CONTRACTION DE TEXTE DUREE : 3 HEURES

Vous résumerez en 250 mots le texte suivant d’Anton BRENDER extrait de son dernier livre « Face aux marchés, la politique ». N’oubliez pas de préciser le nombre de mots utilisés à la fin de votre copie.

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Dans un roman à succès des années 1960 – The Group - l’une des héroïnes de Mary Mac Carthy explique : « mes parents étaient communistes. Ils m’ont toujours dit de ne pas donner d’argent aux mendiants : faire la charité ne peut que retarder le jour où le prolétariat opprimé renversera le régime capitaliste. » Le propos témoigne de cette attente confiante du Grand Soir qui, pendant des décennies, a animé de nombreux militants. Pour eux, composer durablement avec le capitalisme était

impensable. Le progrès social passait nécessairement par son abolition. « La propriété, c’est le vol. Exproprions les Bourgeois ! Les usines au peuple !... »

Ces slogans, porteurs d’un projet clair, ont servi de mots d’ordre à des luttes innombrables. Ceux qui les ont scandés ont souvent été férocement réprimés. Aujourd’hui, pourtant, ces propos paraissent d’un autre âge. Entre temps, beaucoup d’eau a coulé sous les ponts, beaucoup de sang aussi. Le rêve communiste a tourné au cauchemar…et pouvoir vivre en France – ou aux Etats-Unis - est devenu le rêve d’hommes du monde entier.

Certains n’en ont pas moins du mal à se résigner. Abattre le capitalisme ? La tâche est lourde et le cœur n’y est décidément plus. De là toutefois à accepter purement et simplement sa froide mécanique, il y a un pas. L’utopie révolutionnaire cède ainsi la place à d’autres moins radicales. On peut le comprendre. Ceux pour qui le capitalisme a été longtemps le diable ont du mal à s’en accommoder. Pourtant les faux-semblants et l’hypocrisie sont ici inutiles. Entre la finance et le capitalisme les relations sont étroites : ceux qui n’aiment pas la première, répugnent à regarder le second en face. Ce réflexe est dangereux. Accepter, en toute lucidité, le capitalisme et la finance force la société à plus d’audace et de détermination, à plus d’imagination et d’intelligence aussi. De la mesure dans laquelle nous saurons collectivement en faire la preuve dépendent aussi bien la survie du capitalisme que la poursuite du progrès social.

Une logique simple : accumuler

Le marché et l’entreprise privée sont maintenant familiers et largement acceptés. Plus grand monde, il est vrai, ne pense qu’une administration puisse, dans notre pays, décider du nombre de voitures, de télévisions, de brosses à dents, de boulons …à produire, une autre à fixer leurs prix et une troisième leurs lieux et dates de livraison. Ainsi, pourtant, fonctionnait le Plan qui pendant des décennies est apparu, dans les livres d’école, comme une alternative au marché. Va donc pour le marché. Laissons le régler la production, adapter l’offre à la demande. Va aussi pour l’entreprise privée ! A elle de fabriquer ces objets, de produire ces services dont l’usage est aujourd’hui profondément ancré dans nos vies quotidiennes. Voilà de sérieuses concessions, un grand pas en direction de la « modernité ». Mais, doit-on dans la même foulée, aller jusqu’à accepter le principe de la course au profit ? Autour de lui s’articule, depuis toujours, l’antagonisme entre capital et salariat. Oui à l’entreprise privée, soit. Reconnaître que l’un comme l’autre ne fonctionnent que pour et par le profit, est-il pour autant vraiment nécessaire ? Plutôt que de capitalisme, parlons donc d’économie de marché.

De bons et de mauvais profits

Il ne faut pas aller très profond pourtant pour découvrir que le marché ne serait rien sans commerçants pour le faire fonctionner. Toute leur activité s’organise autour d’une arithmétique simple : profit égale recettes moins dépenses. Le miracle, quand on y réfléchit, est que, par la force de ce seul calcul, les marchandises utilisées chaque jour dans notre société se trouvent à peu près là où il faut, quand il le faut. Quant à ces marchandises elles –mêmes, elles ne sortent bien sûr pas d’un chapeau. Elles sont produites par d’autres entreprises dont l’activité s’organise autour de la même arithmétique élémentaire. Le principe qui guide leurs décisions à toutes est unique : faire croître leurs profits. L’opposition entre salariat et capital

