Noyaux cubiques pour C OGRAPH E DGE D ELETION et C OMPLETION

Dans cette section, nous prouvons que les problèmes COGRAPHEDGE-DELETIONet COGRAPH

COMPLETIONadmettent tous deux des noyaux contenant O(k3) sommets. Puisque le complémen-

taire d’un P4 est un P4, il suit que le complémentaire d’un cographe est un cographe. Ainsi, les

problèmes COGRAPH EDGE-DELETIONet COGRAPHCOMPLETIONsont équivalents. Nous démon- trons donc le résultat pour le problème COGRAPH EDGE-DELETION, et le résultat pour COGRAPH

COMPLETIONsuivra directement.

5.2.1 Règles de réduction basées sur la décomposition modulaire

Nous énonçons maintenant plusieurs règles de réduction nous permettant de structurer l’arbre de décomposition modulaire d’une instance réduite. En particulier, les règles de réduction nous permettent de borner la hauteur de l’arbre de décomposition modulaire d’une instance réduite, ainsi que de contrôler la structure de ses modules. Comme dans les Chapitres 3 et 4, nous utili- sons la Règle 2.5, qui est valide puisque les cographes sont stables par union disjointe (un P4étant

obligatoirement inclus dans une composante connexe).

Règle 5.1 (Composante connexe). Soit (G,k) une instance de COGRAPHEDGE-DELETION. Suppri- Règle 2.5 mer toute composante connexe C de G telle que G[C ] est un cographe.

Lemme 5.8. La Règle 5.1 est valide et peut être appliquée en temps O(n + m). Lemme 2.46

Règle 5.2 (Composition Série). Soient (G,k) une instance de COGRAPH EDGE-DELETION, et C := C1⊗C2une composante connexe de G. Remplacer C par C1⊕C2.

Lemme 5.9. La Règle 5.2 est valide et peut être appliquée en temps O(n + m).

Preuve. Soit G′_{le graphe où C a été remplacée par C1⊕C2. Soit F une arête-suppression optimale}

de G.

Affirmation 5.10. L’ensemble F ne contient aucune arête de (C1×C2).

Preuve. Supposons que F ∩ (C1× C2) 6= ;. Comme C1et C2sont des modules de G, le Lemme 5.5

implique que C1et C2sont des modules de H := G − F et donc F contient (C1×C2). Ainsi, C1et C2

sont des unions de composantes connexes de H induisant des cographes. Par la Définition 5.3, le graphe H′_{obtenu en faisant une composition série entre C1et C2dans H est un cographe. Il suit}

110 CHAPITRE 5. NOYAU CUBIQUE POUR COGRAPH EDITION que F′_{:= F \ (C1×C2) est une arête-suppression de G vérifiant |F}′_{| < |F |, ce qui est impossible. ⋄}

Soit F une k-arête-suppression de G. Par l’Affirmation 5.10, nous savons que F ne contient aucune arête de (C1× C2), et ainsi F est une k-suppression de G′. Inversement, soit F′ une k-

suppression de G′_{. Alors C1et C2induisent des cographes disjoints dans G}′_{− F}′_{, et la Définition 5.3}

implique que le graphe H obtenu en faisant une composition série entre C1et C2dans G′− F′est

un cographe. Il suit que F′ _{est une k-arête-suppression de G. Cette règle de réduction peut être}

exécutée en temps O(n + m), qui est le temps nécessaire pour générer l’arbre de décomposition modulaire de G.

Règle 5.3 (Modules). Soient (G,k) une instance de COGRAPHEDGE-DELETION, et M un module de G différent d’un ensemble indépendant de taille au plus k + 1 et strictement contenu dans une com- posante connexe. Retourner le graphe G′_{⊕G[M], où G}′_{est obtenu à partir de G en supprimant M et}

en ajoutant un ensemble indépendant de taille min{k + 1,|M|} ayant le même voisinage que M.

Lemme 5.11. La Règle 5.3 est valide et peut être appliquée en temps linéaire.

Preuve. Soient G′′ _{:= G}′_{⊕ G[M] et M}′ _{le module remplaçant M dans G}′′_{. Soit F une k-arête-}

suppression de G. Par le Corollaire 5.7, nous savons que pour tout sommet v ∈ V \ M nous avons ({v} × M) ⊆ F ou ({v} × M) ∩ F = ;. En particulier, cette dernière condition est vérifiée dès lors que |M| > k. Ainsi, G′′admet une k-complétion F′′_{définie comme suit : les suppressions F [M] sont réa-}

lisées sur le graphe G′′_{[M], et les suppressions F \ F [M] sont réalisées sur le graphe G}′_{. Puisque M}′

contient min{k +1,|M|} sommets et a le même voisinage que M, ces suppressions sont bien définies dans G′′_{. Il suit que G}′′_{[M] − F [M] et G}′′_{− F sont tous deux des cographes, d’où le résultat. Inverse-}

ment, soit F′_{une k-arête-suppression de G}′′_{. Par le Lemme 5.5, aucune modification n’est réalisée}

sur G[M′_{]. Ainsi, comme précédemment, l’édition F}′_{est bien définie sur G}′_{, qui admet ainsi une}

k-arête-suppression. Remarquons enfin que cette règle peut être appliquée en temps linéaire en

parcourant l’arbre de décomposition modulaire de G.

