NOURRIR NEUF MILLIARDS D’ETRES HUMAINS

« […] Le monde peut-il nourrir les 9 milliards d’humains annoncés ? Rien n’est sûr. Certains facteurs de production peuvent s’accroître : il y a de bonnes terres incultes à mettre en valeur, des progrès techniques et scientifiques à diffuser, des recherches à poursuivre, une formation technique à favoriser. Mais certains facteurs de production se réduisent : parmi les meilleures terres, certaines sont menacées par la montée du niveau des océans, l’urbanisation et les grands travaux, la surexploitation, la pollution, la disparition de forêts qui sont des régulateurs climatiques. Le désert dévore des espaces hier encore fertiles. L’eau, bien rare, devient un élément de conflit entre irrigation et besoins « urbains ». Les capitaux à investir en faveur du développement ne sont pas inépuisables, et l’agriculture en exige beaucoup.

Il nous serait permis, malgré tout cela, de faire le pari de l’autosuffisance de tous si le monde avait la capacité politique d’assurer des médiations difficiles : entre le droit des peuples de se nourrir eux-mêmes et le droit des marchands à abolir les frontières ; entre une planète exploitée par 300 000 méga fermes industrielles et 1 milliard d’entreprises familiales agricoles ; entre l’idéologie marchande, pour laquelle tout est simple, et une appréhension nuancée d’un monde naturel, social et politique comple xe. La sécurité internationale dépend en effet d’un développement équilibré où la nature serait jardinée ; où d’immenses agglomérations et de grands conglomérats ne communiqueraient pas entre eux par des voies express traversant des espaces désolés ; où échappant à la misère, les peuples les moins bien pourvus connaîtraient au moins une pauvreté tolérable.

Le pire n’est pas exclu, car nous passons de la mondialisation des échanges à la globalisation d’un modèle dont la plus grande partie de la planète et la grande majorité des humains ne sauraient s’accommoder. Dans une unité contrainte, nous sommes menacés par une uniformisation faisant fi de notre diversité. Or si les civilisations sont multiples, c’est que la nature les a faites telles. Uniformiser, c’est faire disparaître des capacités de production. C’est vouer au désespoir – qui est mauvais conseiller – de 4 à 5 milliards de paysans ou de ruraux.

DES CLIVAGES POLITIQUES INATTENDUS

Le monde met l’agriculture au défi de nourrir 9 milliards d’êtres en sauvegardant nature et sociétés rurales. Acceptant ces responsabilités, l’agriculture met la société globale au défi de lui en donner les moyens ; elle met l’Union européenne élargie au défi d’exister comme une puissance autonome, capable de définir et de négocier une politique agricole, alimentaire, rurale et environnementale européenne assumant sa sécurité et contribuant aux équilibres mondiaux ; elle met l’OMC au défi de définir des règles qui tiennent compte de ses caractères spécifiques et de son infinie diversité ; elle met la modernité au défi d’inscrire le présent dans la durée. Il n’est pas impossible de relever ce défi. Esquissons donc les principes d’une gouvernance mondiale et d’une politique européenne.

Notre ambition, notre devoir étant de mettre fin à la faim, les besoins alimentaires du monde seront trois fois plus importants dans vingt cinq ans qu’ils ne le sont aujourd’hui. Les sociétés rurales représentant 4 milliards d’êtres, l’augmentation de la production agricole ne peut être recherchée dans l’oubli des énormes problèmes que représenterait un exode rural massif, alors que les villes, l’industrie et les services ne leur ouvrent pas les bras.

Le développement de la production agricole est favorisé par les progrès, mais il est menacé par la raréfaction de certains facteurs de production. Il ne saurait être promis, où que ce soit dans le monde, par la mise en œuvre hâtive de découvertes et la persistance de pratiques menaçant l’environnement. La sécurité alimentaire étant reconnue comme un droit humain et politique fondamental, doivent donc être consacrés à la fois le droit des peuples à se nourrir eux-mêmes et l’interdiction de toute subvention à l’exportation. Des médiations doivent être assurées : entre les dynamiques scientifique et marchande et la fragilité des sociétés comme de l’environnement ; entre la diversité naturelle et culturelle des régions et l’unité à inventer d’un monde pacifié.

Tels doivent être les objectifs d’une « gouvernance » mondiale et d’une politique agricole, alimentaire, rurale et environnementale européenne. Elles sont, l’une et l’autre, à inventer. Elles mettent au défi une OMC qui a pour seule vocation de favoriser les échanges et une Union européenne qui doit se construire en puissance mondiale d’un nouveau type.

