D´efinition modulaire

Les r´esultats pr´esent´es dans cette section correspondent `a un carr´e de 256 x 256 cellules continues repr´esentant un morceau de tissu cardiaque de 10 x 10 mm. Pour d´efinir un tel type de mod`ele, plusieurs ´etapes ont ´et´e identifi´ees (figure 5.1) :

120 mod´elisation et simulation Ci,j Ci,j Ci−1,j−1 Ci−1,j Ci−1,j Ci−1,j+1 Ci,j−1 Ci,j−1 Ci,j+1 Ci,j+1 Ci+1,j−1 Ci+1,j Ci+1,j Ci+1,j+1 Couplage Oi,j O_i−1,j Oi+1,j O_i,j−1 Oi,j+1 Ii,j ∇2 V

Fig.5.1 – Impl´ementation de la m´ethode de couplage.

– cr´eation de mod`eles atomiques Ci,j permettant de reproduire l’activit´e ´electrique car-

diaque au niveau cellulaire (voir chapitre 2) ;

– cr´eation d’un mod`ele tissulaire coupl´e compos´e d’´el´ements cellulaires atomiques ; – d´efinition de conditions initiales et aux bords pour une r´esolution num´erique efficace. Chacun de ces aspects sera trait´e dans les paragraphes suivants.

Cr´eation de mod`eles atomiques

A partir de la librairie, des classes filles h´erit´ees de Model et correspondant `a l’impl´ementation de mod`eles diff´erentiels sain – BeelerReuterModel – et isch´emique – IschBR– ont ´et´e d´evelopp´ees. Comme abord´e dans les chapitres 1 et 2, le mod`ele isch´emique, propos´e par Sahakian (Sahakian et al., 1992), est d´eriv´e du mod`ele de Beeler et Reuter (Beeler et Reuter, 1977) et int`egre les modifications de concentration en potassium ainsi que les alt´erations cons´equentes sur les courants ioniques associ´es, telles qu’observ´ees cliniquement pendant l’isch´emie (voir figure 2.7). Ces mod`eles ´etant de type Hodgkin et Huxley au sens de (2.3), ils pourront ˆetre facilement coupl´es par ajout d’un courant ext´erieur (Iext), obtenu par

l’´equation du cˆable (voir chapitre 2).

L’impl´ementation de ces mod`eles atomiques est quant `a elle telle qu’introduite au chapitre 4 (voir figure 4.20). Conform´ement `a cette architecture, les ´equations diff´erentielles d´ecrivant leurs comportements respectifs sont trait´ees dans la m´ethode ModelDerivatives().

Cr´eation du mod`ele tissulaire coupl´e

Le couplage entre les diff´erentes cellules est d´eriv´e de l’´equation (2.9) et d´efini comme suit (voir chapitre 2) :

dVi,j

dt = G(Pi,j) + K · ∇

2_{V (5.1)}

o`u Vi,j repr´esente le potentiel membranaire de la cellule (i, j), G est une fonction des

diff´erentielles et K un coefficient de diffusion.

Par ailleurs, grˆace `a l’architecture distribu´ee de la librairie (voir chapitre 4), chaque cellule est d´efinie ind´ependemment des cellules voisines dans une structure tissulaire. La m´ethode des diff´erences finies semble alors particuli`erement adapt´ee pour la r´esolution du laplacien ∇2V de (5.1). Contrairement aux m´ethodes traditionnelles (bi ou monodomaine) o`u tous les composants sont englob´es dans un mˆeme syst`eme diff´erentiel, cette approche permet de garder la souplesse de d´efinition et en particulier de changer un ou plusieurs ´el´ements sans avoir `a red´efinir compl`etement le tissu d’un point de vue math´ematique et formel. En particulier, des cellules saines pourront ˆetre facilement remplac´ees par des cellules isch´emiques. En outre, cette m´ethode permet une r´esolution num´erique facilit´ee dans la mesure o`u le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles (selon le temps et l’espace) de l’´equation du cˆable est transform´e en un syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires (selon le temps uniquement). A titre d’exemple dans le cas 2D, on obtient :

∇2Vi,j =

1

h2 · Vi+1,j+ Vi−1,j+ Vi,j+1+ Vi,j−1− 4Vi,j

(5.2) o`u h correspond au pas de discr´etisation introduit par le passage aux diff´erences finies.

Une classe TestTissue a donc, elle aussi, ´et´e d´eriv´ee de la classe Model pour repr´esenter les morceaux de tissus comme des mod`eles coupl´es ayant pour vecteur de composants (components) des ´el´ements atomiques de type BeelerReuterModel ou IschBR (voir chapitre 4 et figures 4.3, 4.19 et 4.20). Le couplage sugg´er´e par (5.1) est alors effectu´e par la m´ethode ModelUpdate() dans les objets de type TestTissue (figure 5.1). Pour l’´el´ement (i, j) du tissu, les sorties des ´el´ements voisins sont consid´er´ees, le laplacien (∇2V ) est calcul´e d’apr`es la discr´etisation (5.2) et la valeur obtenue est introduite en entr´ee (Ii,j) comme un courant

ext´erieur par une m´ethode sp´ecifique setIN Z(), d´efinie pour chaque mod`ele atomique. L’int´erˆet d’une telle d´efinition dans le mod`ele coupl´e est la possibilit´e de changer tout ou partie des ´el´ements sans modifier l’impl´ementation du couplage.

L’impl´ementation de cette classe Tissue ainsi que le calcul du laplacien 2D (5.2) ont ´et´e effectu´es en utilisant la librairie Blitz++1. Dans cette derni`ere, la classe Array permet une manipulation facilit´ee des tableaux multidimensionnels et des m´ethodes d’application de masques (comme effectu´e en traitement d’images par exemple) sont impl´ement´ees. Ainsi, un tissu est vu comme un tableau 2D d’objets de type Model et le calcul du laplacien (5.2) est effectu´e par application d’un masque pr´ealablement d´efini.

Conditions aux limites

Une condition de flux nul aux bords est retenue (Qu et al., 2000). De mani`ere `a assurer une continuit´e dans les courants des diff´erents ´el´ements, cette condition se traduit par une somme des coefficients intervenants dans la fonction de couplage nulle dans et par un gain unitaire. La premi`ere condition est prise en compte dans (5.2) et la seconde par une d´efinition de K ad hoc (i.e. tenant aussi compte de la c´el´erit´e de propagation) dans (5.1). Ce type de couplage doit aussi ˆetre adapt´e aux bords du tissu, o`u certains ´el´ements de (5.2) n’existent pas physiquement, de mani`ere `a ce que la somme des coefficients de l’´equation de couplage reste

toujours nulle. Par exemple, pour le premier ´el´ement du tissu, le couplage est d´efini comme suit :

∇2V0,0 =

1

h2(V1,0+ V0,1− 2V0,0) (5.3)

En d´efinitive, la m´ethode de couplage spatial pr´esent´ee ici est bien entendu sp´ecifique `a la mod´elisation de la propagation du potentiel d’action dans des tissus cardiaques. N´eanmoins, elle profite de la facilit´e de d´efinition des mod`eles coupl´es `a partir de la d´efinition g´en´erique de la librairie (classes m`eres Model et Simulator). Les r´esultats obtenus selon cette approche sont pr´esent´es et discut´es dans la suite de cette section.