Application sur F EEDBACK V ERTEX S ET

Nous donnons à présent un exemple d’application de la technique de Compression Itérative sur le problème FEEDBACKVERTEXSET.

FEEDBACKVERTEXSET:

Entrée : Un graphe G := (V,E), un entier k. Paramètre : k.

162 CHAPITRE 8. TECHNIQUES ALTERNATIVES

Comme décrit dans la Section 8.3, nous considérons une version compressée de ce problème, définie comme suit.

FEEDBACKVERTEXSETCOMPRESSION:

Entrée : Un graphe G := (V,E), un feedback vertex set S, un entier k. Paramètre : k.

Question : Existe-t-il un ensemble F ⊆ V de taille au plus k tel que le graphe G \ F est une forêt ?

Nous allons voir que ce problème admet un algorithme FPT ayant une complexité O(ck· m), ce qui impliquera que la version non compressée du problème peut se résoudre en temps O(ck_{· mn)} (Lemme 8.8). Pour ce faire, l’algorithme reprend les étapes décrites dans la Section 8.3.1 : nous construisons dans un premier temps une solution S de taille k + 1 de manière itérative, puis consi- dérons les 2k+1 bipartitions possibles de S en deux ensembles X et Y , correspondant respective- ment aux sommets qui doivent appartenir à la solution, et à ceux qui ne doivent pas appartenir à la solution. Sans perte de généralité, nous supprimons X de l’instance considérée à chaque étape, obtenant ainsi un graphe G \ X et un feedback vertex set Y pour ce graphe. L’objectif est alors de décider s’il existe un feedback vertex set S′_{de taille inférieure ou égale à k −|X | vérifiant S}′_{∩ Y = ;.}

Pour cela, l’algorithme décrit par Guo et al. [86] utilise deux règles de réduction.

Règle 8.2. Soit (G,S,k) une instance de FEEDBACKVERTEXSETCOMPRESSION. Supprimer de G tout sommet de degré 1.

Règle 8.3. Soit (G,S,k) une instance de FEEDBACKVERTEXSETCOMPRESSION. S’il existe un sommet v ∈ S de degré 2 ayant pour voisins v1et v2avec v1∉ S ou v2∉ S, alors supprimer v de G et connecter

v1et v2par une arête. Si une arête parallèle est créée entre v1et v2, alors supprimer le sommet de

{v1, v2} n’appartenant pas à S et l’ajouter à la solution.

Dans la suite de cette section, nous admettons la validité de ces règles de réduction.

Lemme 8.9 ([86]). Les Règles 8.2 et 8.3 sont valides et peuvent être appliquées en temps polynomial.

L’utilisation de ces règles de réduction permet en particulier d’obtenir le résultat suivant.

Lemme 8.10 ([86]). Étant donnée une instance (G,S,k) de FEEDBACK VERTEX SETCOMPRESSION telle que |S| = k + 1, il existe un algorithme FPT de complexité O∗_(ck_{) retournant une solution de}

taille au plus k (s’il en existe une).

Le résultat suivant est alors vérifié, et provient du Lemme 8.8.

Théorème 8.11. Le problème FEEDBACKVERTEXSETadmet un algorithme FPT de complexité O(ck_· mn).

8.3. COMPRESSION ITÉRATIVE 163

Remarque. Il est possible d’améliorer la partie polynomiale de cette complexité (au détriment de la

constante c) en utilisant la dernière remarque expliquée dans la Section 8.3.1. En effet, le problème FEEDBACKVERTEXSETadmet une 4-approximation [7] qui peut être obtenue en temps O(m). Ainsi,

nous pouvons supposer que S a taille 4k dans l’énoncé du Lemme 8.10, et considérer les 24k _bi-

partitions possibles de S. Il suit que le problème FEEDBACKVERTEXSETadmet un algorithme de paramétré ayant une complexité O(ck_{· m) [86].}

CHAPITRE

9

Conclusion et perspectives de

recherche

Dans le cadre de cette thèse, nous avons établi plusieurs résultats théoriques concernant l’exis- tence de noyaux polynomiaux pour des problèmes d’édition de graphes (et autres structures). Deux principales techniques se dégagent de ces résultats, à savoir les notions de branches et de Conflict

Packing. Ces techniques nous ont notamment permis d’obtenir des algorithmes de noyau poly-

nomiaux pour les problèmes CLOSEST3-LEAFPOWER, PROPERINTERVALCOMPLETION, COGRAPH

EDITION, FEEDBACKARCSET INTOURNAMENTSet DENSEROOTEDTRIPLETINCONSISTENCY. Avant de résumer ces deux méthodes et de rappeler les résultats qu’elles nous ont permis d’obtenir, nous dressons un état de l’art de la théorie de la complexité paramétrée. Par la suite, nous énon- çons un certain nombre de problèmes ouverts, découlant pour la plupart des travaux présentés dans cette thèse.

