Dans cette thèse, c’est la version 15 (non modifiée) du code qui a été utilisée pour calculer les modèles homogènes d’atmosphère stellaire utiles pour l’étude des propriétés atmosphériques des étoiles BHB. Ces modèles sont calculés en mode ETL, d’une part pour faciliter le lien avec le code ZEEMAN2 (Section 2.2.2) qui ne travaille qu’à l’ETL, et d’autre part pour permettre une comparaison des résultats avec ceux de la littérature sur les étoiles BHB qui sont principalement en mode ETL, et aussi pour des raisons plus techniques (entre autres, le temps de calcul qui devient rapidement très long dans le cas de modèles hors-ETL). Une géométrie sphérique est aussi adoptée, pour tenir compte du fait que des étoiles évoluées ont une atmosphère plus épaisse

(voir Tab. 3.8 de Kafando 2011). Cependant, des vérifications ont permis de montrer que l’effet de la sphéricité des modèles sur la détermination de la température effective et de la gravité de surface des étoiles BHB n’est pas important.

Le calcul d’un modèle d’atmosphère stellaire avec le code PHOENIX peut se résumer en trois grandes étapes. La première étape consiste en la lecture des quantités physiques caractérisant l’atmosphère stellaire : la température effective, la gravité de surface, l’abondance des éléments chimiques considérés, les données atomiques, la pression de surface (Pout) et le rayon R0(dans

le cas d’un modèle sphérique). À la première itération, un profil de température pour une atmosphère grise (Équation 1.17) est alors adopté afin de dériver la température de chaque couche de l’atmosphère (le nombre total de couches étant égal à 50, ce qui donne une épaisseur physique typique pour une couche de l’ordre de plusieurs dizaines de kilomètres).

Dans la deuxième étape, le programme résout l’équation de l’équilibre hydrostatique pour trouver la structure en pression. Ensuite, il considère les équations de Saha pour estimer les différentes fractions d’ionisation des espèces présentes et l’équation de Bolzmann pour obtenir les populations d’atomes et d’ions dans les différents niveaux d’excitation. Le calcul des opacités à chaque fréquence peut alors être fait. PHOENIX enchaîne avec la résolution de l’équation du transfert radiatif pour fournir l’intensité spécifique qui sera utilisée pour calculer le flux à chaque fréquence.

Dans la troisième étape, la condition de l’équilibre radiatif est testée en comparant le flux total de chacune des couches avec la valeur de σT_{ef f}4 . Si l’équilibre est atteint, le code donne la structure atmosphérique et le spectre final qui en découle (dans ce cas, on dit que le modèle a convergé). Sinon, le profil de température est modifié à l’aide d’une procédure de correction et le code reprend les deux dernières étapes jusqu’à convergence. La Figure 2.1 montre un organigramme simple qui résume les différentes étapes de calcul du code d’atmosphère stellaire PHOENIX.

Dans ce travail, pour déterminer les paramètres atmosphériques des étoiles BHB étudiées, plus de 420 modèles d’atmosphère stellaire homogène ont été calculés avec PHOENIX sur le serveur Briarée de Calcul Québec1. Chaque modèle a été obtenu en utilisant initialement un profil de température d’une atmosphère grise et en effectuant plus de 500 itérations. Le temps total de calcul requis pour un modèle a demandé typiquement de 3 à 4 h. Pour construire une grille de modèles, j’ai considéré 83 éléments chimiques à diverses metallicités [Fe/H] entre −2.0 et +0.5 dex par rapport à la métallicité solaire (selon Asplund et al. 2009) et une vitesse de microturbulence fixée à zéro. La valeur du rayon R0 utilisé pour obtenir un modèle sphérique

a été calculée à partir de l’équation :

Teff, log g, abondances et T(τ) d’un modèle gris  

Résolution de l’équation de l’équilibre hydrostatique  

Résolution des équations de Saha et de Boltzmann et calcul des opacités pour chaque fréquence  

Résolution de l’équation du transfert radiatif  

F

=  σT

pour chaque couche?  

Fin   Correction de T(τ)  

Oui     Non    

Figure 2.1 – Organigramme simplifié du code d’atmosphère stellaire PHOENIX. Inspiré de LeBlanc (2010). R0 = GM g 1/2 , (2.1)

où G représente la constante gravitationnelle, g la gravité de surface et M la masse de l’étoile. En utilisant le Tableau 6 de VandenBerg et al. (2000), qui donne la masse des étoiles à l’âge zéro de la branche horizontale en fonction de leur température effective, j’ai effectué une interpolation pour trouver la masse de l’étoile nécessaire pour le calcul du rayon R0. La

Figure2.2montre des exemples de la structure en température obtenue et du flux synthétique déduit des modèles de PHOENIX.

Figure 2.2 – Exemples de la structure en température et de spectres issus de PHOENIX. Deux modèles d’atmosphère à T_{ef f} = 9000 K (noir) et 12000 K (bleu) ont été calculés pour log g = 4, une abondance d’hélium de −1.0 dex et une métallicité de −1.5 dex par rapport aux valeurs solaires.