Nouvelles idées

4.1.3.a Lissage et Viterbi Path avec les variables cachées

On peut utiliser le parallèle avec les modèles de Markov caché pour proposer une nouvelle définition du lissage et un premier analogue quantique du chemin de Viterbi. On considère toujours une situation de mesure continue modélisée par une équation maîtresse stochastique de la forme :

dρt= L (ρt) dt + D[N](ρt) dt + H[N](ρt) dWF

t ,

où on précise que le processus WF est un processus de Wiener du point de vue de la filtration naturelle associée aux résultats de mesure. On rappelle (voir 1.2.6) que cette équation peut se réécrire en faisant explicitement intervenir une variable cachée

R_t telle que les coefficients diagonaux de ρ_t dans la base propre de N s’interprètent comme les probabilités de Rt,

dρt= L (ρt) dt + γD[N](ρt)dt + √γ H[N](ρt)^dWG

t + √γ tr^h(N + N†)(Rt− ρt)ⁱdt^ P[R_t+dt= |iihi| | Rt= |jihj| ] = M(ρt)_i←jdt.

avec :

M (ρ)_i←j =

hP

k6=l(L_(k,l)^(i,i)_{− L(k,l)}^(j,j)) ρ(k,l)ⁱ⁺+ µ_ij

|Hs|ρ(j,j) + L_(j,j)^(i,i).

Avec une telle réécriture en tête, on peut simplement définir ρsmooth en utilisant la définition classique (4.1.1) :

ρsmooth

t = E^hR_t|F_[0,+∞[ⁱ.

Cette nouvelle matrice densité lissée dépend de la base de mesure et supprime l’in-formation des coefficients diagonaux. En contrepartie, elle possède une interprétation probabiliste immédiate, apporte une information supplémentaire quelle que soit l’effi-cacité de la mesure, et est plus régulière que ρ_t. En effet, dans le cas où L préserve la diagonalité de ρ dans la base propre de N, i.e. dans le cas classique, la matrice densité lissée coïncide avec la proposition de GJM ρsmoothed= ρPqui est régulière. Dans le cas général, le calcul explicite est rendu difficile par la dépendance des taux de saut en la matrice densité ρt forward.

Cette dépendance implique d’ailleurs un sens privilégié de l’écoulement du temps qui rend la procédure proposée malgré tout asymétrique. Les taux de saut dépendent en effet d’une quantité calculable dans un sens mais pas dans l’autre, ρtpossède un impact dynamique sur la variable cachée mais pas Et. Par ailleurs, en dépit de ses avantages

précédemment cités, ρsmoothed possède le défaut de ne posséder aucune caractérisation opérationnelle, la matrice n’est liée à rien de mesurable. On peut seulement en proposer la caractérisation contrefactuelle un peu vide suivante : si l’on avait fait une mesure projective en t, alors on aurait mesuré R_tet ρsmooth

t en fournirait la meilleure estimation. Mais il est bien connu que les mesures non effectuées n’ont pas de sens et la procédure permet ainsi a priori au mieux de lisser numériquement des courbes expérimentales.

On peut de la même manière définir un chemin de Viterbi ρV comme en classique avec la définition :

ρ^V = argmax R

P^hR| F_[0,+∞[ⁱ,

qui correspond en quelque sorte à la trajectoire de sauts entre pointeurs sous jacente la plus probable sachant l’ensemble des résultats de mesure. Dans le discret, elle est a priori calculable numériquement avec l’algorithme de Viterbi classique [155].

Les deux nouvelles définitions proposées dépendent évidemment de la base propre de la mesure et supposent d’une certaine manière que cette dernière est stable. Pour autant elles constituent probablement l’extension la plus directe et la plus simple des définitions classiques et méritent d’être étudiées et comparées quantitativement avec les procédures de GJM et GW.

4.1.3.b Viterbi state avec l’intégrale de chemin

L’approche de GW peut être utilisée pour proposer une autre définition de l’état de Viterbi, définition qui permet de faire des calculs un peu plus explicites. On considère la même situation que celle de GW où une partie de l’information est perdue. Au lieu de considérer comme GW la moyenne conditionnée à tous les résultats ←^→ρ t = E^hρt| F_[0,+∞[ⁱ, on peut regarder la trajectoire la plus probable :

ρ^Vs= argmax ρ

P^hρ| F_[0,+∞[ⁱ,

ou l’exposant Vs est l’abréviation de Viterbi state. Cette quantité représente la trajec-toire la plus probable de la matrice densité vraie sachant tous les résultats de mesure. Étant donné les résultats expérimentaux, c’est la meilleure reconstruction que l’on puisse espérer. L’avantage de cette quantité par rapport à l’état lissé de GW et le chemin de Viterbi défini précédemment est que l’on peut en donner une expression un peu plus explicite en l’exprimant comme le point col d’une intégrale de chemin6.

