5.5 Cas general
5.5.1 De nitions
EN
ERAL 85
Finalement, on doit avoir :
fP 2j ; @P 2j @x ;::: @ j+1 P 2j @x j+1 g j= 2;3;4;5 simultanement nuls.
Ces conditions sont polynomiales et simples a resoudre. Nou trouvons (rappelons que :U = 1 +htr
2
6N , ou h est la constante de couplage de branchement) : 105c 3+ 4g 2= 0 2480625c 2(?1?4c+ 43c 2) + 296100c(15+ 113c)h ? 692968h 2= 0 (5.15) Remarquons que, quand h = 0 (pas de terme de branchement) Nous retrouvons le point critique de Potts-3 :
c= 2? p 47 43 ; g= p 105 2 ?3 +p 47 41 +p 47 ! 3 2
Ce point critique avait deja eteobtenu par [54], bien qu'il n'ait pas determine l'equation algebrique a laquelle obeit alors (aU = 1) la resolvante.
5.5 Cas general
5.5.1 De nitions On a : Z = Z q Y i=1 dM i e ?N 2 S et S =X i g 3N trM 3 i + ( 12 N trM 2 i ; 1 N tr X j6=i M i M j) (5.16) ou lesM
i sont des matrices hermitiennes de taille NN. Les derivees partielles de par rapport a trM
2 i =(2N)et trP j6=i M i M j =N
86 CHAPITRE5. MOD
ELESDE POTTSSUR R
ESEAUAL
EATOIRE
c. Ce modele general se ramene au cas du modele de Potts sans terme de branchement lorsque ~U = 1 et ~cest constante.
Soient les functions :
W(z) = 1 N htr 1 z ?M i i ~ W(z) = 1 N htr 1 z ?M i M j i F(z;z 0 ) = 1 N htr 1 z ?M i 1 z 0 ?M j i ~ F(z;z 0) = 1 2 h 1 N htr 1 z ?M i 1 z 0 ?M j M k i+ 1 N htr 1 z 0 ?M i 1 z ?M j M k i i
Ces expressions ne dependent pas des indicesi,j,k, pour peu quei6=j6=k. Par suite,F(z;z 0) et ~F(z;z 0) sont symetriques : F(z;z 0 ) =F(z 0 ;z) et F~(z;z 0 ) = ~F(z 0 ;z) (5.17) On notera aussi : f(z) =W(z)?gz 2+ (c?U)z (5.18) Rappelons que U et c peuvent ^etre des fonctions quelconques des nombres
h tr N M 2 i i eth tr N M i M j i. Les momentst
k de la resolvanteW(z) sont de nis par le developpement en puissances de 1 z W(z) 1 z + t 1 z 2 +:::+ t k z k +1 +::: quand z!1 et on de nit : u= c?U g
5.5.2 Equations du mouvement
Les changements de variable suivants dans Eq. (5.16)donnent les equations du mouvement : { M 1 = 1 z ?M1 : g(z 2 W(z)?z?t 1) +U(zW(z)?1) +c(q?1) ~W(z) =W 2(z) (5.19) { M 2 = 1 2 h 1 z ?M 1 1 z 0 ?M 2 + 1 z 0 ?M 2 1 z ?M 1 i : g z 02 F(z;z 0)?z 0 W(z)?W~(z)
5.5. CASG EN ERAL 87 + U(z 0 F(z;z 0)?W(z)) + c(zF(z;z 0)?W(z 0)) + c(q?2) ~F(z;z 0) =W(z 0)F(z;z 0) (5:20)
Nous allons montrer comment on peut eliminer ~F(z;z
0), et obtenir ainsi des equations du mouvement n'impliquant que les matrices M
i et M j (au lieu de trois indices i, j, et k di erents), puis comment on peut eliminer a son tourF(z;z
0), pour obtenir ainsi des relations de recurrence entre les traces de puissances d'une seule matrice.
