Nouvelle approche représentant les domaines de saturation

Suite à la description présentée dans le chapitre 3, dans cette partie, nous allons présenter la description mathématique des domaines de saturations.

72 Tout d’abord, le degré de saturation est calculé comme :

(𝑈𝑆, 𝑄𝑆, 𝐹𝑆) 𝑆_𝐿= 1 − 𝑆_𝑎𝐺− 𝑆_𝑎𝑆 (6-1)

Où : 𝑆_𝑎𝐺, 𝑆_𝑎𝑆 sont les rapports entre les volumes des deux composantes « aG », « aS » et le volume total actuel des pores respectivement.

Il est à noter que l’équation (6-1) est précédée des symboles 𝑈𝑆, 𝑄𝑆, 𝐹𝑆. Cela signifie que cette équation est valable dans ces domaines mentionnés.

Nous pouvons donc maintenant définir les domaines de saturation : Le domaine non saturé (notée 𝑈𝑆):

Dans ce domaine, la phase gazeuse est continue et en contact avec atmosphère. Les deux ensembles « air chassable » et « air non chassable » sont connectés. Nous pouvons déduire donc

(𝑈𝑆) 𝑝_𝐺 = 𝑝_𝑎𝐺 = 𝑝_𝑎𝑆 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 (6-2)

Avec : 𝑝𝑎𝑡𝑚 la pression atmosphérique ; 𝑝𝐺, 𝑝_𝑎𝐺, 𝑝𝑎𝑆 sont respectivement la pression de gaz, la pression de l’air chassable, la pression de l’air non chassable. Le sol reste dans le domaine non saturé tant que la succion reste supérieure à la succion d’entrée d’air. Ainsi, le domaine 𝑈𝑆 est défini par : 𝑝_𝐿< 𝑝_𝑎𝑡𝑚− 𝑠_𝑒

Dans ce domaine de saturation, nous supposons que 𝑆𝑎𝑆 appelée par abus de langage la saturation en air occlus, reste constante. Ce qui revient à supposer que les pores qui contiendront l’air occlus se déforment de manière identique au reste du réseau poreux (hypothèse d’iso déformation).

Dans le domaine US, nous aurons ainsi :

(𝑈𝑆) 𝑆_𝑎𝑆= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 1 − 𝑆_𝑒 (6-3)

Avec 𝑆_𝑒 le seuil degré de saturation. Il est défini comme le degré de saturation pour lequel, pour tout degré de saturation supérieur à cette valeur, la phase air n’est plus continue.

Parmi les modèles de courbe de rétention d’eau citées précédemment, le modèle de Brooks et Corey (1964) présente plusieurs avantages comme la capacité à bien reproduire des résultats expérimentaux avec un petit nombre de paramètres. Dans notre modèle hydro mécanique, par souci de simplicité, nous allons choisir cette formule en ajoutant une constante afin d’assurer la transition continue entre les domaines de saturation.

(𝑈𝑆) 𝑆_𝐿= 𝑆_𝑒(^𝑠𝑒

𝑠⁾ 𝛼

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝_𝑎𝑡𝑚− 𝑝_𝐿> 𝑠𝑒 (6-4) Avec : 𝑠_𝑒 la succion seuil

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L’injection de (6-1) et (6-3) dans (6-4) permet de déduire le degré de saturation en air chassable :

(𝑈𝑆) 𝑆_𝑎𝐺 = 𝑆_𝑒[1 − (^𝑠𝑒

𝑠⁾ 𝛼

] 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝_𝑎𝑡𝑚− 𝑝_𝐿 > 𝑠_𝑒 (6-5)

Le domaine quasi-saturé (notée 𝑄𝑆):

Dans ce domaine, l’air libre a disparu et il ne reste que l’air occlus au sein de l’échantillon considéré, la phase gazeuse est discontinue.

(𝑄𝑆) 𝑆_𝑎𝐺 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝_𝑎𝑡𝑚− 𝑝_𝐿≤ 𝑠𝑒 (6-6)

On constate une répartition de la taille des bulles d'air donc la pression de ces dernières est assez complexe. Pour construire un modèle viable, il est nécessaire d'introduire quelques hypothèses supplémentaires. On remarque d'abord que plusieurs auteurs ont supposé que, dans le cas du domaine QS, la majorité des bulles d’air est piégée dans les gros pores et seul le phénomène de dissolution peut réduire la quantité de l’air occlus (Faybishenko, 1995). Par ailleurs, lors du passage du domaine 𝑈𝑆 au domaine 𝑄𝑆, le rayon des plus gros restés "sec" est déterminé par la succion d’entrée d’air 𝑠_𝑒.

