3.2 Cr´eation d’un mod`ele
3.2.1 Niveaux de sp´ecification des syst`emes
Un syst`eme donn´e peut ˆetre mod´elis´e `a diff´erents niveaux d’abstraction en fonction de son application ou du niveau de connaissances int´egr´ees. On appelle niveau de sp´ecification d’un syst`eme le niveau auquel il est mod´elis´e.
La th´eorie de la mod´elisation et de la simulation introduite par Zeigler (Zeigler et al., 2000) propose une hi´erarchie de sp´ecification des syst`emes. Cette hi´erarchie a ´et´e d´efinie pour fournir une correspondance entre chaque niveau de mod´elisation. Le tableau 3.1 pr´esente de mani`ere synth´etique la hi´erarchie propos´ee par Zeigler. A chaque niveau de description
Tab. 3.1 – Hi´erarchie de sp´ecification des syst`emes.
Niveau Sp´ecification Connaissances `a ce niveau
0 Cadre d’observation Quelles variables mesurer et sur quelle base de temps les observer.
1 Comportement E/S Couples E/S obtenus `a partir des observations du syst`eme source.
2 Fonctionnement E/S Connaissance de l’´etat initial ; une sortie unique est associ´ee `a un stimulus d’entr´ee.
3 Transition entre les ´etats Comment les entr´ees affectent les ´etats ; ´etat sui- vant en fonction de l’´etat pr´esent et des entr´ees ; sortie g´en´er´ee par un ´etat donn´e.
4 Syst`eme coupl´e Composants du syst`eme ; couplage entre les diff´erents constituants.
correspond un type de mod´elisation d´efini en fonction des connaissances existantes.
Le cadre d’observation permet d’identifier les diff´erents entr´ees et sorties observables du syst`eme. Il a pour but de d´efinir des variables d’´etat possible sans pour autant chercher `a approfondir les ph´enom`enes sous-jacents. Un tel cadre permet la d´efinition d’exp´erimentations sur le syst`eme. La figure 3.1 repr´esente de mani`ere synth´etique comment le syst`eme re¸coit, dans ce cadre d’observation, des stimuli ordonn´es en entr´ee provoquant une r´eponse en sortie. Le choix de la mani`ere et du d´etail de repr´esentation de ces ports E/S d´ependent des objectifs de mod´elisation et sont sp´ecifi´es par le cadre exp´erimental.
Le comportement E/S d’un syst`eme correspond `a l’ensemble des couples E/S obtenus par observation. Ici, un mod`ele se limite alors `a un tableau des diff´erentes relations E/S pos- sibles. Le fonctionnement E/S ajoute la prise en compte d’´etats initiaux `a la sp´ecification pr´ec´edente ainsi que la d´efinition d’une fonction reliant entr´ees et sorties. L’´etat initial permet alors de d´eterminer la r´eponse unique `a n’importe quelle entr´ee.
Un tel niveau de sp´ecification des syst`emes conduit `a la cr´eation de mod`eles appel´es mod`eles d’observation (Mallet, 2002), mod`eles de donn´ees ou mod`eles boˆıte noire (Cobelli et Carson, 2001), ou encore, de mani`ere g´en´erale, mod`ele de surface, en faisant allusion au connaissances ”superficielles” qui sont repr´esent´ees dans ce type de mod`eles. Le processus de construction d’un tel mod`ele est pr´esent´e `a la figure 3.5. A ce niveau, l’objet de la mod´elisation est de formuler des ´equations – fonctions des entr´ees observ´ees – permettant de reconstituer les sorties observ´ees, sans tenir compte de la structure ou des param`etres r´eels du syst`eme. Un tel mod`ele se limite donc `a reproduire la morphologie et la dynamique des observations.
Dans une telle repr´esentation morphologique, les param`etres n’ont que peu de sens physique (ou physiologique). Par contre de tels mod`eles sont avantageux par leur simplicit´e
PSfrag replacements
Structure de mod`ele initiale
Identification des param`etres
Modification de la structure du mod`ele
Fig.3.5 – Mod´elisation de surface.
et leurs capacit´es temps r´eel. Ce type de mod`ele est, dans la plupart des cas, bas´e sur une structure math´ematique donn´ee pour laquelle la structure est adapt´ee par identifications r´ecursives des param`etres (voir figure 3.5). C’est par exemple le cas des mod`eles auto-r´egressifs (Korhonen et al., 1996). Dans d’autres cas, ces mod`eles peuvent ˆetre cr´e´es comme une sim- plification de mod`eles plus complexes, comme par exemple le mod`ele de potentiel d’action de FitzHugh et Nagumo (FitzHugh, 1961) pr´esent´e au chapitre 2.
Les transitions entre ´etats correspondent au niveau suivant de sp´ecification des syst`emes. Ce niveau permet de d´efinir, en plus de l’information `a l’´etat initial, comment ces transitions interviennent en r´eponse `a des variations de trajectoires des entr´ees. Cela permet de prendre en compte une ´evolution dynamique du syst`eme.
A un tel niveau de caract´erisation apparaˆıt la notion d’´etat du syst`eme. Pour Mallet (Mal- let, 2002), l’´etat d’un syst`eme est l’ensemble des grandeurs qu’il est n´ecessaire de connaˆıtre `a une date donn´ee pour que l’on puisse pr´edire les observations `a une date ult´erieure, connaissant les principes d’´evolution du syst`eme et les stimulations qui lui sont appliqu´ees. Les mod`eles de type automates cellulaires (Moe et al., 1964) pr´esent´es au chapitre 2, o`u l’´evolution d’un syst`eme est d´ecrite par une succession d’´etats et de transitions possibles, sont associ´es `a ce niveau.