Le principe est le m^eme que dans le cas particulier de Potts-3 : il s'agit de soustraire des changements de variables di erents :
en soustrayant Eq. (5.20) a l'equation obtenue en echangeant les r^oles de z etz
0, et en utilisant Eq. (5.17) nous obtenons : (f(z)?f(z 0 ))F(z;z 0 ) =g z 0 W(z)?zW(z 0 ) + ~W(z)?W~(z 0 )?uW(z) +uW(z 0 ) (5.21) Si a present nous choisissonsz
0tel quef(z 0) =f(z) etz 0 6 =z, nous avons la relation : (z 0 ?u)W(z)?(z?u)W(z 0) + ~W(z)?W~(z 0) = 0 (5.22) Eq. (5.19) nous permet d'eliminer ~W, et on a alors une equation impli-quant seulement f,z, etz 0 : f(z 0) =f(z) 1 c(z+z 0 ?u?q c g)f(z) = (z+z 0)2 ?qzz 0 ?(2?q)u(z+z 0) + (1?q)u 2 ? 1 c (5.23) Cette equation est une equation non-locale, a priori compliquee, mais nous allons voir qu'elle est susante pour obtenir f.
Etude p erturbative
Nous avons, au voisinage de l'in ni :f(z) ?gz
2, par suite l'equation
f(z) =f(z 0) etz6=z 0admet la solution z 0(z) telle quez 0 ?z au voisinage de l'in ni. On peut trouver le developpement complet de z
0(z) et on insere cette expression dans l'equation Eq. (5.23).
On obtient :
gt
2+ (cq?gu)t
88 CHAPITRE5. MOD
ELESDE POTTSSUR R ESEAUAL EATOIRE g 2 t 4+g(cq?2gu)t 3 ?gu(cq?2gu)t 2 ?g(gu 3+ 2)t 1+c(1?q) +gu = 0 ::: (5.24) avec la notation t k = htrM k i
=Ni. Remarquons que, dans le cas general,
u et c sont des fonctions de t 2 et t 1;1 = trM i M j =N. Cependant, on peut exprimert
1;1 (gr^ace a l'equation Eq. (5.19)) en fonction dest
k seulement : c(q?1)t 1;1+gt 3+Ut 2 ?1 = 0
Par suite, nos equations du mouvement nous permettent de reexprimer n'im-porte quelle trace de puissances paires d'une des matricesM
i en fonction de puissances impaires seulement de cette matrice. Un tel resultat n'est absolu-ment pas evident lorsqu'on considere les equations du mouveabsolu-ment dont nous sommes partis et qui, a premiere vue, relient les puissances d'une matrice donnee a des traces plus complexes impliquant toutes les matricesfM
j g
q j=1. Justi ons a present l'apparition de traces paires seulement a l'ordre do-minant dans les equations du mouvement obtenues par developpement per-turbatif. Si nous ecrivons le developpement de f(z) :
f(z) =?gz(z?u) + 1=z+ 1 X 2 t i?1 =z i
les coecients des termes enz
?idans l'equation :f(z 0)?f(z) = 0 s'ecrivent, commez 0=?z+u+:::: ((?1)i ?1)t i?1+ (?1)i?1(i?1)t i?2 u+:::= 0
Par suite, les equations du mouvement nous permettent de relier les parties paires et impaires def(z).
Ceci est susant pour avoir totalement f(z) a condition d'ajouter la condition physique que f(z) a une coupure seulement dans le feuillet phy-sique.
Soulignons pour nir que ces equations du mouvement, que nous avons donnees dans le cas general d'un modele de Potts avec branchements seraient un outil precieux pour toute tentative de resolution du modele par une methode de groupe de renormalisation.
5.5.3 Solution non-perturbative
Nous allons montrer ici comment l'equation 5.23 pet se reecrire simple-ment sous une forme semblable a ce que l'on obtient pour le modele O(n)
5.5. CASG EN
ERAL 89
(modele de spins a n dimensions, ou de facon equivalente, de boucles sur reseau avec un poids n pour chaque boucle). On peut alors en principe la resoudre exactement, et la solution generale fait intervenir des fonctions elliptiques.