Remarque.

– Lors de l’application de la Règle 5.3, observons que si G[M] est un cographe alors ajouter une copie de M au graphe G n’est pas utile puisque cette dernière sera supprimée par une application de la Règle 5.1.

– La Règle 5.3 rejoint de ce fait la notion de branches : en effet, un module M tel que G[M] est un cographe est une branche pour ce problème, et peut être remplacé de manière valide par un ensemble indépendant de taille k + 1.

L’observation suivante est une conséquence directe de la Règle 5.3.

Observation 5.12. Soient (G,k) une instance de COGRAPH EDGE-DELETION réduite par les Règles 5.1, 5.2 et 5.3, et C ⊆ V une composante connexe non première de G. Les modules de G[C] sont des ensembles indépendants de taille au plus k + 1.

Remarquons qu’une application de la Règle 5.3 pourra éventuellement augmenter le nombre de sommets de l’instance réduite. Cependant, nous démontrerons par la suite que ces règles nous permettent de borner la taille d’une instance réduite positive. Avant cela, il nous faut démontrer

5.2. NOYAUX CUBIQUES POUR COGRAPH EDGE-DELETION ET COMPLETION 111 qu’une instance réduite par les Règles 5.1, 5.2 et 5.3 peut être générée en temps polynomial, i.e. qu’un nombre polynomial d’applications de ces règles permet de réduire l’instance considérée.

Remarque. Bien que nos règles de réduction soient définies sur des modules quelconques du

graphe, notre algorithme de noyau ne les applique que sur les modules forts d’une instance (G,k). Nous verrons par la suite que cela est suffisant afin d’obtenir un noyau cubique pour ces problèmes.

Lemme 5.13. Soit (G,k) une instance de COGRAPH EDGE-DELETION. Une instance réduite par les Règles 5.1 à 5.3 peut être calculée en temps polynomial.

Preuve. Soit M un module de G. Nous disons que M est réduit si M est un ensemble indépendant

de taille au plus k +1 ou l’union disjointe de composantes connexes de G. Par l’Observation 5.12, si

G est réduit par les Règles 5.1, 5.2 et 5.3, alors tout module de G est réduit. De plus, observons que si

tout module fort de G est réduit, alors tout module de G est réduit. Nous prouvons donc le résultat en comptant le nombre de modules forts (qui correspondent exactement aux noeuds de l’arbre de décomposition modulaire de G) qui ne sont pas réduits.

Remarquons que si une composante connexe C de G induit un cographe avec au moins deux sommets, une série d’applications de la Règle 5.2 transforme G[C ] en un ensemble indépendant. Cela implique que nous pouvons supposer que la Règle 5.1 est appliquée en dernier lors du proces- sus de réduction. Cette remarque permet de simplifier les arguments qui suivent.

Lorsque la Règle 5.3 est appliquée sur un module fort (différent d’un ensemble indépendant par hypothèse), alors par définition le nombre de modules forts non réduits de G est décrémenté de 1. De même, lorsque la Règle 5.2 est appliquée (i.e. il existe une composante connexe C := C1⊗ C2et

C1est un module fort), alors le nombre de modules forts non-réduits de G décroît de 1, sauf si C1est

un ensemble indépendant de taille au plus k +1. Cependant, dans ce cas, les sommets de C1seront

supprimés lors de l’application de la Règle 5.1, puisqu’ils seront alors des sommets isolés. Dans la mesure où le nombre de modules forts d’un graphe est borné par n, cela implique qu’une série d’au plus n applications des Règles 5.2 et 5.3 est suffisante pour construire un graphe réduit.

5.2.2 Borner la taille d’une instance réduite

Nous utilisons maintenant les règles précédentes afin d’obtenir un algorithme de noyau pour les problèmes COGRAPHEDGE-DELETIONet COGRAPHCOMPLETION. Pour ce faire, nous avons be-

soin de la règle de réduction de type Sunflower (Règle 2.6 et Lemme 2.48).

Règle 5.4 (Sunflower). Soient (G,k) une instance de COGRAPHEDGE-DELETION, et e ∈ E une arête Règle 2.6 appartenant à un ensemble P := {P1,...,Pm} de P4induits s’intersectant 2-à-2 sur e, m > k. Suppri-

mer e de G et décrémenter k de 1.

Lemme 5.14. La Règle 5.4 est valide et peut être appliquée en temps polynomial. Lemme 2.6

Dans la suite, l’arbre de décomposition modulaire associé à un cographe est appelé coarbre.

112 CHAPITRE 5. NOYAU CUBIQUE POUR COGRAPH EDITION

Preuve. Soit (G,k) une instance positive de COGRAPH EDGE-DELETIONréduite par les Règles 5.1

à 5.4. Soient F une k-arête-suppression de G, H := G − F le cographe correspondant et T son co- arbre. Nous dénombrons le nombre de feuilles de T , qui est égal au nombre de sommets de H (et donc de G).