Ces exigences répondant à des besoins et des menaces constatés, il serait moralement inacceptable, objectivement absurde et politiquement dangereux de ne pas y répondre.

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ECOLE NATIONALE SUP ´ERIEURE DE STATISTIQUE ET D’ ´ECONOMIE APPLIQU ´EE

ENSEA–ABIDJAN

AVRIL 2005

CONCOURS ING ´ENIEURS STATISTICIENS ´ECONOMISTES ISE Option Math´ematiques

CALCUL NUM ´ERIQUE (Dur´ee de l’´epreuve : 2 heures)

Exercice

Soit X1, · · · , Xn un n-´echantillon de (Ω, A, IP) un espace probabilis´e dans (IR, B, PX) l’espace des r´eels muni de la tribu bor´elienne et sa probabilit´e image. On a var(Xi) < +∞ et IE(Xi) = 0 pour tout i = 1, · · · , n. De plus, la probabilit´e PX est sym´etrique, c’est-`a-dire qu’elle est telle que pour tout ´ev´enement B ∈ B,

PX(B) = P−X(B) o`u P_−X est la loi de la variable al´eatoire −Xi.

1. Montrer que ∀t ≥ 0, λ > 0, IP( Pn i=1X_i pPn i=1X2 i > t) ≤ e^−λtIE   e λ Pn i=1Xi pPn i=1^X2i    2. Soit un n-´echantillon σ1, · · · , σn ind´ependant de l’´echantillon X1, · · · , Xn, tel que

IP(σi= 1) = IP(σi= 0) = ¹₂. Justifiez l’´egalit´e suivante

∀λ > 0, IE   e λ Pn i=1σiXi pPn i=1^X2i   = IE   e λ Pn i=1Xi pPn i=1^X2i    3. Montrer que ∀λ > 0, IE   e λ Pn i=1Xi pPn i=1^X2i   = IE   n Y i=1 IE  e λ ^σiXi pPn i=1^X2i       X₁, · · · , X_n    

4. On rappelle que pour tout y r´eel, on a ^ey+e₂^−y ≤ e^y22 . A l’aide de cette in´egalit´e montrer que

∀λ > 0, IE   e λ Pn i=1Xi pPn i=1^X2i   ≤ e^λ22 1

5. Conclure en montrant que ∀t > 0, IP      Pn i=1Xi pPn i=1X2 i      > t ! ≤ 2e^t22 Probl`eme Partie I.

Soit U une fonction deux fois continˆument d´erivable de IR³ dans IR (U ∈ C²(IR³, IR)). Soit x une fonction deux fois continˆument d´erivable de IR dans IR (x ∈ C2(IR, IR)). Soient t_i, t_f, x₀, x₁ quatre r´eels donn´es tels que



x(t_i) = x₀ x(t_f) = x₁ On appellera par la suite cette condition sur x : CIF.

On cherche dans cette partie `a exprimer une condition sur ˜x(t) afin que max x∈C2(IR,IR), CIF {Φ(x)} = Φ(˜x) (1) lorsque Φ(x) = Z tf ti U (t, x(t), x⁰(t))dt

On notera pour tout ce qui suit ∂_ziU la d´eriv´ee partielle de U par rapport `a sa i `eme variable pour i = 1, 2, 3.

On consid`ere ˜x une solution de (1).

1. Soit h ∈ C²(IR, IR) telle que h(ti) = h(tf) = 0. Soit s > 0. (a) A-t-on t 7→ ˜x(t) + sh(t) ∈ C²(IR, IR) ?

(b) Cette fonction remplit-elle les conditions CIF ? (c) Comparer Φ(˜x) et Φ(˜x + sh) pour tout s > 0.

(d) Soit g(s) = Φ(˜x + sh) d´efinie pour tout s ∈ IR. A l’aide de la d´efinition d’une d´eriv´ee, montrer que g⁰(0) ≤ 0.

2. (a) Exprimer g(s) en fonction de U, t, x, x⁰, s et h.

(b) Montrer qu’on peut intervertir le signe d´erivation par rapport `a s et le signe int´egrale dans l’expression suivante

d ds Z t_f ti U (t, ˜x(t) + sh(t), ˜x⁰(t) + sh⁰(t))dt 

(c) Montrer que l’on a Z t_f

t_i

[∂z₂U (t, ˜x(t), ˜x⁰(t))h(t) + ∂z₃U (t, ˜x(t), ˜x⁰(t))h⁰(t)] dt ≤ 0

(d) A l’aide d’une int´egration par partie que l’on posera soigneusement, montrer qu’il existe une constante A telle que

Z t_f t_i h⁰(t)  − Z t t_i ∂z2U (v, ˜x(v), ˜x⁰(v))dv + A + ∂z3U (t, ˜x(t), ˜x⁰(t))  dt ≤ 0 2

3. Soit h(t) telle que h⁰(t) = −

Z t ti

∂z₂U (v, ˜x(v), ˜x⁰(v))dv + A + ∂z₃U (t, ˜x(t), ˜x⁰(t)) (2) (a) Montrer qu’il existe h ∈ C2(IR, IR), v´erifiant (2) et h(ti) = h(tf) = 0.