Correspondance avec le modele O(n)
La fonctionf(z) solution du modele de Potts-q possede, tout comme la resolvante W(z), une seule coupure dans le feuillet physique, correspondant au support des valeurs propres que l'on suppose connexe. Il est cependant parfaitement possible quef(z) possede un certain nombre d'autres coupures dans les feuillets non-physique.
C'est e ectivement ce que l'on constate lorsqu'on etudie, par exemple, le modele d'Ising (qui est aussi le modele de Potts-2).
b a
a b
feuillets non-physiques feuillet physique
Fig. 5.5 { Modele de Potts-2 (Ising). Il y a 3 determinations possibles pour la resolvante. Dans le feuillet physique, on n'a qu'un seule coupure [a;b]. Cependant, dans les feuillets non physiques, on montre qu'il y a une autre coupure (non-physique) semi-in nie.
D'une facon generale, on verra que tous les modeles de Potts possedent une coupure semi-in nie non-physique. Les manipulations qui vont suivre, visant a remplacer f(z) par !() dans 5.23, reviennent en fait a \deplier"
f(z) autour de cette coupure : on remplace la fonction f(z) singuliere le long de la coupure [c;1[ par une autre fonction reguliere sur ce segment. L'equation obtenue pour la fonction !(), qui ne possede pas de coupure semi-in nie, est alors beaucoup plus \parlante" et aisee a resoudre que celle pour f(z).
90 CHAPITRE5. MOD
ELESDE POTTSSUR R
ESEAUAL
EATOIRE
Voyons a present comment on s'y prend pour \deplier" la coupure semi-in nie.
La fonction z
0(z), telle que de nie plus haut, veri antf(z
0) =f(z), est une fonction involutive au sens des fonctions multivaluees. On a :
z 0 (z 0 (z)) =z Soit z
0 un point xe de cette fonction :
z 0 (z 0) =z 0 et notons f 0 =f(z 0) et =p f 0 ?f
z, conxideree comme une fonction de , veri e alors
z 0
=z(?) etz() regulier en = 0. De nissons en n :
!() = z() + 1 c 1 4?q ( 2 ?f 0 ?(2?q)cu) 5.23 devient alors : ! 2 () +! 2 (?) + (2?q)!()!(?) =R() (5.25)
R() est un polyn^ome pair et de degre 4 en .
Cette equation est semblable a celle obtenue dans le cas du modele O(n) : il sut de faire le parallele 2?q !n. Cependant, les exposants critiques des deux modeles ne sont pas les m^emes : en e et, la ou l'on avait la resolvante du modele dans le cas O(n), nous avons a present!(), qui est reliee a la reciproque z(), avec
2 = f ?f
0, de f(z), plut^ot qu'a la resolvante du modele de Potts elle-m^eme.
Resolution de l'equation 5.25
Notons :
q= 2?2cos() avec 0 1 et [a;b], avec ab>0 la coupure de la fonction!().
En ecrivant R(+i0)?R(?i0) = 0, on obtient (lorsque appartient a la coupure,? n'y appartient pas) :
5.5. CASG EN ERAL 91 (!(+i0)?!(?i0))(!(+i0) +!(?i0) + 2cos()!(?)) = 0 pour touta b.
Par suite, nous avons l'equation :
!(+i0) +!(?i0)?2cos()!(?) = 0 (5.26) Nous allons a present etudier la solution de cette equation dans le cas rationnel : = l
r ou l etrsont deux entiers premiers entre eux.
Cas rationnel
On de nit les fonctions!?+ et! ? : ! +() =e i 2 !() +e ? ipi 2 !(?) Chaque fois que l'on traverse une coupure,!
est multiplie par une phase
?e
i. On voit que le nombre de feuillets n'est ni que dans le cas ou est rationnel.
on a :
!
?() =! +(?)
et on peut reecrire l'equation quadratique en! comme
! +()!