9.1. ÉTAT DE L’ART 167

9.1 État de l’art

Complexité paramétrée. Depuis sa formalisation dans la fin des années 1990 par Downey et Fel-

lows [57], la théorie de la complexité paramétrée a reçu une attention considérable. En particulier, de nombreuses techniques ont été développées afin de permettre de concevoir des algorithmes FPT de manière générique. Comme nous l’avons évoqué dans cette thèse, ces techniques comprennent le Color Coding [6], la Compression Itérative [141] (présentée Section 8.3), les Règles de Branche-

ment [124] (présentées Section 8.1), ou encore le principe de Réduction à treewidth bornée [143, 123]

(présenté Section 8.2.1).

Noyaux. Parmi les nombreuses techniques existantes, nous nous sommes principalement inté-

ressés au principe d’Algorithme de Noyau, qui est considéré comme l’une des techniques les plus puissantes permettant de concevoir des algorithmes FPT [14]. Comme nous l’avons énoncé dans le Théorème 2.10, l’existence d’un algorithme de noyau est équivalente à l’existence d’un algorithme FPT. Cependant, lorsque le problème considéré est NP-Difficile, ce résultat permet uniquement d’obtenir des noyaux de taille super-polynomial. Déterminer l’existence d’un algorithme de noyau

polynomial pour un problème paramétré donné constitue donc un axe de recherche important, no-

tamment car cela permet d’en améliorer la complexité dans plusieurs cas (voir par exemple [65]). L’un des premiers algorithmes de noyau polynomial a été établi par Buss et Goldsmith [29] pour le problème VERTEX COVER. Depuis lors, de nombreux algorithmes de noyau ont été proposés pour

le problème VERTEX COVER, culminant en un noyau contenant au plus 2k sommets obtenus via diverses méthodes : (réduction des couronnes et programmation linéaire [3], par exemple). Ré- cemment, un noyau contenant au plus 2k −c sommets pour toute constante c > 0 a été établi [149]. Une question naturelle qui découlait du Théorème 2.10 était de déterminer si tous les problèmes paramétrés admettaient des algorithmes de noyau polynomiaux. En 2008, Bodlaender et al. [16] et Fortnow et Santhanam [70] ont répondu par la négative à cette question, en démontrant qu’il exis- tait des problèmes paramétrés (dont notamment k-PATHet k-TREEWIDTH) qui n’admettaient pas d’algorithme de noyau polynomial, sauf si certaines hypothèses de complexité n’étaient pas véri- fiées. Ce résultat majeur a ainsi permis d’ouvrir de nouveaux axes de recherche, et d’établir que de nombreux problèmes paramétrés n’admettent (probablement) pas d’algorithme de noyau polyno- mial. En se basant sur ce résultat, de nombreuses techniques ont été développées, et en particulier les transformations polynomiales en temps et paramètre [20] et la cross-composition [18], qui permet d’unifier les deux techniques précédemment citées.

Édition de graphes et de relations. En ce qui concerne l’existence de noyaux polynomiaux pour

les problèmes d’édition de graphes et de relations, de nombreux résultats ont été démontrés. Les principaux consistent en un noyau quadratique pour le problème FEEDBACK VERTEX SETobtenu

par Stéphan Thomassé [151], un noyau polynomial pour MULTICUT IN TREES obtenu par Bous-

quet et al. [23], ou bien encore un résultat récent de Kratsch et Wahlström proposant un noyau polynomial pour ODDCYCLETRANSVERSAL[112]. De plus, ces dernières années ont également vu

apparaître des méta-théorèmes, qui permettent d’établir l’existence de noyaux polynomiaux pour des problèmes paramétrés sous des hypothèses générales. Comme nous l’avons mentionné dans l’introduction de la Partie I, cela est en particulier le cas pour les problèmes paramétrés compacts définis sur des graphes de genre borné via la notion de protrusions [17]. Ces problèmes admettent

168 CHAPITRE 9. CONCLUSION ET PERSPECTIVES DE RECHERCHE des algorithmes de noyaux polynomiaux, qui deviennent linéaires dès lors que le problème consi- déré a un index entier fini [17]. En utilisant à nouveau ce concept de protrusions, de récents travaux menés par Fomin et al. [67] ont également permis d’établir l’existence de noyaux polynomiaux pour des problèmes de suppression de sommets, où l’objectif est d’obtenir un graphe ne contenant pas une liste de graphes données comme mineur. En particulier, il a été prouvé que ce problème ad- mettait un noyau polynomial dès lors que la liste d’obstructions comprenait un graphe planaire. En ce qui concerne la non-existence de noyaux polynomiaux pour ces problèmes, Krastch et Wahl- ström [111] ont récemment établi que certains problèmes de modification de graphes n’admet- taient pas de noyaux polynomiaux, répondant ainsi par la négative à une conjecture posée par Cai [15]. Ces résultats se basent notamment sur les notions de ou-composition et de transforma-

tion polynomiale en temps et paramètre introduites par Bodlaender et al. [16, 20]. Observons pour

conclure que de nouvelles techniques (notamment via le concept de Sparsification [48]) ont permis d’établir des bornes inférieures pour des noyaux polynomiaux. Il a en particulier été démontré que le problème VERTEXCOVERn’admettait pas de noyau contenant O(k2−ǫ) arêtes, pour toute constante

ǫ > 0. Un résultat similaire est vérifié pour le problème FEEDBACKVERTEXSET, impliquant que le

noyau quadratique établi par Stéphan Thomassé [151] est optimal.