Groupe de renormalisation

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ESOLUTIONDESMOD 

ELESDEMATRICES

est donc un segment [a;b] de l'axe reel. Le polyn^ome place sous la racine de l'expression de! a donc une solution double ainsi que deux solutions simles reelles. Ceci sut a determiner totalement! ett

. Le modele est critique quandt

(g) est singulier. On obtient ainsig cr itiq ue. On peut aussi remarquer que !(z) change elle aussi de comportement en

g=g c :

! (z?b)3 2

au lieu de (z?b)1

2 Determiner la condition pour laquelle ! se comporte en puissance 3

2 peut ^etre une autre methode pour trouver la position du point critique.

On peut remarquer ici queg= 0 correspond au cas gaussien. On a alors, comme !(z+i0)?!(z?i0) = i(z), la formule (z) = 1

 p

z 2

?4. On retrouve ici la loi de distribution en demi-cercle.

3.3.3 Cas a plusieurs matrices

A priori, dans le cas a plusieurs matrices, le nombre d'operateurs appa-raissant dans les equations du mouvement est nettement plus important : pour un modele akmatrices, pour une trace d'ordren(contenantnmatrices i), on a tous les operateurs du type

tr n Y i=1  i ou  i = 1;2:::k

Cela fait un nombre d'operateurs de l'ordre dek n.

Certes, le nombre d'equations du mouvement impliquant uniquement des traces d'ordre inferieur ou egal anest aussi tres eleve, cependant, il n'existe pas de technique permettant a priori d'obtenir une relation de recurrence simple et de calculer, comme dans le cas a une matrice, toutes les valeurs moyennes de traces, en fonction d'un nombre ni d'inconnues.

3.4 Groupe de renormalisation

3.4.1 Motivations

La methode du col et la methode des polyn^omes orthogonaux utilisent toutes deux l'expression de la fonction de partition du modele de matrices en terme de valeurs propres.

Pour cela, on reecrit la mesure en fonction des valeurs propres et des va-riables angulaires et on integre sur ces-dernieres. Nous avons vu, cependant,

3.4. GROUPE DERENORMALISATION 45 que ceci n'est aise que si l'on peut se ramener a une serie d'integrations par la formule de [48] sur des variables angulaires independantes.

Cette condition nous limite a priori a des modeles de matrices couplees en cha^ne ou en arbre et exclut en principe les modeles, m^eme simples, ou les matrices sont couplees en boucle. De plus, si les modeles que l'on sait resoudre (cha^nes et arbres) nous permettent d'avoir acces a des charges centrales c  1, on n'a jusqu'a present su resoudre, par quelque methode que ce soit, aucun modele de charge centrale conforme superieure a 1.

Les methodes de groupe de renormalisation ont ete developpees pour pallier a ces dicultes en orant une nouvelle technique d'investigation des modeles de matrices. On espere en particulier acceder, par le biais de cette methode approchee, a des modeles complexes, qui sont restes jusqu'ici in-accessibles aux methodes exactes. On espere aussi mieux comprendre, et pourquoi pas depasser, la \barriere" ac= 1.

3.4.2 Principe de la methode

Notations :

Un modele de matrices est caracterise par : La taille N de sa (ou ses) matrice(s) N

Son action S, que l'on va decrire par l'ensemble de ses constantes de couplage g=fg

1 ;:::;g

n g.

On ecrit alors la fonction de partition :Z

N(g) =R dN e ?N 2 S( N ;g ). Renormaliser le modele consiste a reexprimer la fonction de partition

Z

N+1(g) comme Z

N(g+g), fonction de partition d'un modele de m^eme forme, mais dont la (les) matrice(s) est (sont) de taille inferieure, et dont les constantes de couplage ont ete modiees.

Pour passer d'une matrice de taille (N+ 1)(N + 1) a une matrice de taille N N, on ecrit N+1=  N v v   

ou est un reel etv un vecteur colonne aN composantes, et ou l'on integre sur v,v  et . On a alors : Z N+1(g) = Z dN+1 e ?(N+1) 2 S( N+1 ;g ) = Z dN dvdv  de ?(N+1) 2 S( n ;v ;v  ;;g )

46CHAPITRE3. M 

ETHODESDER 

ESOLUTIONDESMOD  ELESDEMATRICES developpement en 1 N : Z N+1(g) = Z dN e ?N 2 S 0 ( N )

Pour peu que l'on puisse reecrire la nouvelle actionS

0sous la m^eme forme que l'action de depart, mais avec des constantes de couplages dierentes commeS(N

;g+g), nous obtenons le changement de constante de couplage

g equivalent a un changement de taille de la matrice :  N N =?