On peut représenter tout processus d’Itô sous la forme d’une intégrale de chemin à l’aide d’une technique inventée par Martin Siggia et Rose [156] et écrit sous forme intégrale moderne par de Dominicis [157] et Janssen [158] (MSRdDJ). Pour l’équation qui nous intéresse ici, c’est à dire :

dρt= L (ρt) dt + D[N](ρt) dt + H[N](ρt) ^dY_t⁽¹⁾+ dY_t⁽²⁾_{− tr[(N + N}†)ρt] dt^,

6. Il faut voir les calculs qui suivent comme une suggestion de ce à quoi le résultat pourrait res-sembler plutôt que comme des développements rigoureux. À terme, il faudrait idéalement dériver les équations finales (4.1.3) avec une méthode plus sûre comme le théorème de Girsanov.

4.1. Extension à l’estimation a posteriori 101

la prescription de MSRdDJ consiste à introduire l’action S suivante7 :

S[ρ, ˜ρ, W⁽¹⁾, W⁽²⁾] =^{Z t1} t0 dt trⁿρ˜_t^∂_tρ_t− L (ρt) − D[N](ρt) − H[N](ρt)(√η1∂tW_t⁽¹⁾+ √η2∂tW_t⁽²⁾)o −^∂tW (1) t 2 2 ⁻ ∂tW_t⁽²⁾² 2 ^,

où ˜ρ est un multiplicateur sans interprétation physique. Cette action permet de calculer

la valeur moyenne de n’importe quel opérateur de la manière suivante :

E[O(ρ)] ∝^Z D[ρ]D[˜ρ]D[W⁽¹⁾]D[W(2)] O[ρ] eS

et encode ainsi typiquement le processus stochastique. On peut réécrire cette expression en fixant Y(1) : S[ρ, ˜ρ, W⁽²⁾] =^{Z t1} t0 dt trⁿρ˜_t^∂_tρ_t− L (ρt) − D[N](ρt) −H[N](ρt)(∂tY_t⁽¹⁾− η1U (ρ) +√_η 2∂_tW_t⁽²⁾)^o₋^(∂tY (1) t − η1U (ρ))2 2η1 −^∂tW (2) t 2 2

où on a utilisé la notation U(ρ) = tr[(N + N†)ρ]. On peut désormais calculer le chemin le plus probable8 (Viterbi state) en différentiant l’action par rapport à ρ, au multipli-cateur ˜ρ et au bruit, i.e. en fixant :

δS δ ˜ρ_t = 0 ; ^δS δρ_t = 0 ; ^δS δ∂_tW_t⁽²⁾ = 0, ce qui fournit : dρt=L (ρt) dt + D[N](ρt) dt + H[N](ρt)(dYt⁽¹⁾− η1U (ρt)dt + √η2dW_t⁽²⁾) −d˜ρ_t−dt=L∗(ρt) dt + D∗[N](ρt) dt − (N + N†)(dY(1) t − η1U (ρ_t)dt) + N^†ρ + ˜˜ ρ_tN − tr (N + N^†)ρt
ρ˜_t− tr(ρtρ^˜_t)(N + N†) × (dYt⁽¹⁾− η1U (ρt)dt + √η2dW_t⁽²⁾) dW_t⁽²⁾ =√η2tr [ ˜ρtH[N](ρt)] dt ,

où on omet l’exposant «Vs» pour ne pas surcharger l’écriture. L’expression précédente

7. On omet ici le Jacobien qui apparaît dans la normalisation.

8. On choisit en fait le minimum de l’action comme définition du chemin le plus probable. Il est peu vraisemblable que cette définition fournisse le même résultat que la limite d’une discrétisation ou même que toute autre définition mathématiquement raisonnable dans le continu. En l’absence de bruit faible, l’action MSR ne donne pas plus.

donne finalement, dρt=L (ρt) dt +D[N](ρt)dt + H[N](ρt)(dYt⁽¹⁾− η1U (ρt)dt + η2tr [ ˜ρtH[N](ρt)] dt) −d˜ρ_t−dt=L∗(ρt) dt + D∗[N](ρt) dt − (N + N†)(dY_t⁽¹⁾_{− η1}U (ρ_t)dt) + N^†ρ˜_t+ ˜ρ_tN − tr (N + N^†)ρt
ρ˜_t− tr(ρtρ^˜_t)(N + N†) × (dYt⁽¹⁾− η1U (ρt)dt + η2tr [ ˜ρtH[N](ρt)] dt). (4.1.3) Un tel système d’équations différentielles stochastiques généralise la proposition de Chantasri et Jordan [159] au cas où toutes les mesures ne sont pas perdues. Il n’est pas très facile de résoudre un tel système, même numériquement, car on a des conditions aux limites mixtes (initiale sur ρ et finale sur ˜ρ). On peut néanmoins calculer d’assez

bonnes approximations des solutions en résolvant pour un certain nombre de conditions initiales puis en essayant de se rapprocher des bonnes conditions finales par dichotomie. La méthode proposée permet de repurifier une trajectoire quantique et pourrait de ce fait être utile pour nettoyer des résultats expérimentaux a posteriori (ne serait-ce que pour les courbes soient plus «jolies»). Il y a évidemment encore un travail important à effectuer pour s’assurer qu’on est effectivement capable d’approximer fidèlement les solutions de (4.1.3), étudier leurs propriétés et éventuellement leur trouver d’autres intérêts pratiques.