Partie I. Edition de graphes réduire les branches
3.2 Règles de réduction via la notion de branches
3.2.2 Couper les 2-branches
Nous démontrons maintenant comment réduire les 2-branches d’une instance (G,k) de CLO- SEST3-LEAFPOWER. Soit B ⊆ V une 2-branche de G. Nous disons que B est propre si A1et A2sont
des feuilles du graphe C (G[B]), et dénotons par P1et P2les cliques critiques voisines de A1et A2
dans C (G[B]). De plus, nous dénotons par path(B) := {P1,...,P2} l’unique chemin de C (G[B]) re-
liant les points d’attachement A1et A2. Une coupe de taille minimum de path(B) est un ensemble
F ⊆ E de taille minimum tel que G[B] \ F ne contient aucun chemin reliant A1à A2. Observons en
particulier que F = (Pi× Pi +1) pour une certaine clique critique Picontenue dans path(B).
Lemme 3.15. Soient (G,k) une instance de CLOSEST3-LEAFPOWERet B ⊆ V une 2-branche propre de G telle que path(B) contient au moins 5 cliques critiques. Il existe une édition optimale F telle que :
(i) si path(B) est un sous-graphe non connexe de G△F , alors F peut contenir les arêtes correspon- dant à une coupe minimum de path(B) ;
68 CHAPITRE 3. NOYAU CUBIQUE POUR CLOSEST 3-LEAF POWER
Preuve. Soient F une édition optimale et H := G△F . Nous construisons une édition F′ telle que |F′| É |F | et vérifiant les conditions du Lemme 3.15. Pour cela, nous étudions le comportement du chemin path(B) dans H. Nous notons par A′
1et A′2les cliques critiques de H qui contiennent A1
et A2, respectivement. Remarquons que le cas A′1= A′2 est possible, mais peut être considéré de
manière similaire. De plus, nous posons A′′
1:= A′1\ BR et A′′2:= A′2\ BR(voir Figure 3.9). A′′ i := A′i \ BR P1 BR P2 CC2 CC1 A1 A′′ 1 A′′2 A2
FIGURE 3.7 : Illustration du Cas 2 lorsque A1 et A2 appartiennent à différentes composantes
connexes CC1et CC2.
L’observation suivante nous permettra de construire la solution optimale désirée dans plusieurs cas.
Observation 3.16 (Classique). Soient F une édition optimale de G et F1⊆ F . Si F2 est une édition
optimale du graphe G△F1, alors F1∪ F2est une édition optimale de G.
Cas 1. F déconnecte path(B). Supposons dans un premier temps que F contienne l’ensemble
d’arêtes F1:= (A1× P1), et considérons le graphe H1:= G△F1. Remarquons que B1:= B \ A1est
(A1× P1) ⊆
F une 1-branche de P1, ayant pour point d’attachement A2. En utilisant le Lemme 3.11, nous savons
qu’il existe une édition optimale F2pour H1telle que les seuls sommets affectés de B1sont contenus
dans A2∪P2. Par l’Observation 3.16, il suit que F′:= F1∪F2est une édition optimale de G respectant
les conditions du Lemme 3.15. Nous procédons de manière similaire lorsque F contient F2:= (A2×
P2).