Par ailleurs, lorsqu’on comprime un sol quasi-saturé, la quantité de l’air occlus diminue. Dans la littérature, il existe deux interprétations différentes de cette réduction (cf. Figure 6-1):

1) La 1^ère approche suppose que le nombre des bulles d’air reste constant, c'est leurs rayons qui diminuent (Schuurman, 1966 ; Bicalho et al, 1999). Cette approche amène à surestimer la pression de gaz qui conduit à leur rapide disparition irréaliste et ne colle pas avec les observations expérimentales.

2) La 2^ème approche considère au contraire que c'est le rayon des bulles d’air qui reste constant et c'est leur nombre qui diminue (Boutonnier, 2007). Cette deuxième approche est plus cohérente par rapport aux observations expérimentales.

Dans cette étude, nous choisissions la deuxième approche où on suppose que le rayon des bulles d’air est toujours constant égal à celui du seuil de transition entre le domaine non saturé et quasi-saturé.

(𝑄𝑆) 𝑝_𝐺− 𝑝_𝐿= 𝑠_𝑒 (6-7)

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Figure 6-1 : Représentation de deux approches pour décrire la réduction de la quantité de l’air occlus dans le domaine quasi-saturé

Le domaine saturé (notée 𝐹𝑆):

Le sol est parfaitement saturé, il n’y a plus d’air à l’état gazeux dans l’échantillon de sol. 𝑆𝑎𝑆= 0 Ce domaine est caractérisé par 𝑆_𝐿= 1

Bilan des domaines de saturations

La présentation de trois domaines de saturation et les limites entre les différents domaines (caractérisées par 𝑠𝑒, 𝑆𝑒 et 𝑆𝑎𝑆) est reproduite dans la Figure 6-2.

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La Figure 6-2 donne une vue d'ensemble de trois régimes de saturations (𝑈𝑆, 𝑄𝑆, 𝐹𝑆), en montrant aussi schématiquement comment varier la pression de liquide et fractions volumiques de l'air gazeux ainsi que les conditions de transition entre différents régimes.

Pour bien fixer les idées, on imagine le cas d'un mouillage avec la teneur en eau croissante.

- Dans le domaine 𝑈𝑆 : la pression de gaz 𝑝_𝐺 est constante et égale à la pression atmosphérique 𝑝𝑎𝑡𝑚, la pression du liquide est croissante, donc la succion 𝑠 est décroissante. La saturation en air occlus 𝑆𝑎𝑆 est supposée constante et la saturation de l’air libre 𝑆𝑎𝐺 diminue. Lors du passage au domaine 𝑄𝑆, la succion atteint la valeur d’entrée d’air 𝑠𝑒 et la quantité d’air libre 𝑆_𝑎𝐺 devient nulle.

- Dans le domaine 𝑄𝑆, il n’y a plus que l'air occlus, marqué en rose. La différence entre les pressions du gaz et du liquide est constante, égale à la succion à l’entrée d’air 𝑠_𝑒. La saturation en air occlus 𝑆𝑎𝑆 diminue jusqu’à zéro au passage au domaine FS.

- Dans le domaine 𝐹𝑆, il n’y a plus d’air à l’état gazeux, le degré de saturation du liquide 𝑆𝐿 est égale à 1.

Afin de faciliter l’écriture du système d’équation, nous définissons deux coefficients 𝛽₁ et 𝛽₂ tels que:

(𝑈𝑆) 𝛽₁= 0; 𝛽₂= 0

(6-8)

(𝑄𝑆) 𝛽₁= 1; 𝛽₂= 1

(𝐹𝑆) 𝛽₁= 1; 𝛽₂= 0

En combinant les équations (6-1) et les équations de (6-3) à (6-6) et (6-8) la variation du degré de saturation est représentée comme:

(𝑈𝑆, 𝑄𝑆, 𝐹𝑆) 𝑆_𝐿= (1 − 𝛽₁)𝑆_𝑒( ^𝑠𝑒 𝑝_atm− 𝑝_𝐿⁾

𝛼

+ 𝛽₁− 𝛽₂𝑆_𝑎𝑠 (6-9)

De même, en combinant les équations (6-2)(6-7) et (6-8) la pression de gaz est définie comme:

(𝑈𝑆, 𝑄𝑆, 𝐹𝑆) 𝑝_𝐺 = (1 − 𝛽₁)𝑝_𝑎𝑡𝑚+ 𝛽₁(𝑝_𝐿+ 𝑠_𝑒) (6-10)

Bien que dans le domaine saturé, il n’y a plus d’air à l’état gazeux, c.-à-d., il n’existe pas de pression de gaz 𝑝𝐺. Notons que dans l’équation (6-10), on a étendu artificiellement la définition de 𝑝_𝐺 = 𝑝_𝐿+ 𝑠_{𝑒 dans le domaine saturé. Ce choix purement théorique permet de présenter une} équation continue de la pression de gaz pour tous les domaines de saturation.