Description des syst`emes

Un formalisme (de description) est un cadre qui permet la d´efinition d’un mod`ele. Ind´ependamment du niveau de sp´ecification utilis´e, il existe en effet plusieurs mani`eres de d´ecrire le fonctionnement d’un syst`eme, et donc plusieurs formalismes de description des mod`eles. Ils peuvent aller d’une simple description litt´erale des diff´erentes s´equences

du comportement jusqu’`a un ensemble d’´equations math´ematiques formelles. La plupart du temps, chacun d´efinit, ou utilise de mani`ere intuitive, le langage de description qui lui paraˆıt le plus adapt´e `a ses besoins, ses connaissances et son milieu. Ainsi, un touriste en vacances d´ecrira les ph´enom`enes de mar´ee comme une alternance toutes les six heures entre la mont´ee et la descente de la mer, alors que le physicien d´ecrira ce mˆeme ph´enom`ene avec des relations math´ematiques tenant compte des interactions avec la lune par exemple.

Cet exemple, peut-ˆetre extrˆeme, illustre tout de mˆeme l’importance de la mani`ere dont on d´ecrit un syst`eme pour le mod´eliser. Diff´erents formalismes `a diff´erents niveaux de d´etails peuvent d´ecrire le mˆeme ph´enom`ene en fonction du besoin de l’utilisateur. Dans d’autres cas, un nouveau formalisme de description peut ˆetre d´efini afin d’aborder un syst`eme d’une mani`ere diff´erente. Le choix du formalisme ad hoc de repr´esentation fait partie de la d´emarche de mod´elisation et d´epend fortement du niveau de d´etail du mod`ele, de la pr´ecision voulue mais aussi de l’application et de l’utilisation finale du mod`ele.

A premi`ere vue, l’existence de nombreux formalismes diff´erents peut d´erouter quand il s’agit de les ´etudier voire mˆeme d’en choisir un pour repr´esenter un syst`eme. N´eanmoins, les travaux en th´eorie de la mod´elisation et de la simulation visent `a regrouper et classer les formalismes (Zeigler et al., 2000; Vangheluwe, 2001). Basiquement, les formalismes peuvent aller d’une description litt´erale du comportement jusqu’`a plusieurs ´equations math´ematiques (mod´elisation ”quantitative”), en passant par la mod´elisation ”qualitative”. S’il est acquis que l’approche descriptive n’est gu`ere exploitable dans un traitement standardis´e et informatis´e de la mod´elisation, d’autres approches, et pas seulement celles bas´ees sur des ´equations math´ematiques, peuvent ˆetre utilis´ees dans les traitements automatis´es.

La mod´elisation qualitative est un moyen quelque peu formalis´e de d´ecrire des syst`emes complexes. Comme son nom l’indique, elle est bas´ee sur un raisonnement qualitatif (Kuipers, 1986; Trav´e-Massuy`es et al., 1997) qui trouve sa motivation dans la compr´ehension du ”bon sens” humain. D´evelopp´e pour les sciences de l’ing´enieur, cette approche cherche `a r´epondre aux objectifs de compr´ehension et gestion globale de syst`emes g´en´eralement connus que de fa¸con partielle et avec des niveaux de connaissance h´et´erog`enes et impr´ecis. Toute une s´erie de formalismes dits qualitatifs a ´et´e d´evelopp´ee. Ils sont bas´es sur :

– une alg`ebre de signes o`u les variables ne prennent qu’un nombre fini de valeurs (`a savoir {+,0,-}. Une telle alg`ebre permet d’´etudier les variations des grandeurs simul´ees ; – un raisonnement sur les ordres de grandeur de la mˆeme mani`ere qu’un physicien ou un ing´enieur proc`ede pour v´erifier la coh´erence de ses r´esultats ou pour n´egliger des grandeurs par rapport `a d’autres ;

– un raisonnement sur les intervalles qui associe `a chaque variable du probl`eme un domaine de valeurs r´eelles. Des contraintes et une arithm´etique sur les intervalles per- mettent de d´efinir des ´evolutions des variables ;

– un raisonnement sur les ordres de croissance qui consiste surtout en une analyse asymptotique de calculs complexes.

De tels formalismes ont ´et´e utilis´es pour la mod´elisation de diff´erents processus industriels aussi bien qu’en ´ecologie ou en ´economie. Ce type de raisonnement qualitatif a ´et´e d´efini comme un compl´ement aux mod`eles quantitatifs, en particulier pour combler certaines insuffisances o`u les connaissances sont peu formalis´ees ou difficilement quantifiables. Ce type

de formalisme n´ecessite un simulateur sp´ecifique (comme QSim par exemple) et ne sera pas d´evelopp´e dans la suite de ce manuscrit.

