Gravitation

Construire un modèle complet de gravité semi-classique relativiste semble inat-teignable à court terme, ne serait-ce que parce que les différentes pièces du puzzle (théorie quantique des champs en espace courbe, modèles de collapse) ne sont que partiellement comprises dans ce domaine. Même si un tel modèle était disponible, il serait probablement plus utile d’étudier quelques situations simples, éventuellement à l’aide de modèles jouet, dans lesquelles l’approche standard fonctionne mal ou fait des prédictions ambiguës.

On peut penser à quelques exemples. L’idée est d’oublier provisoirement toutes les contraintes d’une théorie unifiée. Le formalisme que l’on a développé à la section

3.3fonctionne à la limite newtonienne. Une application immédiate serait à un modèle jouet de cosmologie inflationniste. Dans ce contexte, les perturbations autour de la métrique plate donnent en effet lieu à une description newtonienne effective. Au facteur d’échelle prêt, on doit donc pouvoir utiliser directement notre formalisme9. Notre modèle grossier brisera évidemment toutes les invariances et introduira une distance caractéristique à cause de la régularisation des opérateurs locaux mais on peut espérer pouvoir comparer malgré tout de manière profitable les résultats obtenus avec celles d’autres modèles.

Plus généralement, l’avantage de notre approche est qu’elle permet de sortir de la situation usuelle où la matière quantique évolue dans un background fixe pour avoir un espace-temps dynamique. Les modèles de collapse en background fixe ont déjà permis à Okon et al. d’attaquer des problèmes aussi exotiques que le paradoxe de l’informa-tion dans les trous noirs [161]. Il ne fait aucun doute qu’en ajoutant la possibilité de prendre en compte au moins perturbativement une rétroaction sur l’espace-temps à l’aide de notre mécanisme on puisse trouver de nouvelles situations intéressantes. On pourrait, en rêvant, construire un modèle (sans invariance relativiste) adapté à un sys-tème de coordonnées particulier (comme une métrique à symétrie sphérique dans les coordonnées de Schwarzschild) pour étudier le problème de la singularité10.

En redescendant sur Terre, la priorité est de faire des prédictions précises à la limite newtonienne pour des situations expérimentales crédibles. On peut notamment penser aux expériences du projet MAQRO (Macroscopic Quantum Resonators)[162]

9. Idée suggérée par Daniel Sudarsky.

10. Il ne semble en effet pas impossible que les fluctuations de la métrique induite par le collapse ne régularisent la singularité.

4.3. Et pour la route... 109

pour lesquelles il y a peu de prédictions quantitatives hors des calculs effectués avec l’équation de Schrödinger-Newton.

Conclusion

Au terme de cette longue exploration des mesures continues, on peut résumer briè-vement les quelques résultats originaux que l’on a obtenus. Sur le front «technique», on s’est principalement intéressé à la limite «forte» des mesures continues. On a ob-tenu un théorème permettant de comprendre l’émergence des sauts quantiques et de calculer leur statistique dans le cas général. Dans un cas simple, on a mis en évidence un phénomène plus original, les échardes quantiques, fluctuations inattendues dont on a proposé une caractérisation. Guidé par la découverte de ces deux phénomènes, on a introduit une redéfinition du temps dans les trajectoires quantiques qui offre une description unifiée et simplifiée de la limite de mesure forte. On a consacré une étude plus brève à l’extraction optimale d’information. Dans ce domaine, la contribution principale de cette thèse consiste en l’introduction d’un algorithme exponentiellement plus frugal en ressources que les méthodes précédemment avancées.

Du côté des «applications», on a exploré une forme de contrôle a priori extrême-ment faible par l’intensité de la mesure. On a montré qu’elle permettait d’engendrer des dynamiques hors équilibre non triviales et de contrôler essentiellement n’importe quelle distribution d’équilibre semi-classique. On s’est ensuite intéressé aux marches quantiques ouvertes où on a compris la transition entre un comportement balistique et un comportement diffusif à partir d’une reformulation en terme de mesure continue. On a exploité la puissance du formalisme des mesures continues et en particulier sa capa-cité à modéliser des dynamiques semi-classiques cohérentes pour explorer l’hypothèse d’une gravité fondamentalement semi-classique. À la limite newtonienne on a proposé un modèle simple, explicite, et exempt des difficultés de l’approche traditionnelle.