?() =R() L'equation lineaire 5.26 devient
! +(+i0) =?e i ! ?(?i0) ! ?(+i0) =?e ?i ! +(?i0) On de nit () par : ! +() =p Re i( ? (+1) 2 ) ! ?() =p Re ?i( ? (+1) 2 ) alors !() =? p Rcos( ) sin
Le polyn^ome S() de ni par
S() = 12(! r ++ (?1)r +l ! r ?)
92 CHAPITRE5. MOD
ELESDE POTTSSUR R
ESEAUAL
EATOIRE
veri e alors l'equation :
S() =R()r 2 e ? i(r +l) 2 T r(? !()sin() p R() ) ouT
r est le polyn^ome de Chebychev : T
r(cos( )) = cosr .
L'equation ci-dessus nous permet d'obtenir, pour toutletr, une equation algebrique en et!, et, par suite, en W(z) (la resolvante du modele) et z. Le degre de cette equation depend de la parite der+l: en e et,S est un polyn^ome pair en quandr+l est pair, donc un polyn^ome en f =f
0 ?
2. Quandr+lest impair, cependant,Sest aussi impair et il faut donc prendre le carre de l'equation ci-dessus pour obtenir une equation algebrique enf et
z.
On a nalement une equation de degreden f(z) :
d= 2r?1 si r+l est impair
d=r?1 si r+l est pair
Cette equation est facile a resoudre, selon les m^emes principes qui nous ont permis de resoudre l'exemple du modele de Potts-3, en particulier dans le cas l= r?2. Nous donnons ci-dessous l'evolution du point critique (ici la valeur de c au point critique) lorsque q ! 4 soit une charge centrale conforme qui tend vers l'in ni.
On trouve, en particulier, dans la limiter!1c'est-a-dire pourq= 4 :
c cr it= 9?4p 3(3 + 2) 21 + 16 2 '?0:0886148 g cr it= 16 2 (21 + 16 2)3[4(129+16 2 )p 3(3 + 2)?27(57+16 2 )]'?0:0366283
Exp osants critiques
Les points critiques des modeles de Potts-qcorrespondent physiquement aux points ou les extremites de la coupure physique et de la coupure semi-in nie non-physique fusionnent : en terme de la variable, l'extremite de la coupure semi-in nie, qui corespond af =f
0, se situe a = 0.
Quant a la coupure du feuillet physique, nous l'avons notee [a;b]. Ainsi, lorsqu'on se trouve au point critique du modele, on aa= 0. De ceci, et de
5.5. CASG EN ERAL 93 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 q c
Fig. 5.6 { c critique en fonction de q, pour une suite de cas rationnels ou
q !4, ici q= 2?2cosr ?2 r
l'equation 5.25, on peut deduire la valeur des exposants critiques du modele. En e et,! s'ecrit alors, au voisinage du point critique
!() =C(?)
+ partie reguliere
Toutes les valeurs de ne sont pas compatibles avec l'equation 5.25. En remplacant dans cette equation !() par son expression au voisinage de
= 0, on trouve la condition : e 2i + 1 + 2cos()e i = 0 soit =+ 1 + 2p avecp2Z !()(f o ?f)nu+1+2p 2 donne f (z?cste) 2 +1+2p
par suite, on a, comme on s'attend a ce que l'exposant def soit superieur a 1 f (z?cste) 2
94 CHAPITRE5. MOD
ELESDE POTTSSUR R ESEAUAL EATOIRE s=? (1) (1) 5.6 Conclusion
Nous avons montre dans ce chap^tre comment la methode des boucles permet de resoudre de facon elegante des modeles de matrices couplees de facon complexe : les modeles de Potts-q. Nous avons par cette methode retrouve les exposants critiques du modele pour q < 4, ainsi que le lien entre les modeles de Potts et les modelesO(n).
Nous avons de plus montre que la resolvante du modele est la solution d'une equation algebrique que nous exprimons, pour les modeles de Potts-3 (ce resultat rejoint ceux de [54, 55]) et Potts-1tout d'abord [2], puis pour le cas general des modeles de Potts-qavecq = 2?2cos(),etant rationel [3]. Ces resultats nouveaux soulignent l'ecacite de la methode des boucles qui est, en outre, une premiere etape importante avant toute utilisation de la methode de groupe de renormalisation.