Il y a bien sûr mille façons pour une entreprise d’augmenter ses profits. Certaines recueilleront facilement une approbation générale. Une nouvelle machine à laver est lancée, des milliers d’exemplaires sont vendus, des centaines d’emplois

sont créés et des profits substantiels sont engrangés. Tout ceci est positif. Et il faudrait vraiment faire la fine bouche pour ne pas juger ces profits justifiés. Tel

n’est toutefois pas toujours le cas. Une entreprise peut réduire ses coûts en faisant vieillir ses installations, au risque de polluer son environnement et de faire travailler son personnel dans des conditions dangereuses. Elle augmente ainsi, pour un temps au moins, ses profits. Est-ce acceptable ? Cette fois l’unanimité sera plus difficile à faire. Si en plus l’entreprise annonce des licenciements, un grondement réprobateur se fera entendre.

Si l’on pouvait éliminer les profits du second type pour ne garder que ceux du

premier, tout irait pour le mieux. D’où des idées régulièrement renouvelées. On songera à de nouveaux critères de gestion, on demandera à l’entreprise de

devenir citoyenne, on lui proposera de respecter des règles éthiques, de contribuer à un développement durable. Chacune de ces pistes suscite des enthousiasmes, donne lieu à débats et colloques, alimente une littérature spécialisée. Toutes pourtant relèvent de la même illusion : elles veulent ignorer que la recherche du profit est le ressort unique de l’entreprise capitaliste. Les seuls idéaux qui peuvent

influencer significativement la stratégie de cette dernière sont ceux qui, d’une manière ou d’une autre, affectent ses perspectives de profit.

Ceci n’interdit bien sûr pas à nombre d’entreprises d’agir généreusement. Elles patronnent une épreuve sportive, parrainent des événements culturels, soutiennent les initiatives de collectivités locales ou de grandes causes nationales, voire internationales…De plus en plus nombreuses sont celles qui cherchent à faire

preuve, au travers de leur culture d’entreprise, d’un véritable sens moral. Il n’empêche. La concurrence, caractéristique du capitalisme, reste une loi d’airain.

Elle conduit implacablement à distinguer deux situations. Soit ces gestes généreux sont une façon habile de développer une image positive, cette culture une manière intelligente de mobiliser un personnel de haute qualité. Leur aspect citoyen est alors une coïncidence heureuse : loin de seulement coûter, ces actions rapportent aussi. Elles sont en fait rentables et les entreprises qui ne l’ont pas vu le regretteront

demain. Soit ces pratiques et cette attitude sont parfaitement « gratuites » elles coûtent à la firme et ne lui rapportent rien. Les dépenses engagées et les

surcoûts viendront alors purement et simplement amputer les profits de l’entreprise qui les adopte. Si les montants en jeu ne sont pas marginaux, si les actions sont

durables, la pérennité de l’entreprise peut en être affectée (sans parler bien sûr, dans un premier temps, de celle de ses dirigeants).

Le nerf de la guerre est unique

Que va-t-il se passer en effet dans ce dernier cas ? L’entreprise citoyenne se verra décerner des brevets de civisme. Les journaux lui consacreront des articles élogieux, avec un peu de chance même, son dirigeant pourra être désigné « manager » de l’année. Mais sa firme a toutes chances de faire moins de profit que ses concurrentes. Elle ne pourra ni investir ni recruter autant qu’elles. Peu à peu, sa position s’affaiblira. Assez vite, il lui faudra renoncer à ses pratiques pourtant sympathiques. Le profit n’est en effet pas un indicateur de succès qui peut être mis sur le même plan que d’autres « critères de gestion » Son pouvoir est unique :

il permet d’accroître le montant des capitaux possédés en propre par chaque entreprise.

Si l’on peut voir la concurrence comme une guerre, alors les profits sont le nerf de cette guerre. Aucune entreprise ne peut considérer leur montant comme un chiffre parmi d’autres : ses possibilités de développement en dépendent. Pour une

part, ce développement peut certes s’appuyer sur des capitaux empruntés. Mais ceux qui prêtent à une société surveilleront étroitement le montant de ses

capitaux propres. Qu’une perte vienne les amputer gravement et ils ne renouvelleront pas leurs prêts. Que ces capitaux propres augmentent au contraire et les prêteurs se bousculeront. L’argent va à l’argent ! Pour des raisons faciles à comprendre : un épais matelas de capitaux propres rassure les créanciers. Il dit en effet combien l’entreprise peut perdre tout en restant capable de les rembourser.