On a enfin suggéré quelques «ouvertures», idées pas tout à fait abouties pour étendre le domaine d’application de la théorie des mesures continues. On s’est intéressé à l’estimation a posteriori où on a proposé deux possibles définitions du concept de «chemin le plus probable» pour les trajectoires quantiques. On a aussi montré que nos résultats techniques sur la mesure forte étaient vraisemblablement exportables au cas de mesures répétées, sans nécessité de prendre une limite continue au départ. Dans le cas des sauts, on a donné une preuve de «physicien» et on s’est contenté d’une conjecture dans le cas des échardes.

* **

L’objectif de cette thèse était aussi de clarifier un certain nombre de liens souvent laissés implicites entre différents domaines et approches. On a explicité la connexion entre les modèles de collapse utilisés en fondements et la théorie de la mesure continue

en écrivant les deux dans le même langage. On a aussi clarifié le lien entre le filtrage en théorie des probabilités et la mesure quantique en construisant un modèle de Markov caché explicite pour le cas quantique. De manière plus modeste, la connexion entre marches aléatoires ouvertes et mesure quantique avec feedback a permis d’étendre le champ d’application du théorème sur les sauts. On a enfin fait le lien entre couplage semi-classique et contrôle quantique markovien, parallèle qui a motivé notre courte exploration du problème de la gravité semi-classique.

On peut, puisque c’est l’usage, se risquer à donner quelques perspectives. La théo-rie des mesures continues a été inventée presque trop tôt, alors que ses possibilités d’applications pratiques étaient encore modestes. Comme on a tenté de le montrer dans ce mémoire, elles sont pourtant aujourd’hui au centre d’un nombre important de développements prometteurs, qu’ils soient théoriques ou expérimentaux, fondamen-taux ou appliqués. L’utilité du formalisme est inévitablement reconnue dans le champ expérimental et il ne fait aucun doute que son usage va s’intensifier à mesure que le domaine des systèmes quantiques finement contrôlables va s’étendre. On peut penser à la matière condensée et plus généralement à tous les systèmes possédant un grand nombre de particules ou excitations. Enfin, c’est peut-être du côté de la théorie et de la physique fondamentale –où le postulat de la mesure est le plus gênant et où les outils liés à la mesure continue sont pratiquement inconnus– que l’on peut espérer de nouveaux développements inattendus.

* **

Il est un peu périlleux de tirer des conclusions normatives d’une unique et courte expérience personnelle. Faire le lien entre différents points de vues et représentations semble néanmoins être une manière productive ou en tout cas intéressante de faire de la recherche. Ne pas s’interdire de poser des questions fondamentales, les garder à l’esprit sans se laisser aveugler par elles, et s’en servir de motivation pour faire avancer des problèmes pratiques est aussi un moyen de rendre la recherche stimulante. Durant cette thèse, le rôle des «questions fondamentales» a sans conteste été joué par le problème

de la mesure et plus généralement par les fondements de la mécanique quantique. On

espère avoir réussi à montrer que ces questionnements quasi métaphysiques ne sont pas totalement stériles puisqu’ils sont sources de motivation autant que d’idées pour aborder des problèmes même techniques. On peut finalement laisser la parole à Bell :

“One wants to be able to take a realistic view about the world, to talk about the world as if it is really there, even when it is not being observed. I certainly believe in a world that was here before me, and will be here after me, and I believe you are part of it ! And I believe that most physicists take this point of view when they are being pushed into a corner by philosophers.” John S. Bell, interview à la BBC [9]

La physique théorique est d’autant plus passionnante que l’on reste attaché à cette trivialité...