Supposons maintenant que F ne contienne ni (A1×P1) ni (A2×P2) . Dans ce cas, par hypothèse,
(A1× P1) ∩
F 6= ; il existe un ensemble F1⊆ F correspondant à une coupe minimale de path(B), disjoint de (A1×P1)
et (A2× P2). Comme précédemment, nous considérons le graphe H1:= G△F1. Par construction,
B se décompose en deux 1-branches dans H1: B1contenant A1comme point d’attachement et B2
contenant A2comme point d’attachement. Comme précédemment, le Lemme 3.11 s’applique sur
B1et B2, permettant d’obtenir une édition optimale F2de H1dont les seuls sommets affectés de
B1et B2sont contenus dans A1∪ P1∪ P2∪ A2. Ainsi, F′:= F1∪ F2est une k-édition respectant les
propriétés désirées. En effet, si F1ne correspond pas à une coupe de taille minimum dans path(B),
alors l’édition F′:= (F \F1)∪Fcoù Fccorrespond à une coupe minimum de path(B) est une édition
3.2. RÈGLES DE RÉDUCTION VIA LA NOTION DE BRANCHES 69
Cas 2. F ne déconnecte pas path(B). Soient CC1et CC2 les composantes connexes de H \ BR
contenant A1et A2, respectivement. Nous considérons tout d’abord le cas où CC1et CC2sont deux
composantes connexes distinctes de H \ BR. Par définition de la 2-branche B, nous savons que
G[BR] est un 3-leaf power. De plus, comme path(B) contient au moins 5 cliques critiques par hy-
pothèse, nous savons que P1 et P2 sont deux cliques critiques de G[BR]. Par définition de H, les
sous-graphes H[CC1] et H[CC2] définissent également des 3-leaf powers, qui sont des cliques si A′′1
(resp. A′′
2) ne sont pas des cliques critiques (Observation 3.6). Par le Lemme 3.5, il suit que réaliser la
join-composition suivante : H′:= (H[CC1], A′′
1)⊗(G[BR],P1) et (H′,P2)⊗(H[CC2], A′′2) permet d’ob-
tenir un 3-leaf power. Observons que durant cette-join composition, aucune paire non contenue dans F n’a été éditée : en effet, puisque (A1×P1) ⊆ E(H) par hypothèse, nous avons (A′′1×P1) ⊆ E(H).
Le même argument est valable pour A′′
2et P2, impliquant (A′′2× P2) ⊆ E(H). De ce fait, si F affecte
des sommets contenus dans BR\ (P1∪ P2), alors supprimer ces arêtes de F permet d’obtenir une
édition de taille strictement plus petite, contredisant l’optimalité de F . Finalement, supposons que
A1et A2appartiennent à la même composante connexe CC de H \ BR. Soient a1et a2deux som-
mets de A′
1et A′2, respectivement. Dans le cas où A′1= A′2, nous supposons a1= a2. Considérons
maintenant deux chemins πB et πCC reliant a1et a2dans H comme suit : πB est obtenu en pre-
nant un sommet pipour toute clique critique Pide path(B) (ce qui définit bien un chemin vu que
path(B) est connecté dans H), et πCC est un plus court chemin entre a1et a2dans H[CC ]. Par
construction, les sommets {c1,...,c|πCC|} appartenant à πCC sont contenus dans différentes cliques
critiques de H, disons {C1,...,C|πCC|}, avec C1= A′1et C|πCC|= A′2. Ainsi, l’union de ces deux chemins
permet d’obtenir un cycle C de H (non-induit) ayant une longueur supérieure ou égale à 5. Nous démontrons maintenant le résultat suivant, qui nous permettra de conclure
Affirmation 3.17. Soit G := (V,E) un 3-leaf power. Tout cycle C de longueur au moins 5 dans G
contient quatre sommets distincts {a,b,c,d} (apparaissant dans cet ordre dans C ), avec ab,cd ∈ E(C), tels que ad ∈ E,ac ∈ E et bd ∈ E.
Preuve. Comme la classe des 3-leaf powers est héréditaire (Observation 3.9), le sous-graphe GC
induit par C dans G est un 3-leaf power contenant au moins 5 sommets. Comme GC n’est pas un
arbre, il contient une clique critique P de taille supérieure ou égale à 2. Soient a et d deux sommets distincts de P. Comme |C| Ê 5, observons qu’il existe deux sommets distincts b et c, également distincts de a et d, tels que a, b, c et d apparaissent dans cet ordre dans C . De plus, ces sommets sont tels que ab et cd sont des arêtes de GC. Comme P est une clique critique, il suit que ad ∈ E,
ac ∈ E et bd ∈ E. ⋄
Comme H est un 3-leaf power, l’Affirmation 3.17 implique qu’il existe deux arêtes e := ab et
f := cd de C telles que les arêtes ac et bd appartiennent à E(H). Par construction, au plus une des
arêtes e et f appartient à πCC (sinon πCC ne serait pas un plus court chemin entre a1et a2). Nous
étudions les différentes configurations possibles afin de conclure.