Quant au montant de ces capitaux propres, il ne peut s’accroître que de deux façons : grâce aux profits dégagés et conservés par l’entreprise ou par une « augmentation de capital ». Comment persuader les actionnaires de laisser une part importante des profits réalisées dans l’entreprise, voire de lui amener de l’argent frais en souscrivant de nouvelles actions ? La réponse est simple : ils le feront volontiers si l’entreprise est rentable. Si ça n’est pas le cas, il sera très difficile de les persuader de remettre de l’argent au pot. Ceux qui fournissent des capitaux à une entreprise ressemblent, par un trait, aux joueurs de casino : ils prennent le risque de perdre de

l’argent avec l’espoir d’en gagner. Mais, à la différence des joueurs de casino, le frisson du jeu ne remplace pas, pour eux, la réalité du gain.

Accumuler du capital, telle est dans nos économies la finalité de la firme privée. Là réside le principe du capitalisme. Son unicité, sa simplicité font sa puissance. Elles font aussi son aveuglement. On trouvera bien sûr des patrons pour soutenir le contraire et des salariés pour le croire. Un chef d’entreprise expliquera avec conviction qu’il veut surtout contribuer au mieux-être de l’humanité. Un autre dira vouloir susciter l’enthousiasme de ses salariés, un troisième n’œuvrer que pour la satisfaction de ses clients…

Ces propos sont parfois creux, tenus au gré des circonstances. Ils sont parfois sincères. Sur le fond, cela n’a aucune importance. On en revient toujours à la même alternative : soit l’entreprise fait suffisamment de profits et tout va bien, soit cela n’est pas le cas... et très vite, elle reculera par rapport à ses concurrentes. Penser qu’une entreprise peut faire longtemps le bonheur de qui que ce soit aux dépens de la croissance de ses profits relève de l’illusion ! La réalité du capitalisme est plus brutale que ne l’aimeraient ceux qui ont fini par accepter à contrecoeur de ne pas le

renverser. D’où cette tentation constante de lui insuffler un supplément d’âme, de l’appeler à faire preuve de sens civique. L’espoir est vain. Le capitalisme est un

moteur, le profit est son carburant. La recherche du profit est la force qui anime aussi bien l’entreprise que les mouvements du marché. Il est temps d’en prendre pleinement son parti.

Anton BRENDER

«Face aux marchés, la politique» (p. 95 à 102)

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE

ABIDJAN

AVRIL 2003

CONCOURS D’ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE

OPTION MATHEMATIQUES

PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

DUREE : 4 HEURES

Les r´esultats seront encadr´es. Soit n un entier naturel non nul. On pose α_n= e^2iπn et G_n=

n−1

X

k=0

α^(k_n²⁾.

1. Calculer G₁, G₂, G₃, G₄. Calculer pour tout r ∈ Z, Hr =

n−1

X

k=0

α^kr_n .

2. D´ecomposer en facteurs irr´eductibles sur C, puis sur R, le polynˆome X⁵−1. 3. En d´eduire la valeur de cos(^2π₅ ) et cos(^4π₅ ) en fonction de √

5. Calculer G5. 4. On consid`ere la matrice A_n∈ M_n,n(C) d´efinie par

A_n=       1 1 1 · · · 1 1 αn α²_n · · · αⁿ⁻¹_n 1 α2 n (α2 n)2 · · · (α2 n)n−1 · · · 1 αⁿ⁻¹_n (αⁿ⁻¹_n )² · · · (α_nⁿ⁻¹)ⁿ⁻¹      

V´erifier que TrA_n= G_n(Tr d´esigne la trace de la matrice) et que A2

n= nB_n avec B_n= (br s) d´efinie par br s = 1 si r + s = 2 ou r + s = n + 2, sinon br s = 0. Montrer que B_n² = I_n.

5. Montrer que si λ est valeur propre de An alors λ^p est une valeur propre de Ap, pour tout p ∈ N?. En d´eduire que A_n admet au plus quatre valeurs propres distinctes. Indiquer leurs valeurs possibles.