(b) Montrer qu’on a alors

∀t ∈ [ti, tf], h⁰(t) = 0

(c) En d´eduire qu’une condition n´ecessaire pour que ˜x soit solution de (1) et v´erifie CIF est ∀t ∈ [t_i, t_f], ^d

dt^(∂z3U (t, ˜x(t), ˜x⁰(t))) = ∂_z2U (t, ˜x(t), ˜x⁰(t)) (3) Partie II.Application de la partie I

On s’int´eresse `a une entreprise produisant des vis. Cette entreprise re¸coit une commande de B vis `

a livrer en une seule fois `a la date t = T . On suppose qu’`a la date t = 0 o`u elle re¸coit la commande, elle ne posss`ede aucune vis en stock. On d´esire ´etablir le plan de production de cette entreprise durant la p´eriode de temps [0, T ] de mani`ere `a minimiser le coˆut total de cette commande. Le coˆut total instantan´e C(t) se d´ecompose entre :

• Le coˆut de stockage instantan´e S(t). On suppose celui-ci proportionnel `a la quantit´e stock´ee : lorsqu’il y a N (t) vis au temps t `a stocker, le coˆut de stockage instantan´e est alors S(t) = c₁N (t) avec c₁constante positive.

• Le coˆut direct de fabrication instantan´e F (t) d’une vis. Il est suppos´e lin´eairement croissant avec la vitesse de production.

On note y(t) le nombre de vis fabriqu´ees en tout temps t. 1. Que repr´esente

∀t ∈ [0, T ], w(t) = Z t

0

y(s)ds ? 2. Exprimer y(t) en fonction de w⁰(t) pour tout t ∈ [0, T ].

3. Quelle est la vitesse de production par vis ? Exprimer la en fonction de w⁰(t). 4. D´eterminer w(0) et w(T ).

5. D´eterminer S(t) en fonction de w(t).

6. Montrer que F (t) s’exprime comme F (t) = c2y²(t), avec c2 constante strictement positive. 7. Exprimer le coˆut total instantan´e C(t) en fonction de w(t) et w⁰(t).

8. Exprimer le coˆut total C sur la p´eriode [0, T ].

9. Pr´eciser le sens du probl`eme d’optimisation suivant dans le cadre ci-dessus d´efini. On ex-plicitera le sens de chacune des expressions du probl`eme (P) suivant :

(P)        min_w∈C2(IR) RT 0 c₂(w0(t))2+ c₁w(t)dt w(0) = 0 w(T ) = B w(t) > 0, w⁰(t) ≥ 0, t ∈]0, T ] 3

10. Proposer des solutions possibles au probl`eme (P) en appliquant le r´esultat (3) de la partie I question 3 (c), pour le probl`eme (P₁)

(P1)    min_w∈C2(IR) RT 0 c2w⁰²(t) + c1w(t)dt w(0) = 0 w(T ) = B

11. V´erifier a posteriori les conditions sous lesquelles ces solutions v´erifient w(t) > 0 et w⁰(t) ≥ 0 pour t ∈]0, T ]. On notera ces conditions H1.

12. Si H1 n’est pas respect´ee, que faire du point de vue du plan de production pour minimiser le coˆut et honorer la commande en temps voulu ?

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APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN

INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE

ISSEA – YAOUNDÉ

AVRIL 2006

CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES

ISE Option Mathématiques ORDRE GÉNÉRAL

(Durée de l’épreuve : 4 heures)

Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.

Sujet n° 1

Le développement durable a été défini en 1987 par Mme Brundtland, Premier Ministre norvégien, comme «un développement qui répond aux besoins du

présent sans compromettre la capacité des générations futures à répondre aux leurs.»

Selon vous, quelles sont les conditions nécessaires à cet équilibre, en Afrique notamment ?

Sujet n° 2

«Une éthique des sciences est-elle nécessaire ?»

Argumentez avec des exemples.