Annexe A

Quelques remarques sur les

fonde-ments de la mécanique quantique

La question des fondements de la mécanique quantique n’est pas le sujet principal de cette thèse. Pour autant, il ne fait aucun doute que ce problème a été central dans les réflexions qui ont mené à son élaboration et il me semble légitime de lui attri-buer une petite place en appendice. Il existe sur le sujet, au milieu d’une quantité de contributions incohérentes ou réinventant la roue, quelques articles et livres de grande qualité. On peut penser au livre de Laloë [163] qui offre un panorama clair et sans parti pris des fondements et au dernier ouvrage de Bricmont [9] riche de ses références historiques. Le lecteur dont le temps est plus limité peut consulter le remarquable ar-ticle de Goldstein dans Physics Today [164]. La contribution qui suit, inévitablement inférieure et indubitablement incomplète, a pour objectif de présenter quelques aspects des fondements en insistant sur leurs apports conceptuels mais aussi éventuellement pratiques.

A.1 De l’existence du problème

“Bohr brainwashed a whole generation of physicists into thinking that the job was done 50 years ago.”

Murray Gell-Mann, cité dans [9]

Évidemment, pour que les fondements de la mécanique quantique aient un intérêt, encore faut-il qu’il y ait un problème à résoudre, ce que tout le monde n’est, semble-t-il, pas prêt à concéder [165]. Avant de faire l’éloge des vertus d’une recherche rigoureuse sur les fondements, il convient peut-être de se convaincre de l’étendue du problème pré-existant.

Le problème fondamental posé par la formalisation standard1 de la mécanique

1. J’utilise le terme «formalisme standard» de manière assez libérale, pour désigner les interpréta-tions que l’on regroupe en général sous le qualificatif vague de «Copenhague» ou «néo-Copenhague» et qui sont celles que l’on trouve en général dans les livres sérieux. Plus généralement, rentre dans le «formalisme standard» toute interprétation dans laquelle le postulat de la mesure est fondamental ou indépassable (qu’il soit compris comme un phénomène physique ou une simple règle épistémique).

quantique est celui de la non existence a priori d’un monde macroscopique tangible et objectif. Un corollaire, qui est en général celui sur lequel se concentrent les débats est le problème de la mesure, c’est à dire l’impossibilité de réduire le postulat de la mesure à des phénomènes physiques.

Il existe à ma connaissance deux négations possibles de l’existence même du pro-blème :

1. le problème est déjà résolu par la théorie «moderne» de la décohérence qui explique de manière satisfaisante l’émergence des faits,

2. le problème vient de préjugés philosophiques dépassés, il n’y a pas de réalité, ou plutôt vouloir en parler c’est se compromettre avec la métaphysique et renoncer à la science.

Dans le premier cas, on admet que le problème est réel ou plutôt l’a été, mais on affirme qu’il est résolu par une théorie, la décohérence, qui parce qu’elle peut être raisonnablement incluse dans le formalisme orthodoxe, n’en entame pas la suprématie. Dans le second cas, on critique la légitimité même de la question en s’appuyant sur un argument de scientificité paresseux. Il me semble que ceux que les fondements laissent froids se divisent à peu près équitablement entre les deux catégories et oscillent le plus souvent entre l’une et l’autre ligne de défense en fonction de la situation. Il peut être utile d’expliquer pourquoi ces deux arguments sont inadéquats ; plus précisément démontrablement faux pour le premier et philosophiquement douteux pour le second.

A.1.1 De la décohérence

On a déjà dit quelques mots sur la théorie de la décohérence en 1.1.2mais le sujet mérite qu’on s’y attarde.

L’objectif de la théorie de la décohérence est d’expliquer comment le couplage d’un système de matrice densité ρ(S) à un environnement extérieur muni de certaines propriétés raisonnables entraîne la décroissance rapide des coefficients non diagonaux de ρ(S)dans une certaine base. La décohérence permet de comprendre à la fois la vitesse de décroissance et le choix de la base de diagonalisation de ρ(S). Notons dès à présent que ce programme [166] a été un succès. Zurek et ses collaborateurs sont parvenus à montrer que le phénomène était universel et robuste au prix de développements parfois difficiles et indubitablement élégants.