6. Soit U ∈ M_n,n(C) telle que U² = I_n. Si u est l’endomorphisme de Cⁿayant U pour matrice dans la base canonique de Cn´etablir

Cⁿ = ker(u − Id) ⊕ ker(u + Id).

En d´eduire que U est diagonalisable. Montrer que B_n est diagonalisable. 7. On suppose dans cette question n = 2p+1 (p ∈ N). Si v est l’endomorphisme

de Cn ayant pour matrice B_ndans la base canonique (e₁, e₂, · · · , e_n) de Cn, d´eterminer en fonction des vecteurs ei une base de vecteurs propres de v et montrer que 1 et −1 sont respectivement valeurs propres de B_n d’ordre, respectivement , p + 1 et p . Quel est le polynˆome caract´eristique de B_n? 8. Soit P un polynome de degr´e d de la forme P (X) = (X −a₁)(X −a₂) · · · (X −

ad) avec pour tout i 6= j, ai 6= aj. Notons Q le polynˆome tel que P (X) = (X −a₁)Q(X). Montrer que Q(X) et (X −a₁) sont premiers entre eux. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur C. Soit w un endomorphisme de E tel que P (w) = 0. Montrer que

E = ker(w − a₁Id) ⊕ ker Q(w). En d´eduire que

E = ker(w − a₁Id) ⊕ ker(w − a₂Id) ⊕ · · · ⊕ ker(w − a_dId). En d´eduire que w est diagonalisable.

9. Montrer que A_n est semblable `a une matrice diagonale du type

D_n =     λ₁ 0 · · · 0 0 λ₂ · · · 0 · · · 0 · · · 0 λ_n     avec λ_k ∈ {^√n, −√ n, i√ n, −i√ n} pour tout k ∈ {1, · · · , n}.

10. On suppose que n = 2p+1 avec p ∈ N. On d´esigne par a, b, c, d le nombre de fois o`u les quatre valeurs√

n, −√ n, i√

n, −i√

n sont respectivement ´ecrites dans la matrice D_n. Montrer que a + b = p + 1 et c + d = p.

11. Soit T = {0, 1, · · · , n−1}. Montrer que l’on d´efinit une bijection φ de T ×T sur T × T par φ(k, s) = (k − s, s) si k ≥ s et φ(k, s) = (k + n − s, s) si k < s. En d´eduire que G_nG_n =P

(r,s)∈T ×Tα^(r+s)n ^2−s2. Prouver que si n est impair alors |G_n| =^√n.

12. En d´eduire que les coefficients de la question 8) v´erifient (a−b)2+(c−d)2 = 1 si n est impair.

13. On suppose que n = 2p + 1 avec p ∈ N. Montrer en calculant detAn que λ₁λ₂· · · λ_n = ip(2p+1)nⁿ2.

14. On suppose que n = 2p + 1 avec p ∈ N. D´eduire de la question pr´ec´edente qu’il existe m ∈ Z tel que b + d = p + 2m. Calculer les valeurs de a, b, c, d . 15. En d´eduire la valeur de TrA_n pour n impair.

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE

ABIDJAN AVRIL 2003

CONCOURS D’ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION MATHEMATIQUES

EPREUVE DE CALCUL NUMERIQUE DUREE : 2 HEURES

Calculatrice permise.

Tous les exercices sont ind´ependants et de difficult´es diverses.

• Exercice 1 :

On dit que E, un sous-ensemble de IR, est convexe si

∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ [0; 1], λ x + (1 − λ)y ∈ E

On dit que f , une application de E dans IR, est convexe si E est convexe et si ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ [0; 1], f (λ x + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)

Soit E un ensemble convexe de IR. On admet que pour toute fonction f continuement d´erivable de E dans IR, on a

∀x, x0∈ E, f (x) − f (x0) ≥ f⁰(x0)(x − x0)

1. Soit x et x0 deux r´eels de E. Ecrire le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre deux de f (x) en x0avec reste exact.