En n, notre methode, contrairement aux methodes basees sur une e-quation de col peut, en principe, se generaliser aux termes suivants du developpement topologique en puissances de 1
N.
Ce travail sur les modeles de Potts laisse donc la porte ouverte a de nombreuses possibilites de travaux de recherche ulterieurs.
Modeles a plusieurs coupures
et limite
N ! 1Dans ce chapitre, nous allons nous interesser aux modeles a une matrice dans le cas ou la distribution de valeurs propres du modele est non-connexe. Nous verrons que, m^eme dans la limite N ! 1, des comportements non triviaux surgissent. Nous verrons aussi comment un calcul \naf" de ces modeles ne permet pas de mettre en evidence ce comportement.
Il est possible, par des methodes valables a N ni, comme la methode des polyn^omes orthogonaux, d'exprimer les grandeurs d'un modele de ma-trices en fonction deN. En particulier, il existe, dans le cas bien connu d'un support connexe de valeurs propres, un developpement topologique en puis-sances de 1
N
2. Par exemple, l'energie libre F = ? 1 N
2 lnZ se reecrit sous la forme d'un developpement perturbatif :F =F
0+ 1 N 2 F 1+O( 1 N 4).
Nous n'allons cependant pas nous etendre ici sur l'inter^et des termes sous-dominants dans le developpement topologique. Les problemes que nous allons mettre en evidence surgissent en e et des l'ordre dominant en 1
N 2, et s'appliquent au cas d'un support non connexe de valeurs propres, des que l'on cherche a calculer des fonction de correlation de valeurs propres comme
c(x;y) =? @ 2 F @V(x)@V(y ),(x;y;z) ....
Les premiers travaux sur le sujet [31] ont mis en evidence un comporte-ment semblable a celui que l'on a dans le cas d'un support connexe de valeurs propres. Des travaux ulterieurs [32, 33, 34], cependant, ont montre qu'il faut ajouter, dans le cas d'un modele a deux coupures symetriques, un terme oscillant en (?1)N dans la fonction de correlation connexe a deux points
c(x;y). Ceci montre qu'il n'y a pas, dans ce cas, de developpement topolo-gique a grand N. Des travaux plus recents [35] ont generalise ce resultat a
96CHAPITRE6. MOD ELES
APLUSIEURSCOUPURESETLIMITEN !1
des coupures quelconques, donnant l'expression des polyn^omes orthogonaux et de la fonction de correlation d'un tel modele.
J'expliquerai ici le principe de la methode semi-classique que nous avons mise au point [4], qui permet a la fois de trouver la fonction de partition, les polyn^omes orthogonaux et les fonctions de correlation, et de mettre claire-ment en evidence l'origine physique de ce comporteclaire-ment.
6.1 Le cas symetrique
Nous allons ici rappeler comment on peut obtenir la fonction a deux points dans le cas symetrique, ainsi que la resultat de [34].
6.1.1 Rappels sur l'usage de la methode du col dans le cas
d'un support de valeurs propres non connexe
Si Z = Z de ?N 2 trV() on peut ecrire Z = Z Y i d i e ?N 2 P i V( i )? P j 6=i lnj i ? j j
soit, sous forme continue, une action :
S =
Z
()V()d? Z
()()lnj?jdd
ou() est la densite de valeurs propres du modele. Le calcul du col par rapport a chacune des variables
idans l'expression discrete nous donne :
V 0( i)? 1 N X j6=i 1 j ? i = 0
Si, par contre, on veut utiliser l'expression continue, on minimise S par rapport aavec la condition :
Z
()d= 1
6.1. LE CASSYM ETRIQUE 97 F (z)?? = 0 soit V(z)?2 Z ()lnjz?jd?? = 0
pour z appartenant au supportC des valeurs propres de la matrice.