Concernant la mod´elisation quantitative d’une mani`ere g´en´erale, les formalismes continus (bond graphs, fonctions de transfert au sens large, ´equations diff´erentielles ordinaires, ´equations aux d´eriv´ees partielles, . . . ) s’opposent aux formalismes discrets (automates cellulaires, dia- grammes d’´etats, r´eseaux de Petri, . . . ). Les syst`emes sont mod´elis´es par des approches math´ematiques d´ecrivant leur comportement `a une ´echelle et un niveau de d´etail donn´e. Trois grands types de mod`eles g´en´eriques ont alors ´et´e d´efinis par Zeigler (Zeigler et al., 2000) : – DESS : Differential Equation System Specification - Sp´ecification du syst`eme par

´equations diff´erentielles ;

– DTSS : Discrete Time System Specification - Sp´ecification du syst`eme par des mod`eles `a temps discret ;

– DEVS : Discrete EVent system Specification - Sp´ecification du syst`eme par des mod`eles `a ´ev´enements discrets.

Chaque formalisme poss`ede ses propres caract´eristiques et la normalisation de ces approches vise `a d´efinir, de mani`ere standard, les mod`eles entrant dans le mˆeme cadre de d´efinition. Une telle g´en´eralisation permet de d´efinir des techniques et outils performants et r´eutilisables pour chaque type de mod`ele.

La d´efinition d’un syst`eme par ´equations diff´erentielles (DESS) est bas´ee sur un mod`ele `a temps continu dont le comportement est r´egi par un syst`eme d’une ou plusieurs ´equations diff´erentielles. Un tel mod`ele est alors d´efini par :

– un ensemble d’entr´ees ; – un ensemble de sorties ; – un ensemble d’´etats ;

– une application donnant la quantit´e de variation du syst`eme (mod`ele d´erivatif), en fonc- tion de l’´etat du syst`eme et des entr´ees, pour une unit´e de temps ;

– une application donnant la sortie du syst`eme en fonction de l’´etat du syst`eme et/ou des entr´ees.

Un syst`eme d´efini par des mod`eles `a temps discrets (DTSS) est bas´e sur une base de temps isomorphe `a N, c’est `a dire que les variations de l’´etat du syst`eme n’interviennent qu’`a des intervalles r´eguliers. Un tel mod`ele est caract´eris´e par :

– un ensemble d’entr´ees ; – un ensemble de sorties ; – un ensemble d’´etats ;

– une application de transition d’´etat du syst`eme (mod`ele d´erivatif) en fonction de l’´etat du syst`eme et des entr´ees ;

– une application donnant la sortie du syst`eme en fonction de l’´etat du syst`eme et/ou des entr´ees.

Un syst`eme d´efini par ´ev´enements discrets (DEVS) dispose, comme les mod`eles pr´ec´edents, d’un ensemble d’entr´ees, de sorties et d’´etats s´equentiels, ainsi que d’une application donnant

la sortie du syst`eme en fonction de l’´etat pr´esent. Sa particularit´e r´eside dans le fait que chaque ´etat est caract´eris´e par une dur´ee d’activit´e ; deux types de transitions sont alors d´efinis :

– une transition interne vers l’´etat suivant, en fonction de l’´etat pr´esent, a lieu si aucun ´ev´enement externe n’est intervenu pendant la dur´ee d’activit´e de l’´etat pr´esent. C’est la transition ”naturelle” du syst`eme ;

– si un ´ev´enement externe intervient pendant la dur´ee d’activit´e de l’´etat pr´esent, une transition externe a lieu vers un ´etat suivant en fonction de l’´etat pr´esent, du temps ´ecoul´e depuis la derni`ere transition et de l’´ev´enement externe provocant cette transition. De nombreuses similarit´es ressortent de ces trois formalismes. Ils sont tous les trois d´efinis par des ensembles d’entr´ees, d’´etats et de sorties, et, par une application donnant la sortie en fonction de l’´etat pr´esent. Ils ne diff`erent que par les moyens utilis´es pour calculer les transitions. Autrement dit, leurs simulateurs seront diff´erents, mais leur d´efinition peut ˆetre bas´ee sur une structure commune. Cette grande similarit´e dans la d´efinition des formalismes permet de faciliter la mise en relation de plusieurs mod`eles d´efinis diff´eremment et a conduit `a des recherches sur la cr´eation d’un ”mod`ele de mod`eles” ou ”m´eta-mod`ele” (cf. section sui- vante). La d´efinition d’une entit´e mod`ele unique est alors possible ; elle regrouperait toutes les caract´eristiques communes de ces trois formalismes en plus de plusieurs fonctions g´en´eriques permettant de d´eterminer l’´etat du syst`eme `a un instant donn´e : d´eriv´ees, transitions . . . Le type de formalisme utilis´e ne serait plus qu’un param`etre permettant de choisir un simulateur ad´equat (nous en verrons aussi un exemple au chapitre 5 lors de la pr´esentation des r´esultats). Il est clair dans cette d´efinition g´en´erique des formalismes que l’on retrouve surtout une diff´erence entre les approches `a ´ev´enements continus et celles `a ´ev´enements discrets. En effet, sauf `a effectuer une r´esolution analytique des probl`emes, toute r´esolution num´erique d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles n´ecessitera une discr´etisation de la base de temps. De notre point de vue DESS et DTSS sont alors ´equivalents.