Néanmoins –et la profusion de nouveaux concepts comme einselection (pour envi-ronment induced superselection) [167,168] ou le légèrement pédant Quantum

Darwi-nism [169,170] n’y change rien– la décohérence explique uniquement la diagonalisation de ρ(S) dans une certaine base et ne dit rien sur le collapse. Même si les contributeurs à la théorie de la décohérence prétendent rarement explicitement résoudre le problème de la mesure, ces derniers entretiennent malheureusement l’ambiguïté, notamment dans les articles grand public [171].

Rappelons brièvement pourquoi la diagonalisation de ρ(S) dans une certaine base n’est pas suffisante. La partie mathématique de tout article sur la décohérence consiste à montrer que dans une certaine situation, plus ou moins générale, on a :

ρ^(S)= ^λ1 u u∗ λ₂ ! décohérence −→ ^λ₀¹ _λ⁰ 2 ! .

A.1. De l’existence du problème 115

On sait déterminer dans quel base cette diagonalisation s’effectue et cette dernière correspond fidèlement à celle des pointeurs de la mesure réalisée. C’est un succès indu-bitable de la méthode, la décohérence permet d’expliquer quelle observable un appareil de mesure permet de mesurer, si l’on admet que ce dernier collapse. À ce stade, il y a un saut philosophique à ne pas faire mais qui est malheureusement souvent fait, qui consiste à identifier cette matrice densité diagonale, correspondant à un mélange impropre (improper mixture) à la même matrice densité représentant un vrai mélange statistique (proper mixture). Cette confusion est ce que l’on appelle parfois une erreur de catégorie (category mistake) en philosophie : deux objets fondamentalement diffé-rents sont identifiés abusivement parce que leur représentation est identique. C’est une erreur que l’on ne ferait pas dans une autre situation. Considérons par exemple un état EPR partagé entre Alice à gauche (A) et Bob à droite (B) :

|ψiEPR= (| ↑iA⊗ | ↑iB− | ↓iA⊗ | ↓iB) /^√2.

La matrice densité réduite du point de vue d’ Alice s’écrit particulièrement simplement dans la base {| ↑i, | ↓i} :

ρA= ^1/2_{0 1/2}⁰

! .

En conclut-on dans ce cas que la simple existence d’une partie de l’état du côté de Bob fait «émerger» les propriétés classiques chez Alice ? Même en supposant que Bob est à jamais inacessible, la réponse est évidemment non. L’objet ρL ne peut pas être assimilé à un mélange statistique sans violer l’inégalité de Bell. Dans ce cas, identifier deux situations physiques différentes parce que leur représentation mathématique est identique conduit à une erreur manifeste. C’est pourtant exactement la même sub-stitution que l’on effectue lorsque l’on tente de déduire la macro-objectification de la décohérence2. Le tour de magie est en général effectué en fin d’article, en quelques phrases sibyllines de conclusion après de longues dérivations parfaitement raisonnables et passe de ce fait relativement inaperçu.

Notons que cette confusion entretenue autour des supposées implications «fonda-tionnelles» de la décohérence n’a pas que des conséquences philosophiques et a donné lieu à quantité d’extrapolations problématiques en cosmologie et en gravité quantique (voir [172,173,174,175] pour une discussion). La situation semble néanmoins évoluer positivement si l’on en croit l’exemple de Steven Weinberg, qui a récemment admis que la décohérence devait être doublée d’un mécanisme de collapse à définir [176], preuve qu’il n’est pas impossible de changer d’avis dans ce domaine sensible.

