Partie II. Edition d’autres structures Conflict Packing
7.2 Noyau linéaire pour D ENSE R OOTED T RIPLET I NCONSISTENCY
7.2.1 Adaptation de la notion de Partition Sûre
Certificat. Nous adaptons maintenant la notion de Partition Sûre présentée dans la Section 7.1
pour le problème FEEDBACK ARCSET INTOURNAMENTS. Pour cela, nous avons besoin des nota-
tions et définitions suivantes. Une instance enracinée de DENSEROOTED TRIPLETINCONSISTENCY instance
enracinée est un triple RT := (V,R,T ), tel que R est une collection dense de triplets définis sur V , et T est un
arbre binaire enraciné défini sur V . Lorsque nous considérons des instances enracinées RT, l’incon-
sistence d’un triplet t ∈ R est toujours considérée par rapport à T . Étant donné un triplet t ∈ R tel que V (t) := {a,b,c}, nous définissons span(t) comme l’ensemble de feuilles de V contenues dans
Tlca({a,b,c}), où lca(S), S ⊆ V , dénote le plus petit ancêtre commun des sommets de S. Étant donné
S ⊆ V , nous définissons RT[S] := (S,R[S],T|S) comme l’instance enracinée induite par S. Éditer un
triplet inconsistent t ∈ R par rapport à T signifie remplacer t dans R par le triplet défini sur V (t) consistent avec T . Nous admettons la validité de la règle de réduction suivante, qui nous permettra de concevoir notre algorithme de noyau. Observons que cette règle est l’analogue de la Règle 7.1 définie pour le problème FEEDBACKARCSET INTOURNAMENTS.
Règle 7.3. Soit (R,k) une instance de DENSE ROOTED TRIPLET INCONSISTENCY. Supprimer toute feuille v ∈ V n’appartenant à aucun conflit.
7.2. NOYAU LINÉAIRE POUR DENSE ROOTED TRIPLET INCONSISTENCY 137
Lemme 7.17 ([82]). La Règle 7.3 est valide et peut être appliquée en temps polynomial.
Comme mentionné précédemment, notre algorithme de noyau utilise des conflits définis sur quatre feuilles de V . Nous définissons plus particulièrement la topologie des conflits que nous al- lons considérer.
Lemme 7.18 (Conflit simple). Soient (RT,k) une instance enracinée de DENSEROOTEDTRIPLETIN- conflit
simple CONSISTENCY, et {a,b,c,d} ⊆ V un ensemble de feuilles tel que t := bc|a est le seul triplet inconsistent
de RT[{a,b,c,d}]. L’ensemble {a,b,c,d} est un conflit si et seulement si d ∈ span(t).
Preuve. Puisque t := bc|a est inconsistent avec T par hypothèse, il suit que T|{a,b,c} est homéo-
morphique à ab|c ou ac|b. Les deux cas sont symétriques, et nous supposons ainsi sans perte de généralité que le premier est vérifié. Supposons que d ∈ span(t). Par hypothèse, le triplet t′∈ R dé-
fini sur {b,c,d} est consistent avec T . Nous considérons les deux cas possibles pour t′(remarquons
que t′:= bc|d n’est pas possible puisque, dans ce cas, d ∉ span(t)) :
(i) t′ := bd|c : puisque ab|c est consistent avec T par hypothèse, et comme t est le seul triplet
inconsistent avec T , il suit que ad|c ∈ R. Ainsi, l’ensemble {bc|a,bd|c,ad|c} définit un conflit de RT.
(ii) t′ := cd|b : comme précédemment, nous savons que ab|d ∈ R. Ainsi, l’ensemble
{bc|a,cd|b,ab|d} définit un conflit de RT.
Ainsi, si d ∈ span(t), alors l’ensemble {a,b,c,d} est un conflit quel que soit le choix du triplet défini sur {b,c,d}. Supposons maintenant que d ∉ span(t). À nouveau, comme bc|a est l’unique triplet de RT[{a,b,c,d}] inconsistent avec T , il suit que tout triplet contenant d choisit d. Cela im-
plique donc que {a,b,c,d} n’est pas un conflit.
Remarque. Observons que le Lemme 7.18 est analogue aux conflits définis sur une instance or-
donnée de FEEDBACK ARC SET IN TOURNAMENTS : en effet, étant donnés un tournoi ordonné Tσ:= (V, A,σ) et {u,v,w} un ensemble de sommets tel que vu est le seul arc retour de Tσ[{u, v, w}]
l’ensemble {u, v, w} définit un triangle orienté si et seulement si w ∈ span(f ).
Nous définissons maintenant de manière formelle la notion de certificat pour une instance de DENSEROOTEDTRIPLETINCONSISTENCY.
Définition 7.19 (Certificat). Soient (RT,k) une instance enracinée de DENSEROOTEDTRIPLET IN- certificat
CONSISTENCY, t ∈ R un triplet inconsistent avec T et d ∈ span(t) un sommet n’appartenant à aucun triplet inconsistent. L’ensemble C (t) := V (t) ∪ {d} est appelé certificat de t.
Remarquons que, comme pour le problème FEEDBACKARCSET INTOURNAMENTS, l’ensemble C (t) induit un conflit de RT (Lemme 7.18). Par convention, lorsque nous parlons d’un triplet t d’un
certificat C , nous sous-entendons que t appartient à RT[C ].
