Chapitre 5. Cadre général de la modélisation du comportement hydro mécanique des sols
5.2. Choix des variables de contrainte
5.2.2. Approche à deux variables
5.2.2.2. Approche utilisant la contrainte effective et la succion
D’autres modèles utilisant la contrainte effective et la succion comme variables sont présentés par Loret et Khalili, 2002 ; Wheeler et al, 2002; Sheng et al, 2004; Pereira, 2005 ; Sun et al,2007 ; Morvan et al,2010; Lai et al,2015).
La contrainte effective dans les domaines saturés et non saturés
La notion de contrainte effective a été introduite par Terzaghi (1936) afin de modéliser le comportement mécanique des sols saturés : "la contrainte à n’importe quel point d’un massif du sol peut être expliquée par la contrainte totale. Si les vides du sol sont remplis par de l’eau, la contrainte sera composée de deux parties : la contrainte effective et la pression d’eau identique dans toutes les directions. La contrainte effective s’explique par :
𝝈′ = 𝝈 − 𝑝𝐿𝑰 (5-19)
Avec:
𝝈′ tenseur de contrainte effective 𝝈 tenseur de contrainte totale 𝑰 tenseur d’unité
𝑝𝐿 pression d’eau
Dans cette expression la compressibilité des grains devant celle du squelette solide est supposée négligeable et l’eau est supposée incompressible.
Cette formulation de Terzaghi a été validée expérimentalement par Fredlund et al (1993).
La pertinence de l’équation de contrainte effective pour les sols non saturés a incité les chercheurs à définir des équations similaires pour les sols non saturés. Dans le cas des sols non saturés, la non saturation du milieu se traduit par l’existence d’une force d’attraction supplémentaire entre les grains, qui entraine une rigidification du milieu, une augmentation de résistance et une diminution de sa déformabilité (Coussy et Fleureau, 2002). Il faut donc tenir compte, dans l’équation de contrainte effective, des caractéristiques des sols au moyen d’un ou de plusieurs paramètres.
Bishop (1959) a proposé une formule de contrainte effective :
𝝈′= 𝝈 − 𝑝𝐺𝑰 + χ(𝑝𝐺− 𝑝𝐿)𝑰 (5-20)
Où 𝜒 est un paramètre fonction du degré de saturation. 𝜒 varie de 0 à 1 et vaut 0 pour les sols sec et 1 pour les sols saturés. (le cas 𝜒 = 1, on retrouve la contrainte effective de Terzaghi pour les sols saturés).
Suite à la définition de la contrainte effective, plusieurs auteurs ont proposé une formulation générale de la contrainte effective comme suit:
𝝈′ = 𝝈 − 𝜋𝑰 (5-21)
Dans l’équation ci-dessus, on a introduit une nouvelle variable 𝜋, appelée, pression interstitielle équivalente qui est une fonction de la succion 𝑠.
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Dans la partie suivante, on va présenter quelques modèles des sols utilisant la succion et la contrainte effective comme variable. Ces modèles sont divisés en deux catérogies: les modèles utilisant le concept de contrainte effective de Bishop et les modèles utilisant le concept de contrainte effective de Coussy et Dangla (2002).
Les modèles utilisant la contrainte effective de Bishop
La majorité des modèles des sols non saturés utilise le concept de contrainte effective de Bishop. Dans ce concept, il est nécessaire de préciser la valeur de 𝜒.
Détermination de 𝜒
Afin d’expliciter l’expression de 𝜒, Bishop et al (1963) ont fait des essais triaxiaux où les pressions 𝑝𝐺 et 𝑝𝐿 étaient contrôlées. Il considère que la forme générale de la relation liant le paramètre 𝜒 au degré de saturation 𝑆𝐿,est telle que 𝜒 = 𝑓(𝑆𝐿).
Des études expérimentales ont été réalisées pour mesurer le paramètre 𝜒 pour plusieurs types de sols (Figure 5-6). Il apparait que 𝜒 n’est pas trop éloigné de 𝑆𝐿. Par souci de simplicité, nombre d’auteurs ont pris directement 𝜒 = 𝑆𝐿.
Figure 5-6 : Relation entre le degre de saturation et 𝝌 (Nuth, 2008)
De plus, vu que ce paramètre dépend aussi de l’état et l’histoire de contrainte. Khalili et Khabbaz (1998) ont déterminé expérimentalement 𝜒 en utilisant les données expérimentales de 14 sols issues de la littérature(cf. Figure 5-7). Il trouve une relation unique entre 𝜒 et le rapport 𝑠/𝑠𝑒.