Pour retrouver la relation habituelle, on derive l'expression ci-dessus, et on obtient : V 0 (z)?2PP Z () z? d= 0 pour toutz appartenant a C.
Cette derniere expression ne sut cependant pas, dans le cas d'un sup-port de valeurs propres non-connexe, a trouver le col. En e et, on ecrit, dans le cas d'un potentiel de degredet d'un supportCcomprenantkcomposantes connexes : !(z) = V 0(z) +M(z)p (z) 2 ou degM =d?k?1 (z) = k Y i=1 (z?a i)(z?b i) Le support des valeurs propres etant donne par :
C=[ k i=1[a i ;b i]
Le nombre d'inconnues (coecients du polyn^omeM(z) et extremitesa ietb
i
des coupures) est alorsd+k?1, tandis que le nombre d'equations estd. Par suite, pour un support a plus d'une composante connexe, il nous manque
k?16= 0 equations.
Cette apparente insusance de la methode du col pour obtenir le resultat complet s'explique par le fait que la seconde relation s'obtient en derivant l'action par rapport a de petites variations de
i. Quand on a un support en plusieurs parties, une petite variation de la valeur de
i ne permet pas de faire passer une valeur propre d'une coupure a l'autre, donc de changer le nombre de valeurs propres presentes dans chaque coupure. On n'a alors qu'un col lo cal, minimum de l'action pour un nombre de valeurs propres donne.
98CHAPITRE6. MOD ELES
APLUSIEURSCOUPURESETLIMITEN !1
Pour obtenir le col global, on utilise la relation non derivee, issue de petite variations dequi permettent de changer le nombre de valeurs propres de part et d'autre. A la relation
Veff =V(z)?2PP Z
()lnjz?jd
constant sur chaque composante connexe du support, on ajoute la constance du potentiel e ectif surtout le supp ort.
Ceci ajoute k?1 equations aux dprecedentes (identite de Veff sur la
iieme coupure et sur la i+ 1ieme), et on a donc a present le m^eme nombre d'equations que d'inconnues.
6.1.2 Forme de la fonction a 2 points : calcul classique
Soit Z = Z de ?N2 trV() Avec la de nition @V() @V(z) =(z?) on a : (x) = @F V(z) et !(x) = Z () x? d c(x;y) =? @ 2 F @V(x)@V(y) =? @(x) @V(y) !c(x;y) = Z c(;) (x?)(y?)dd c(x;y) n'est non nul que si x ety appartiennent tous deux au support des valeurs propres, que nous prendrons ici symetrique et forme de deux composantes connexes seulement :C= [?b;?a][[a;b] du modele.
Comme on a Z (x)dx= 1 alors Z c(x;y)dy= 0 d'ou !c(x;y) cstex 2 quandx!1 (6.1) !c(x;y) cstey 2 quand y!1 (6.2) (6.3)
6.1. LE CASSYM
ETRIQUE 99
D'autre part,!
c(x;y) n'a de coupure que quand x ou y appartiennent au support des valeurs propres C.
La methode du col nous donne l'equation 2<!(x) =V 0 (x) soit < @!(x) @V(y) = d dx 1 2(x?y) d'ou <! c(x;y) = 12(x?1y)2 De la de nition de! c(x;y), on tire que !
c n'a pas de raison, pour x et
y hors de C d'^etre singuliere en x=y. Ceci signi e que
! c (x;y) = 12(x?1y)2(1? N(x;y) p (x)(y)) avec (x) = (x 2 ?a 2 )(x 2 ?b 2 ) et N(x;y) polyn^ome symetrique en x ety tel que !
c(x;y) ait le bon com-portement (!
c(x;y) 1 x
2 quand x !1) quand x et y grands et n'ait pas de p^ole en x=y. Ceci donne : N(x;y) =x 2 y 2 ?(a 2 +b 2 )xy+a 2 b 2 +C(x?y)2 C est a priori une constante indeterminee.