Dans un premier temps, remarquons que puisque |F | É k, il existe au plus 2k sommets de H incident à des arêtes de F , et donc T contient au plus 2k feuilles affectées. Nous définissons un noeud interne x de T comme affecté si x est le plus petit ancêtre commun de deux feuilles affectées. Observons que T contient au plus 2k noeuds affectés.

Affirmation 5.16. La racine r de T est un noeud Parallèle et affecté.

Preuve. Nous prouvons l’Affirmation 5.16 par contradiction. Premièrement, nous supposons que

la racine r de T est un noeud Série. Les arêtes présentes dans H étant également présentes dans

G, cela implique que le graphe G n’est pas réduit par la Règle 5.2 : contradiction. Il suit que r est

un noeud Parallèle. De plus, puisque G est réduit par la Règle 5.1, aucune de ses composantes connexes n’est un cographe. Cela implique que toute composante connexe de G contient (au moins) un sommet incident à une arête de F . Ainsi, tout sous-arbre attaché à la racine r de T contient une feuille affectée comme descendant. Il suit par définition que r est un noeud affecté de

T . ⋄

Nous bornons maintenant la longueur d’un chemin reliant deux noeuds affectés consécutifs dans T , ce qui nous permettra de borner la taille de l’instance.

Affirmation 5.17. Soient p 6= r un noeud (ou une feuille) de T affecté(e), et q le plus petit ancêtre

affecté de p dans T . Le chemin reliant p à q dans T a une longueur inférieure ou égale à 2k + 3. Preuve. Observons tout d’abord que le résultat est trivial si p est un des fils de la racine r (i.e. q = r ).

Dans tous les autres cas, nous dénotons par Mp l’ensemble de feuilles descendant de p dans T .

Nous prouvons maintenant que Mpcontient une feuille u incidente à une arête supprimée uv de

F avec v ∉ Mp. Premièrement, si p est une feuille affectée, alors le résultat est vrai par définition. Si-

non, supposons par contradiction que toutes les arêtes de F incidentes à un sommet de Mpsoient

de la forme uv, avec u, v ∈ Mp. En particulier, cela implique que Mp est un module entièrement

contenu dans une composante connexe de G : en effet, puisque p n’est pas un fils de r , il suit que

Mp est entièrement contenu dans une composante connexe de H, et donc entièrement contenu

dans une composante connexe de G. Par l’Observation 5.12, Mpest un ensemble indépendant de

taille k + 1 et ne contient donc aucune arête : contradiction. Soit t le plus petit ancêtre commun de

u et v. Le noeud t est un noeud Parallèle (uv ∉ E(H) par définition) et un ancêtre de p et q (le cas t = q étant possible). Supposons par contradiction que le chemin reliant u à t dans T contienne

une séquence de 2k + 3 sommets consécutifs non-affectés. Le type de ces noeuds est alternative- ment Série et Parallèle. De ce fait, nous pouvons construire une séquence {s1, p1,..., s_k+1, p_k+1} de

noeuds non-affectés consécutifs, si (resp. pi) étant le père de pi(resp. si +1). De plus, les noeuds si

(resp. pi), i ∈ [k + 1], correspondent à des noeuds Série (resp. Parallèle). Par construction, chaque

noeud si(resp. pi) est parent d’une feuille non-affectée ui(resp. vi) qui n’est pas descendante de

pi(resp. si +1). Il suit que pour tout i ∈ [k + 1] l’ensemble {vi,ui,u, v} induit un P4de G. Nous avons

5.3. NOYAU CUBIQUE POUR COGRAPH EDITION 113 éléments. Cela implique que G n’est pas réduit par la Règle 5.4 : contradiction. Pour conclure, ob- servons que les noeuds se trouvant sur le chemin reliant p à q dans T sont non-affectés et contenus dans le chemin reliant u à t, impliquant que ce chemin a une longueur inférieure ou égale à 2k +3. ⋄

|{z}

FIGURE5.1 : Illustration de l’Affirmation 5.17.

Soit U le sous-arbre minimal de T reliant les feuilles affectées. Par l’Affirmation 5.17, U contient au plus (4k − 1) · (2k + 3) + 2k) noeuds internes. Vu que G est réduit, l’Observation 5.12 implique que chacun de ces noeuds est parent d’un ensemble d’au plus k +1 feuilles ou d’un noeud parallèle étant lui-même parent d’au plus k + 1 feuilles. Cela implique que T contient au plus 2k + (k + 1) · [(4k − 1) · (2k + 3) + 2k] É 8k3_{+ 20k}2_{+ 11k feuilles.}

Nous concluons la preuve en établissant la complexité nécessaire pour calculer le noyau. Puisque la Règle 5.4 décrémente la valeur du paramètre de 1 à chaque exécution, cette dernière est appliquée au plus k fois. Le Lemme 5.13 permet alors de conclure qu’une instance réduite peut être générée en temps polynomial.

Corollaire 5.18. Le problème COGRAPHCOMPLETIONadmet un noyau avec O(k3) sommets.