𝜒 = {( 𝑠𝑒
𝑠) 0.55 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝𝑎𝑡𝑚− 𝑝𝐿≥ 𝑠𝑒 (𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑈𝑆)
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Figure 5-7: Comparaison entre la formulation analytique et les résultats expérimentaux (Khalili et Khabbaz, 1998)
Récemment, en effectuant une étude de la microstructure de sol non saturé, Alonso et al. (2010) ont montré que le paramètre 𝜒 est une fonction du degré de saturation mais reste plus faible que le degré de saturation lui-même et ont proposé une nouvelle formulation de 𝜒 :
𝜒 = (𝑆𝑟) 𝛼
Avec 𝛼 > 1 (5-23)
Dans la littérature, on peut citer quelques modèles utilisant le concept de Bishop comme: Le modèle de Kohgo et al (1993)
Khogo (Khogo et al, 1993) est basé sur des observations expérimentales d'essais de résistance au cisaillement, il a proposé que le paramètre 𝜒 est déterminé comme :
𝜒 = {
1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠 ≤ 𝑠𝑒 𝑠𝑒+𝑠−𝑠𝑒+𝑎𝑒𝑎𝑒 (𝑠−𝑠𝑒)
𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠 > 𝑠𝑒 et 𝑠
∗= 〈𝑠 − 𝑠𝑒〉 (5-24)
Où : 𝑠𝑒 la succion d'entrée d'air, et 𝑎𝑒 un paramètre matériel
Ce modèle peut bien reproduire le comportement des sols dans le domaine non saturé comme le phénomène d’effondrement, la variation de la résistance au cisaillement avec la succion en utilisant un mécanisme d’écrouissage isotrope. Pourtant, ce modèle nécessite plusieurs paramètres au passage entre les domaines de saturation (au point d’entré d’air).
Le modèle de Khalili et Loret (2002)
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𝜒 = {1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠 ≤ 𝑠(𝑠𝑒 𝑒
𝑠) 0.55 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠 > 𝑠𝑒 (5-25) Cette valeur de 𝜒 est proposée par Khalili et Khabbaz, 1998 à l’issue de plusieurs résultats expérimentaux.
Ce modèle développé basé sur le modèle de Camclay est ensuite testé afin de reproduire les résultats expérimentaux des essais de compression isotropes, de l’essai drainé et non drainé présentés par Wheeler et Sivakumar, 1995.
Les modèles utilisant l’approche énergétique de Coussy et Dangla
Dans des années récentes, en utilisant la nouvelle approche énergétique, Coussy et Dangla ont proposé une autre formule pour déterminer la contrainte effective. Dans cette approche, la pression interstitielle équivalente 𝜋(𝑠) est déterminée par:
𝜋(𝑠) = { 𝑝𝐺− 𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠 ≤ 𝑠𝑒 𝑝𝐺− 𝑠. 𝑆𝐿−2 3 ∫ 𝑠(𝑆)𝑑𝑆 1 𝑆𝐿 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠 > 𝑠𝑒 (5-26) La formulation de 𝜋 représente deux parties : la partie classique correspond à la contrainte effective de Bishop avec 𝜒 = 𝑆𝐿, et la deuxième partie correspond à la partie tenant compte les effets de l’énergie d’interface.
Le modèle de Coussy et Dangla (2002)
La construction de ce modèle est basée sur le modèle Camclay et le nouveau novelle principe de la contrainte effective présenté ci-dessus. Ce modèle a été validé grâce à la comparaison entre les résultats théoriques et des résultats expérimentaux des essais où on change la succion ou la contrainte isotrope. La comparaison montre la capacité du modèle à reproduire le comportement des sols non saturés.
Le modèle CASM-NS de Lai et al (2015)
Lai et al (2015) ont développé un modèle de sol non saturé basé sur le concept de Bounding Surface Plasticity des sols non saturés. Ce modèle permettant de reproduire les comportements de base des sols non saturés, comme l’effondrement au remouillage et l’augmentation de la résistance avec la succion. Les atouts de ce modèle par rapport aux modèles rhéologiques des sols non saturés déjà existants sont sa capacité de simuler une transition progressive entre l’état élastique et plastique, et la bonne reproduction du comportement volumique complexe des sols fins.
La prise en compte de la succion dans ces modèles a permis de prédire le comportement typique des sols non saturés tels que la variation de la résistance au cisaillement quand la succion augmente ou l’effondrement de l’échantillon lors d’un remouillage. De plus, cette approche est également compatible avec des tests en laboratoire quand la succion est contrôlée et est une variable indépendante.
5.3. Conclusion
De ce chapitre, nous avons présenté le concept d’état critique le cadre général et le choix des variables dans la simulation du comportement hydromécanique des sols. Ces connaissances servent à la construction d’un nouveau modèle présenté dans la partie suivante de cette thèse. Pour résumer, on peut déduire quelques conclusions:
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- La simulation du comportement hydro mécanique sera construite dans le cadre de l’état critique.
- Il existe plusieurs approches pour décrire le comportement mécanique des sols dans les domaines de saturations. On peut choisir parmi les suivantes : l’approche de contrainte effective seule, l’approche de contrainte effective-succion, l’approche de contrainte nette-succion. Chaque approche a des avantages et des limites. En étudiant ces points forts et points faibles, nous avons choisi l’approche utilisant la succion et la contrainte effective comme variables dans le nouveau modèle.
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