(a) Les arêtes e et f appartiennent à πB. Sans perte de généralité, nous supposons a = pi, b = pi +1,
c = pjet d = pj +1, avec i +1 < j. Par l’Affirmation 3.17, F contient les paires (Pi×Pj)∪(Pi +1×Pj +1).
Observons maintenant que min{|Pi| · |Pi +1|,|Pj| · |Pj +1|} < |Pi| · |Pj| + |Pi +1| · |Pj +1|, et supposons
70 CHAPITRE 3. NOYAU CUBIQUE POUR CLOSEST 3-LEAF POWER les arêtes entre Piet Pi +1. Soit :
F′:= (F \ (V × BR)) ∪ (P
i× Pi +1)
De plus, si Pi6= A1 (resp. Pi +16= A2) nous ajoutons à F′ les paires F1:= ((A′′1\ A1) × P1) ⊆ F (resp.
F2:= ((A′′2\ A2) ×P2) ⊆ F ). Dans tous les cas, nous avons |F′| < |F | par construction (voir Figure 3.8).
En utilisant à nouveau le Lemme 3.5, nous déduisons que le graphe G△F′ est un 3-leaf power, contredisant l’optimalité de F . Pi Pi +1 Pj Pj +1 P2 A′′ 2 A′′ 1 P1
FIGURE3.8 : Illustration du cas (a). L’ensemble d’arêtes en gras correspond aux arêtes que nous
allons supprimer.
(b) L’arête e appartient à πB et f à πCC. Sans perte de généralité, nous supposons a = pi,
b = pi +1, c = cj +1, d = cj. Comme précédemment, par l’Affirmation 3.17, F contient les paires (Pi×
Cj +1)∪(Pi +1×Cj). De nouveau, observons que min{|Pi|·|Pi +1|,|Cj|·|Cj +1|} < |Pi|·|Cj +1|+|Pi +1|·|Cj|,
et supposons dans un premier temps que min{|Pi| · |Pi +1|,|Cj| · |Cj +1|} = |Pi| · |Pi +1|. Nous considé-
rons alors l’ensemble :
F′:= (F \ (V × BR)) ∪ (P
i× Pi +1)
Comme précédemment, si Pi6= A1(resp. Pi +16= A2) nous ajoutons à F′les paires F1⊆ F (resp. F2⊆
F ). Il suit que |F′| < |F | et, par le Lemme 3.5, G△F′est un 3-leaf power, contredisant l’optimalité de
F . Finalement, si min{|Pi| · |Pi +1|,|Cj| · |Cj +1|} = |Cj| · |Cj +1|, nous considérons l’ensemble :
F′:= (F \ (V × BR)) ∪ (C
j×Cj +1) ∪ F1∪ F2
De nouveau, |F′| < |F | et le Lemme 3.5 permet d’établir que le graphe G△F′est un 3-leaf power,
contredisant l’optimalité de F . Cela conclut la preuve du Lemme 3.15.
Règle 3.5. Soient (G,k) une instance de CLOSEST3-LEAFPOWERet B ⊆ V une 2-branche propre de G telle que path(B) contient au moins 5 cliques critiques. Supprimer de G les sommets contenus dans BR\ (P
1∪ P2) et ajouter quatre nouvelles cliques critiques comme suit :
(i) C1(resp. C2) de taille k + 1 et adjacente à P1(resp. P2) ;
(ii) C′
1(resp. C2′) adjacente à C1et C2′ (resp. C2et C1′), telles que la valeur de |C1′| · |C2′| est égale à la
valeur d’une coupe minimum de path(B).
Nous montrons que cette règle peut être appliquée de manière valide. La complexité nécessaire pour l’appliquer sera décrite dans la prochaine section.
3.3. BORNER LA TAILLE D’UNE INSTANCE RÉDUITE 71