Définition 7.20 (Certifier). Soient (RT,k) une instance enracinée de DENSE ROOTED TRIPLET IN- certifier
CONSISTENCY, et B ⊆ R un ensemble de triplets inconsistents avec T . Nous disons que B peut être
certifié lorsqu’il existe une collection C (B) := {C(t) : t ∈ B} de certificats triplets-disjoints pour les
138 CHAPITRE 7. APPLICATIONS DE LA MÉTHODE CONFLICT PACKING
Partition sûre. Nous décrivons maintenant la notion de Partition Sûre pour le problème DENSE
ROOTEDTRIPLETINCONSISTENCY. Nous allons voir que les notions définies pour le problème FEED-
BACKARCSET INTOURNAMENTSdans la Section 7.1 peuvent se retrouver pour DENSEROOTEDTRI- PLETINCONSISTENCY. Cependant, puisque la structure consiste en un arbre binaire enraciné, il est
nécessaire d’adapter ces dernières. Étant donnée une instance enracinée (RT,k) de DENSEROOTED
TRIPLETINCONSISTENCY, nous disons que P := {T1,...,Tl} est une partition arborée de RTs’il existe
partition
arborée l noeuds et feuilles {x1,..., xl} de T tels que :
(i) pour tout i ∈ [l], Ti= Txi et,
(ii) l’ensemble de feuilles contenues dans ∪li =1Txipartitionne V .
Observons en particulier qu’une partition ordonnée définit deux ensembles de triplets : RI := {t ∈
R : ∃ i ∈ [l] V (t) ⊆ V (Ti)} et RB := R \ RI. Nous dénotons par B(RB) l’ensemble des triplets de RBinconsistents avec T .
Définition 7.21 (Partition sûre). Soient (RT,k) une instance enracinée de DENSEROOTEDTRIPLET
partition
sûre INCONSISTENCYet P une partition arborée de RT telle que B(RB) 6= ;. Nous disons que P est une
partition sûre s’il est possible de certifier les triplets de B(RB) en n’utilisant que des triplets de RB.
Remarque. Une partition arborée est sûre lorsqu’il existe |B(RB)| conflits triplet-disjoints n’utili-
sant que des triplets de RB.
Nous prouvons maintenant que l’existence d’une partition sûre permet d’obtenir une règle de réduction. Nous verrons dans la section suivante comment une telle partition peut être obtenue en temps polynomial en utilisant la notion de Conflict Packing.
Règle 7.4. Soient (RT,k) une instance enracinée de DENSEROOTED TRIPLETINCONSISTENCYet P
une partition sûre de RT. Éditer tout triplet t ∈ B(RB) par rapport à T et décrémenter k de |B(RB)|.
Lemme 7.22. La Règle 7.4 est valide.
Preuve. Nous utilisons l’observation suivante, qui suit par définition d’une partition arborée.
Observation 7.23. Soit P := {T1,...,Tl} une partition arborée d’une instance enracinée de DENSE
ROOTED TRIPLETINCONSISTENCY. Soit t un triplet tel que V (t) ⊆ V (Ti) pour un certain i ∈ [l], et
u ∈ V \V (Ti). Alors u ∉ span(t).
Comme P est une partition sûre, il existe un ensemble CBde certificats triplets-disjoints pour
B(RB). Par construction de CB, une édition (au moins) doit être effectuée pour tout certificat. Nous
démontrons le Lemme 7.22 en prouvant que RT admet une k-édition si et seulement si l’instance
R′
T obtenue à partir de RT en éditant tous les triplets de B(RB) par rapport à T admet une (k −
|B(RB)|) édition. Pour ce faire, nous démontrons l’affirmation suivante.
Affirmation 7.24. Il existe une k-édition de RT qui contient les triplets de B(RB).
Preuve. Nous démontrons le résultat en prouvant que R′
T admet une (k − |B(RB)|)-édition. Soient
C := {a,b,c,d} un conflit de R′
T, et t ∈ R[C] un triplet de R[C] inconsistent avec T . Par définition,
comme t ∉ B(RB), nous avons t ∈ RI et donc V (t) ⊆ V (Ti) pour un certain i ∈ [l]. De plus, par
le Lemme 7.18, nous savons que d ∈ span(t). Il suit que d ∈ V (Ti), et ainsi tout conflit de RT′ est
7.2. NOYAU LINÉAIRE POUR DENSE ROOTED TRIPLET INCONSISTENCY 139 Pour conclure, observons qu’aucune édition (dans R′
T) d’un triplet de RI ne peut créer de
conflit impliquant un triplet de RB. En effet, soit t ∈ R un triplet tel que V (t) ⊆ V (Ti) pour un
certain i ∈ [l]. Soit d ∉ V (Ti). Par l’Observation 7.23, d ∉ span(t), et les triplets de RT′ [{a,b,c,d}]
contenant d sont consistents avec T (rappelons que tout triplet de RB est consistent avec T dans
R′
T). Par le Lemme 7.18, {a,b,c,d} n’est donc pas un conflit, et ce quel que soit le choix de t. Soit
F′une (k − |B(RB)|)-édition de R′
T. Par les arguments précédents, il suit que F′∪ B(RB) est une
k-édition de RT contenant B(RB). ⋄
L’Affirmation 7.24 implique donc que RT a une k-édition si et seulement si RT′ a une (k −
|B(RB)|)-édition, ce qui conclut la preuve du Lemme 7.22.