Enfin, le plus haut niveau de sp´ecification des syst`emes, syst`eme coupl´e, permet de d´efinir la structure et le fonctionnement interne du syst`eme, jusque l`a bas´e uniquement sur des connaissances physiques inexistantes ou partielles du syst`eme ´etudi´e. Cela permet de repr´esenter explicitement les diff´erents modules ou sous-syst`emes qui constituent le syst`eme
PSfrag replacements
Observation du syst`eme r´eel
Hypoth`eses sur les fondements physiques Estimation d’une approximation math´ematique Validation `a partir des observations
Fig. 3.6 – Mod´elisation en profondeur.
observ´e et de prendre en compte `a la fois la disposition spatiale et le lien de couplage entre des ´el´ements eux mˆemes mod´elis´es `a des niveaux pouvant ˆetre plus faibles. Parmi ces ´el´ements coupl´es, certains peuvent tr`es bien repr´esenter une structure d’´el´ements d´ej`a coupl´es. Un syst`eme dans sa globalit´e peut donc ˆetre vu comme une imbrication successive de sous-syst`emes (ou ´el´ements).
Les deux derniers niveaux (3 et 4) introduits par Zeigler peuvent correspondre `a ce que Mallet et Cobelli ont appel´e, dans le cadre de la mod´elisation physiologique, mod`ele de connaissances ou mod`ele du syst`eme avec une int´egration `a chaque plus importante des connaissances physiques relatives au comportement du syst`eme. Le processus de cr´eation d’un mod`ele `a un tel niveau, encore appel´e mod`eles profonds en intelligence artificielle, est pr´esent´e `a la figure 3.6. Les diff´erents param`etres du mod`ele ont alors une interpr´etation physique ou physiologique directe. Par contre, de tels mod`eles sont plus complexes que les mod`eles de surface et n´ecessitent des ressources informatiques et des temps de calcul plus importants. L’exemple d’un tel niveau de mod´elisation est le mod`ele de potentiel d’action de Hodgkin et Huxley (Hodgkin et Huxley, 1952) pr´esent´e au chapitre 2.
En d´efinitive, pour prendre en compte la complexit´e du probl`eme, il convient de bien d´efinir le niveau de d´etail voulu en fonction de l’application vis´ee, afin d’´eviter un raffinement trop d´etaill´e ou une simplification extrˆeme. Bien souvent ce niveau de d´etail sera aussi d´ependant de la qualit´e des moyens d’observation et du degr´e de connaissance apport´e par l’exp´erimentation r´eelle. Le passage d’un niveau de forte connaissance (indice ´elev´e) vers un niveau de plus faible connaissance (indice plus faible) ne semble pas poser de probl`emes majeurs, en revanche le passage inverse (de faible connaissance `a forte connaissance) est plus probl´ematique et rarement r´esolu de nos jours ; en effet il n’existe bien souvent pas de solution unique `a un tel probl`eme.
Un exemple propos´e par Mallet (Mallet, 2002) permet d’illustrer les capacit´es d’abstraction et de pr´ediction de la mod´elisation. Il montre en outre la possibilit´e d’acc´eder `a des grandeurs non directement observables et, d’une mani`ere plus g´en´erale, que les capacit´es pr´edictives d’un mod`ele et la facilit´e d’interpr´etation de ses param`etres augmentent avec le volume de connaissances ou d’hypoth`eses utilis´ees dans sa caract´erisation comme sugg´er´e par le tableau 3.1. On notera clairement le plus grand pouvoir d’interpr´etabilit´e de mod`eles avec des param`etres physiques ou physiologiques par rapport `a des mod`eles dits morphologiques.
Supposons que l’on s’int´eresse `a la filtration glom´erulaire, c’est `a dire `a l’aptitude du rein `a ´epurer le milieu circulant. On injecte dans la circulation une substance uniquement filtr´ee par le rein, exog`ene ou endog`ene, marqu´ee dont on suit, grˆace `a des pr´el`evements successifs, l’´evolution de la concentration au cours du temps. L’allure de la d´ecroissance au cours du temps sugg`ere le mod`ele (ainsi caract´eris´e par analyse superficielle)
C(t) = C0·
a t + a
Ce mod`ele permet de cerner les caract´eristiques essentielles de l’´evolution des concentrations mais non du ph´enom`ene de filtration ; en particulier il ne poss`ede pas de vertus pr´edictives claires.
Cette mˆeme question peut ˆetre abord´ee par une analyse op´erationnelle, fond´ee par exemple sur la loi de Fick. Il en r´esulte une ´equation d´ecrivant l’´evolution de la concentration
dC
dt = −kC + q V
o`u q est le d´ebit masssique perfus´e (entr´ee analogue de la stimulation qu’est la perfusion). Ce mod`ele tr`es simple poss`ede des capacit´es pr´edictives incomparables au pr´ec´edent ; son usage permet de pr´edire l’´evolution des concentrations r´esultant de perfusions administr´ees `a des d´ebits pr´esentant des d´ecours temporels quel- conques ; le param`etre k est directement reli´e au d´ebit de filtration glom´erulaire qui peut donc ˆetre ”mesur´e” grˆace au mod`ele. . .