Sujet n° 3

«Ceux qui ne peuvent pas se souvenir du passé sont condamnés à le

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ECOLE NATIONALE SUP´ERIEURE INSTITUT SOUS-R´EGIONAL DE STATISTIQUE DE STATISTIQUE ET D’´ECONOMIE APPLIQU´EE ET D’´ECONOMIE APPLIQU´EE

ENSEA–ABIDJAN ISSEA - YAOUND´E

AVRIL 2006

CONCOURS ING´ENIEURS STATISTICIENS ´ECONOMISTES ISE Option Math´ematiques

1`ere COMPOSITION DE MATH´EMATIQUES (Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures)

Les r´esultats seront encadr´es.

Pour n entier ≥ 1, On d´esigne par M_n(C) (resp.M_n(R)) l’espace vectoriel des matrices n lignes et n colonnes `a coefficients dansC(resp. R).

Si A = (a_i,j), B = (b_i,j) ∈ M_n(R), on ´ecrit A ≤ B (resp. A < B.) si pour tout i, j ∈ {1, · · · , n},

a_i,j≤ b_i,j (resp. a_i,j< b_i,j). A est positive (resp. strictement positive) si A ≥ [0] (resp A > [0]),[0] d´esigne la matrice nulle.

Un vecteur x ∈Cn est dit positif (resp. strictement positif) si ses coordonn´ees sont positives (resp. strictement positives).

Une norme N sur M_n(C) est dite sous-multiplicative si

∀A, B ∈ M_n(C), N (AB) ≤ N (A)N (B).

Partie I

On munitCn de la norme : x = (x₁, x₂, · · · , x_n) 7→ ||x|| = sup

1≤i≤n

|x_i|.

1. Montrer que || ||_∞ : M_n(C) −→R, d´efinie par

||A||_∞= sup

x6=0 ||Ax||

||x|| ^{, A ∈ Mn(}C),

est une norme.

2. Si A = (a_i,j), v´erifier que

||A||_∞= sup 1≤i≤n  ^Xn j=1 |a_i,j|   . 3. Montrer que la norme || ||_∞est sous-multiplicative.

Partie II

Pour toute matrice A = (a_i,j) ∈ M_n(C) et tout vecteur x = (x₁, x₂, · · · , x_n) ∈Cn , on pose

|A| = (|ai,j|) et |x| = (|x1|, |x2|, · · · , |xn|).

1. Montrer que si A, B ∈ M_n(C) et x ∈ Cn, alors |A + B| ≤ |A| + |B|, |AB| ≤ |A||B| et

|Ax| ≤ |A||x|.

2. Montrer que si A est une matrice strictement positive et x un vecteur positif non nul alors

Ax est un vecteur strictement positif.

3. Montrer que si A est une matrice positive et x un vecteur strictement positif alors Ax = 0 implique A=0.

4. Montrer que si deux complexes z, z0 v´erifient |z + z0| = |z| + |z0|, alors il existe un r´eel λ tel

que z0= λz.

5. En d´eduire que si z₁, · · · , z_n∈Cn sont n nombres complexes (n ≥ 2) tels que

|z₁+ z₂+ · · · + z_n| = |z₁| + |z₂| + · · · + |z_n|,

∃θ ∈R, ∀ k ∈ {1, 2, · · · , n} z_k = eiθ|z_k|

6. Soit A une matrice strictement positive et x ∈Cn. Montrer que

|Ax| = |A||x| =⇒ ∃θ ∈R, x = e^iθ|x|.

Partie III

On munit M_n(C) d’une norme sous-multiplicative || ||. Si A ∈ M_n(C) et λ₁, λ₂, · · · , λ_nsont les valeurs propres de A, on appelle rayon spectral le nombre ρ(A) = max

1≤i≤n|λ_i|.

1. D´eterminer le rayon spectral de la matrice µ a b b c ¶ , a, b, c ∈R, a26= c2. 2. Montrer qu’il existe une matrice X ∈ M_n(C), non nulle, telle que AX = λX. 3. En d´eduire que ρ(A) ≤ ||A||.

4. Comparer ρ(A) et ρ(S−1AS).

5. Montrer que, pour tout k ∈N∗, on a ρ(Ak) = [ρ(A)]^k. En d´eduire que ρ(A) ≤ ||Ak||¹k. 6. Montrer que l’application N : A 7→ ||S−1AS|| est une norme sur M_n(C).

7. Soit ε > 0 et 4 = (4_i,j) la matrice donn´ee par

4_i,j = 0, si i 6= j et 4_i,i= dⁱ⁻¹, 1 ≤ i ≤ n, o`u d > 0.

Calculer 4−1T 4, En d´eduire qu’il existe une norme sous-multiplicative N sur M_n(C) telle que

N (A) ≤ ρ(A) + ε.

