2.6 Charge centrale conforme et modeles de matrices aleatoires . 25
3.1.2 Application au modele a une matrice
ou l'on peut aussi si necessaire ecrire explicitement les termes suivants du developpement.x
c est le col de la variablex, c'est-a-dire que l'on af 0(x
c) = 0.
Si l'on s'interesse a \l'energie libre" du probleme de nie par Z(t) =
e
?tF(t), on voit que le developpement de F(t) quandtest grand est simple-ment domine par f au col :F 'f(x
c).
3.1.2 Application au modele a une matrice
Position du probleme
La fonction de partition du modele a une matrice est plus complexe que la fonction Z(t) puisqu'il s'agit d'une fonction de N
2 variables (les parties reelles et parties imaginaires des elements de matrice de ) :
Z = Z de ?N 2 S() d =Y i<j <ij =ij Y i dii 29
30CHAPITRE3. M
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ou est une matrice hermitienne de tailleN etS() une action invariante par transformation unitaire sur la matrice . On prendra, pour xer les idees,
S() = 1
N
trV() .
Nous voulons calculer Z ou F = ? 1 N
2 lnZ , dans la limite planaire (N !1), et, le cas echeant,les autres termes du developpement topologique en 1
N
2 (Rappelons qu'en terme de surfaces, les termes enN
?2h dans l'energie libre correspondent a des surfaces ah poignees).
La generalisation la plus \naturelle" de la methode du col au cas a plu-sieurs variables semble ^etre de determiner le minimum de la fonction S() par rapport a toutes les variables<ij et=ij puis d'assimilerF aS()col a l'ordre dominant quandN !1. Cette generalisation de la methode du col, quoique valable pour un modele avec un nombre ni de variables, ne marche pas lorsque ce nombre tend vers l'in ni aussi rapidement que le terme dans l'exponentielle.
Supposons que les valeurs propres de sont d'ordre 1,
NtrV() =N N X i=1 V( i) est alors d'ordreN
2 et le nombre de variables est lui aussi d'ordre N 2. On peut aisement se convaincre, sur le modele gaussien, par exemple, ou en revenant a la demonstration du theoremedu col, que la version \intuitive" de la methode du col ne marche pas ici.
Reecriture en terme de valeurs propres
La solution proposee par [14] consiste a reduire le nombre de variables, en mettant a pro t l'invariance de l'action par transformation unitaire, avant d'utiliser la methode du col. Ainsi, on reecrit la fonction de partition comme une integrale sur les valeurs propresf
i
g de la matrice et sur les variables angulaires representees par la matrice unitaire U diagonalisant .
On a : Z = Z dU Y i d i Y i6=j j i ? j je ?N P i V( i ) Le jacobien de la transformation d ! dU Q d i est Q i<j( i ? j)2 et est le carre du determinant de Vandermonde Q
i<j( i
?
3.1. M
ETHODEDUCOL 31
=UU
?1, ou est la matrice diagonalisee,
d =UdU ?1 +U[U ?1 dU;]U ?1 =d + [U ?1 dU;]
car d est invariante par transformation unitaire. Le terme qui va donner le jacobien de la transformation est dZ = [U
?1 dU;]. On a dZ ij = ( j ? i)U k i dU k j
On voit que l'on peut nalement reecrired sous la forme
d =Y i<j ( i ? j)2 Y i d i d(U)
De l'invariance de d on tire l'invariance de la mesure d(U) par transfor-mation unitaire. Par suite d(U) est la mesure de Haar qui sera notee dU
dans toute la suite de cet expose. Par suite, Z / Z Y i d i e ?NE(i) avec E(f i g) =X i V( i)? 1 N X i6=j lnj i ? j j
La methode du col donne alors
V 0 ( i)? 2 N X j6=i 1 i ? j = 0 pour la distribution de valeurs propres au col.
Limite continue et resolvante du modele
On peut se representer le probleme comme un systeme de N valeurs propres placees dans un potentiel V et se repoussant entre elles.
Si la repulsion (qui vient simplement du jacobien du changement de variables) n'existait pas, toutes les valeurs propres, dans la limite N in ni, tomberaient au fond du puits caracterise parV
0(
i) = 0. Comme les valeurs propres se repoussent, elles se repartissent en fait le long d'un support [a;b] de taille nie. Le potentiel e ectif :V
eff() =V()? 2 N P j6=ilnj? j jest constant le long de ce support.
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a b
V
λ
Fig.3.1 { Distribution des valeurs propres dans un potentiel cubiqueV(z) =
g 3 z 3+1 2 z
2. [a;b] est le support des valeurs propres et V
eff() est constant le long de [a;b]
En de nissant la densite d'etats
() = 1 N X i (? i) et en se placant dans la limite continue, on a
V 0 ()?2PP Z d () ? = 0
sur le support de, ouPP signi e partie principale. La resolvante!() est de nie par : !() =h 1 N tr 1 ?i= Z () 1 ? d
On a donc,appartenant au support de ,
V 0
()?2<(!()) = 0
! est une fonction analytique dans tout le plan complexe, sauf sur le support [a;b] de. Ceci sut a determiner la forme de la resolvante :
!() = V 0() 2 + M() 2 p (?a)(?b)
3.1. M
ETHODEDUCOL 33
Le developpement de l'expression ci-dessus pour ! au voisinage de l'in ni, et la condition!
1
(tiree de la de nition de!, sachant queR
()d= 1) susent a determiner M() ainsi que les valeurs de aetb.
Sachant que !(+i0)?!(?i0) = i(), on deduit de l'expression ci-dessus la distribution de valeurs propres qui, dans le cas gaussien (g= 0) prend la forme de la loi de demi-cercle donnee en introduction (2.1.3).
Remarquons que ces resultats sont valables uniquement dans la limite planaire. Pour acceder a des topologies di erentes de la topologie planaire, il faudrait developper perturbativement au voisinage de l'in ni. Il serait necessaire d'inclure les termes suivants apparaissant dans la methode du col, ainsi que les corrections venant du caractere discret des valeurs propres.
Points critiques
Le point critique du modele correspond a la valeur de g pour laquelle l'energie libre devient singuliere.
Visuellement, cela correspond au moment ou les valeurs propres com-mencent a \deborder" du puits. On peut alors etudier le comportement
V
λ b
a
Fig. 3.2 { Distribution des valeurs propres au point critique du modele :
g 3 3 + 2 2
critique de !, des bornes a etb de la coupure, ou des valeurs moyennes de traces. On peut en particulier determiner la valeur de l'exposant de corde
s a partir du comportement de h tr n N i au voisinage de g = g c. On a : h tr n N i(g?g c)1? s.
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