A.1.2 De l’observable et des perceptions comme seule réalité

L’autre option pour refuser de considérer sérieusement le problème de la mesure est de se réclamer d’une forme extrême de positivisme dont on peut faire la caricature

2. D’aucuns pourraient répondre que dans le cas de la décohérence, l’environnement possède un grand nombre de degrés de liberté, ce qui rend difficile et même impossible en pratique la mise en évidence d’une violation de l’inégalité de Bell qui démontrerait l’absurdité de la substitution. On voit cependant difficilement comment ce que l’on appelle «objectif» pourrait raisonnablement dépendre de notre avancement technologique et de notre capacité à mettre en évidence telle ou telle violation en pratique. Le monde physique semble se soucier peu de nos limitations empiriques.

suivante. L’objectif de la science étant in fine de produire un ensemble de prédictions falsifiables, les théories physiques ne devraient être formulées qu’en terme de ce qui est observable, ne parler que de résultats. Disséquer le résultat lui même, le microfonder, le réduire à un phénomène, n’aurait pas de sens puisqu’il est la seule chose qui possède une objectivité. Dès lors il n’y a pas de problème avec l’axiomatisation de la mécanique quantique qui fournit un algorithme que l’on sait, en pratique, appliquer de manière non ambiguë.

Cependant, une telle vision de la science est extrêmement restrictive et n’est en tout cas aucunement impliquée par l’pistémologie popperienne. Que les prédictions soient le produit ultime qui permet de valider ou falsifier une théorie n’empêche pas que cette dernière utilise la réalité comme intermédiaire pour les faire émerger. Les résultats n’ont pas besoin d’être des notions primitives. Si encore un tel saut était nécessaire, impliqué par l’expérience, une telle attitude instrumentaliste serait justifiable. On verra qu’il n’en est rien et qu’une attitude souvent décriée comme classique et qui consiste simplement à supposer qu’un monde réel existe de manière objective –les mesures étant des configurations particulières de ce monde– n’est absolument pas incompatible avec les prédictions de la mécanique quantique.

Une variante moderne et à la mode de l’argument précédent est de dire que la seule chose réelle est l’information3, que l’algorithmique quantique est une sorte de théorie des probabilités généralisée qui en régit les échanges, la réalité étant encore une fois dans l’information elle même. Il faut reconnaître à ce point de vue strictement informa-tionnel le mérite d’être un excellent guide heuristique, notamment dans le contexte des mesures répétées. Pour autant, il paraît impossible de le considérer sérieusement tant il est contre intuitif de concéder un caractère primitif à l’information. En effet, l’infor-mation seule n’existe pas, on a toujours de l’inforl’infor-mation sur quelque chose. Au fond c’est ce «quelque chose» qu’il convient de définir pour rendre l’approche rigoureuse ; pourquoi s’interdire de le faire ?

A.2 Un faisceau de solutions

A.2.1 Théories à ontologies primitives

Commençons par avertir le lecteur, cette section ne vise pas l’exhaustivité (pour laquelle il vaut mieux se référer à Laloë [163]) et de nombreuses approches sont volon-tairement ignorées4. L’objectif est simplement de présenter une manière possible de construire des théories reproduisant les résultats du formalisme standard sans souffrir ses ambiguïtés.

Il est possible que l’on trouve un jour des manières extrêmement subtiles et contre intuitives de construire des théories physiques raisonnables. En attendant une voie

3. Il s’agit notamment de l’approche défendue par Caves, Fuchs et Schack qui lui ont donné le nom de «QBism» (pour Quantum Bayesianism) [177].

4. C’est notamment le cas de l’interprétation des «histoires décohérentes» (decoherent histories) [178] dont on peut raisonnablement considérer qu’elle n’est pas crédible à son stade de développement actuel [179,180], de l’approche transactionnelle [181] qui me semble a priori intéressante mais que je connais assez mal et de l’interprétation des mondes multiples [182] qui ne me paraît pas être définie sur des bases suffisamment claires pour être discutée de manière productive [183].

A.2. Un faisceau de solutions 117

presque naïve proposée par Bell [184,185] est –une fois reformulée dans le vocabulaire