8. Montrer que si ρ(A) < 1 alors lim

k−→+∞A^k= 0. 9. En d´eduire que ρ(A) = lim

k−→+∞||Ak||¹k ( consid´erer la matrice A_ε = ^A

ρ(A) + ε^{, ε > 0).}

Partie IV Soit A ∈ M_n(R) une matrice strictement positive. On note S₊= {x = (x₁, x₂, · · · , x_n) ∈R/x ≥ 0 et

n

X

i=1

x_i= 1}. 1. Montrer que l’ensemble

Λ = {λ ∈R/∃X ∈ S₊, AX ≥ λX}

est major´e et que sa borne sup´erieure λ₀ est une valeur propre r´eelle de A associ´ee `a un vecteur propre X strictement positif.

2. Si λ 6= λ₀est une autre valeur propre de A, montrer que |λ| < λ₀.

3. Montrer que le sous espace propre E_λ0 de A associ´e `a la valeur propre λ₀est de dimension 1.

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CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES

ISE Option Mathématiques

2^ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 4 heures)

Dans toute cette épreuve, R désigne l’ensemble des nombres réels.

Exercice n° 1

Soit A la matrice d’une application linéaire de R dans ⁿ R . ⁿ

1. Montrer que l’orthogonal de Im(A est ) Ker(A^'), où Im(A désigne l’image de )

A et Ker(A^') le noyau de la transposée '

A de A .

2. Montrer que le problème de minimisation suivant Min Av b ²

n

R v

−

∈ admet au moins une solution que l’on notera u , où ₀ b∈Rⁿ.

3. Montrer que si u₁ est une autre solution du problème précédent de minimisation, alors Au₁=Au₀.

4. Résoudre le problème posé de minimisation dans le cas où le rang de la matrice A est égal à n.

Exercice n° 2

Soit f une fonction numérique définie sur

]

0,+∞

[

, convexe, croissante et non constante. Etudier le comportement de f au voisinage de +∞.

Exercice n° 3

Soit n≥3 un entier. On considère la fonction numérique f définie sur R ²

par f(x,y)= xⁿ +yⁿ −nxy.

1. Déterminer l’ensemble des points critiques de f et préciser leur nombre (on discutera selon la parité de n).

2. Dans toute la suite de cet exercice, on suppose n=4. Montrer que f admet un minimum et un maximum sur le disque D=

{

(x,y)∈R²/x² +y² ≤4

}

.

3. Calculer la valeur minimale de f sur D .

4. Vérifier l’inégalité f(x,y)≤16−2x²y² −4xy pour tout couple (x,y) appartenant à D . En déduire la valeur maximale de f sur D .

Exercice n° 4

1. Soit f une fonction numérique de classe 1

C telle que f(0)= f^'(0)=0et vérifiant : ∃a∈R^*/ f(a)=0. Montrer qu’il existe un point M du graphe de f tel que la tangente en M au graphe de f passe par l’origine.

2. Soit g une fonction numérique deux fois dérivables sur un intervalle

[ ]

a,b

telle que g(a)= bg( )≥0 et g^''(x)≤0 pour tout xde

[ ]

a,b . Montrer que pour tout xde

[ ]

a,b on a g(x)≥0.

Exercice n° 5

1. Développer en série entière ln(1− pour x) 0< x <1, où ln désigne le logarithme népérien. 2. Calculer le réel

∑

≥ + − = 32 ( 1)( 2) 1 n n n n

a (on pourra utiliser la fonction

∑

≥ + − = 3( 1)( 2) ) ( n n n n x x S ). Exercice n° 6

Soit f une fonction numérique continue sur R , périodique de période T . 1. Montrer que

∫

^b a dt nt f( ) converge vers ⁻

∫

^T f u du T a b 0 ) ( ) (

lorsque n tend vers + . ∞ 2. Montrer que pour toute fonction en escalier ϕ sur R , nulle en dehors

d’un intervalle borné, on a :

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∫ ∫

∫

^+∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ → f u du u du T dt t nt f Lim T n ( ) ( ) ¹ ( ) ( ) 0 ϕ ϕ

3. En déduire que le résultat ci-dessus reste vrai pour toute fonction continue sur un intervalle borné.

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AVRIL 2006

CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES

ISE Option Mathématiques CONTRACTION DE TEXTE (Durée de l’épreuve : 3 heures)

Vous résumerez en 200 mots l’article suivant « Bataille pour la survie du coton africain » de Tom Amadou Seck paru dans Le Monde Diplomatique de décembre 2005.

N’oubliez pas de préciser le nombre de mots utilisés à la fin de votre copie.

Dans le document Ise math 2019 final (Page 164-178)