2. Montrer que, si E est convexe et f deux fois continuement d´erivable sur tout E, on a f⁰⁰> 0 entraˆıne f convexe.

3. Application : montrer que

∀(x, y) ∈ IR², (x + y)⁴≤ 2³(x⁴+ y⁴) • Exercice 2 :

1. Soit m un r´eel, et σ un r´eel strictement positif.

Sans utiliser la densit´e d’une loi gaussienne, calculer `a l’aide d’un changement de vari-ables en coordonn´ees polaires, l’int´egrale suivante

Z +∞ −∞ exp^−^(x−m)_2σ2 ²  √ 2πσ2 dx (on pensera par exemple `a calculer le carr´e de cette int´egrale). 2. Soit φ l’application de IR dans IR d´efinie par φ(t) = exp^−t2σ2

2

 . Soit Φn(t) = φ(√^t

n)ⁿ. Calculer pour tout t r´eel, la limite de Φn(t) lorsque n tend vers l’infini.

• Exercice 3 :

Soit α > 0 et pour tout x r´eel,

f (x) = ^α π(α2+ x2)

1. xf (x) est-elle int´egrable sur IR⁺ ? Dans l’affirmative, calculer cette int´egrale, dans le cas contraire, pr´eciser le type de divergence.

2. xf (x) est-elle int´egrable sur IR ? Dans l’affirmative, calculer cette int´egrale, dans le cas contraire, pr´eciser le type de divergence.

• Exercice 4 :

Pour toute fonction f ∈ C([0, 1]) o`u C([0, 1]) est l’ensemble des fonctions num´eriques con-tinues sur [0, 1], on pose kf k₁=R1

0 |f (t)|dt.

1. Montrer que k k1 est une norme sur l’espace vectoriel C([0, 1]). 2. On cherche `a montrer que C([0, 1]) muni de k k1n’est pas complet.

(a) Exprimer la suite f_n(x) d´efinie par une suite de fonctions continues, affines par morceaux, nulles sur [0, 1/2] et valant 1 sur [1/2 + 1/n, 1].

(b) Montrer que fn est de Cauchy pour la norme k k1. On montrera au pr´ealable que pour tout n et p entiers non nuls avec n > p, on a |fn− fp| ≤ 2.

(c) On suppose qu’il existe une fonction continue f limite, au sens de la norme k k1, de f_n. Comparer Z 1/2 0 |f (x)|dx et Z 1 1/2+1/p |1 − f (x)|dx avec kfn− f k1pour n > p. (d) Conclure. • Exercice 5 :

Soit (xn)n∈INet (yn)n∈INdeux suites r´eelles d´efinies par r´ecurrence de la mani`ere suivante :  xn+1 yn+1  =  3 −1 5 −1   xn yn 

1. Calculer les valeurs propres de 

3 −1 5 −1

 .

2. Calculer les vecteurs propres engendrant les sous-espaces propres associ´es. 3. Exprimer ces vecteurs en fonction de U =

 1 2  et V =  0 −1  4. Exprimer  xn yn 

sous la forme d’une combinaison lin´eaire r´eelle de U et V . • Exercice 6 :

Un entonnoir conique d’angle au sommet 60 degr´es et de hauteur 10 cm pr´esente une ouverture de 0,5 cm2 `a sa base. On place l’entonnoir verticalement, et on le remplit d’eau. On note h(t) la hauteur comprise entre l’ouverture de l’entonnoir et la surface du liquide au temps t.

La dynamique d’´ecoulement de l’eau s’exprime en fonction de h(t) par la relation ∀t ∈ IR⁺, h⁰(t) = −C^ph(t)

avec C = _A(t)^a √

2g, o`u g = 9, 8, a est l’aire de l’ouverture de l’entonnoir et A(t) est l’aire de la surface du liquide `a l’instant t.

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE

ENSEA - ABIDJAN

AVRIL 2004

CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES

ISE Option Mathématiques ORDRE GÉNÉRAL

(Durée de l’épreuve : 4 heures)

Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.

Sujet n° 1

Êtes-vous d’accord avec les termes de ce proverbe ewe du Togo ?

«Un mauvais frère est comme une branche de rônier, on ne peut pas le refuser totalement car il faut penser aux jours de pluie.»

Sujet n° 2

Êtes-vous prêt (prête) à suivre le conseil de ce proverbe peul ? Expliquez votre décision.

«Un village où ne conduit qu’un seul chemin est un mauvais village. N’y allez pas.»

Sujet n° 3

À votre avis le proverbe arabe suivant est-il justifié ? Analyser à l’aide d’exemples.

«Il y a cinq degrés pour arriver à être sage : se taire, écouter, se rappeler, agir, étudier.»


   

 
  



 
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