1 N.

3.4.3 Obtention des points et des exposants critiques

On espere que la methode de groupe de renormalisation pourra s'ap-pliquer alors m^eme que l'on ne sait pas resoudre exactement le probleme car calculer Z

N revient a integrer sur les N

2 variables de N, tandis que renormaliser le modele consiste a integrer sur (2N+ 1) composantes reelles seulement.

La contrepartie de cette simplicite est que l'on obtient un resultat moins complet que dans le cas des methodes exactes : en particulier, on ne conna^t pas la valeur deZ.

Cependant, conna^tre l'equation donnant l'evolution de g est susant pour obtenir les renseignements les plus importants sur le modele : points critiques, exposants critiques ...

Expression de l'invariance d'echelle

On sait que, d'une facon generale, il y a invariance d'echelle au voisinage des points critiques d'un probleme. Dans le cadre des modeles de matrices aleatoires, on va considerer la taille des matrices comme le facteur d'echelle. Si l'on exprime cette propriete, on a, dans le cas ou il n'y a qu'une seule constante de couplageg, le point critique etant noteg

c : Z N 0(g;N 0) = Z N((g?g c)(N 0 N ) +g c ;N)

a une constante de proportionnalite c(g) pres, ne dependant pas de , et reguliere eng.

Si on ecrit l'equation d'evolution generale pour l'energie libre du modele

F =? 1 N 2 lnZ, on a [15] : N @ @N F = i(g) @ @g F +r(g)

3.4. GROUPE DERENORMALISATION 47 ou  i =N @g i @N

traduit l'evolution des constantes de couplage, et ou r(g) est une fonction reguliere en gissue de la constante de proportionnalitec(g).

Dans le cas ou on peut se ramener a un modele a une seule constante de couplage, le point critique est un point xe du groupe de renormalisation et verie :

(g)'(g?g

c) au voisinage deg

c soit (g c) = 0

Determination des points critiques a partir des ots

D'une facon plus generale, les points critiques decrivent un changement dans le comportement du modele. Les lignes de ot du groupe de renorma-lisation sont l'ensemble des valeurs des constantes de couplages, obtenues en faisant changerN, a partir d'un ensemble de constantes de couplages de depart donne. Le long d'une ligne de ot du groupe de renormalisation, le comportement physique reste le m^eme. La ligne critique marque la transi-tion entre les domaines de couplages ou l'on est attire par des points xes du groupe de renormalisation dierents. Pour des raisons topologiques simples, la ligne critique est elle-m^eme une ligne de ots du groupe de renormalisa-tion. Les points de la ligne critique sont attires vers un point xe qui possede au moins une direction instable : le point xe critique du modele.

g1 g2

point fixe stable ligne critique

point fixe critique

Fig. 3.5 { Les points critiques (qui forment ici une ligne critique) marquent la separation entre les points de l'espace des constantes de couplage attires vers des points xes dierents.

48CHAPITRE3. M 

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ELESDEMATRICES

Exp osants critiques

D'autre part, si on linearise les 

i(g) au voisinage d'un point xe g  ic

du groupe de renormalisation, on a, en fonction des constantes de couplage lineariseesg  i : i / i(g  i ?g  ic) soit N @F @N = i(g  i ?g  ic)@F @g  i ou les 

i sont relies aux singularites deF, donc aux exposants critiques (cf ch 1).

Exemple : modele a un matrice : au voisinage du point critique,

N @F @N =(g?g c)@F @g

la partie singuliere deF est donnee par la solution de l'equation sans second membre :Fsing =N 2(g?g c)2= soit s= 2?2=

s est l'exposant de corde que nous avons deni au 2.6.3.

A present, dans les chapitre 4, 5, et 6 suivants, nous allons decrire le travail que nous avons eectue dans les articles inclus a la n de cet ouvrage (chapitre 8).

Predire l'allure des ots . . .

Dans ce chapitre, nous allons tout d'abord expliquer comment on peut relier [16] l'allure des ots de groupe de renormalisation a la valeur de la charge centrale conforme. Nous verrons ensuite la methode que nous avons mise au point [1] pour mettre en uvre les techniques de groupe de renor-malisation. Nous verrons enn comment nous avons ameliore la precision des points et exposants critiques, et nous decrirons ceux de nos resultats qui viennent a l'appui de la conjecture de [16].