La partie connexe
c(x;y) de la fonction de correlation des valeurs propres, lorsque x et y sont d'ordre 1 (nous verrons plus tard que cette expression n'est pas valable pour les correlations entre valeurs propres voisines), se deduit simplement de la discontinuite de !
c(x;y) au voisinage du support des valeurs propres. On a :
c(x;y) = 12 2 1 (x?y)2 N(x;y) p (x)(y) Rappelons que c (x;y) =N 2 (h tr (x?M) tr(y?M)i?h tr (x?M)ih tr (y?M)i)
100CHAPITRE6. MOD ELES
APLUSIEURSCOUPURESETLIMITEN !1
tant que jx?yj = O(1), les positions des valeurs propres sont tres peu correlees, d'ou le facteur N
2 pour avoir une expression d'ordre 1. Des que
jx?yj= O(1
N), cependant, les correlations changent d'ordre de grandeur, d'ou la divergence qualitativement correcte dans l'expression ci-dessus de la fonction a deux points.
6.1.3 Determination de
CLa methode du col nous donne :
Z c b V 0 (z)?2!(z)dz = 0 qui implique : Z c b 1 (x?y)2 ?2! c(x;y)dy= 0
Cette relation nous permet de determiner la valeur de la constante C. On trouve [31] : C =? 1 2((a 2+b 2)?(a+b)2 E(k) K(k)) ou les integrales elliptiques E(k) et K(k) sont calculees pour
k
2 = 4ab
(a+b)2
Cette methode du col est cependant tributaire d'un grand nombre d'hy-potheses. En particulier, on a utilise une representation continue de la den-site de valeurs propres et on suppose qu'il existe un developpement topolo-gique aN grand.
[34] ont prefereutiliser la methode des polyn^omes orthogonaux qui, etant valable pour toutN ni, n'est pas a priori tributaire de la supposition qu'il existe un developpement topologique en puissances de 1
N 2. Apres avoir choisi un ansatz pour lesP
n(), et en utilisant les proprietes d'unicite sur les polyn^omes orthogonaux, ils ont trouve la valeur deC. L'ex-pression asymptotique desP
n, pourN !1mais N?n ni, est :
P n() =e n 2 V() 1 p f() cos(N?(N?n) + + (?1)n ) ou
6.2. CASG EN ERAL 101 f() = 2 b 2 ?a 2 2 sin2 () 0() =?() cos2 () = 2 2 ?(a 2+b 2) (b 2 ?a 2) cos2() = bcos () sin 2() = asin ()
La constanteC vaut alors :
C = (?1)N ab
On voit que :
1) Cette valeur est di erente de celle trouvee par la methode du col. 2) Elle depend explicitement de N, contredisant ainsi la supposition qu'il y aurait dans le cas a deux coupures un developpement topologique en puissances deN.
6.2 Cas general
Les resultats precedents, en mettant en evidence une incompatibilite entre les resultats obtenus par des methodes de calcul di erentes, posent beaucoup de questions. Nous allons ici essayer d'y repondre en decrivant notre travail dans le cas general d'un modele a deux coupures non symetri-ques.
On va s'attaquer a ce probleme en utilisant la methode du col. Cepen-dant, au lieu de calculer l'energie libre F (pour la deriver par la suite par rapport aV(x) etV(y) a n d'obtenir
c(x;y)) uniquement au premier ordre en 1
N
2, nous allons garder certains termes sous-dominants dansF. Nous ver-rons en e et que ceux-ci, lorsque derives deux fois par rapport au potentiel, contribuent a l'ordre dominant a
c(x;y). Soit le modele Z = Z de ?NtrV()
102CHAPITRE6. MOD ELES
APLUSIEURSCOUPURESETLIMITEN !1
ou le potentiel V(z) est un potentiel a deux puits.
On suppose que le support des valeurs propres est non connexe, donne par C= [a;b][[c;d] a<b<c<d Soientx 1 etx 2,x 1+x
2= 1 les proportions de valeurs propres comprises respectivement entreaetb et entrec etd.
On a x 1= Z [a;b] ()d
On peut, au lieu de calculer directementZ, calculer d'abordZ(n), ou le