La conjecture

Les modeles qui nous interessent le plus sont les modeles de matrices cor-respondant a une charge centrale conforme c >1 : il a ete en eet jusqu'a present impossible d'en trouver et d'en resoudre un seul. La physique dans ce domaine devrait pourtant ^etre plus interessante, que ce soit du point de vue de la gravitation quantique ou de la theorie des cordes.

Dans toute cette partie, les modeles que nous allons etudier sont des modeles bien connus de charge centrale conforme c < 1. Cependant, la connaissance des ots de renormalisation de modeles de charge centralec

1, m^eme deja resolus par ailleurs, pourrait faire avancer la comprehension des problemes a c > 1. En eet, F. David [16] a emis une conjecture sur l'allure des ots des modeles de charge centrale c < 1, ainsi que sur leur evolution lorsque c ! 1. Il predit aussi le comportement de ces modeles lorsque c a depasse 1. La verication de cette conjecture, ne serait-ce que pour des modeles de c1, ferait grandement avancer la comprehension de la barriere a c= 1.

50 CHAPITRE4. PR 

EDIREL'ALLUREDES FLOTS...

Nous allons a prsent expliquer cette conjecture.

Prenons l'exemple d'un modele simple (introduit pour la premiere fois dans [46]) : S= tr2 2N ?g tr4 4N ? x 2(^tr 2 2N )2

Lorsquex= 0, on retrouve un modele de gravite pure :S= tr 2 2N ?gtr 4 4N (voir 2.5).

En terme de surfaces aleatoires, resoudre ce modele revient a sommer sur des surfaces regulieres, discretisees par l'intermediaire de quadrangulations, avec une action proportionnelle a l'aire de celles-ci.

Fig.4.1 { Gravite pure (avec une action en tr3) : dans la limite N !1, seules les surfaces de topologie planaire (a gauche) sont autorisees

Lorsque x6= 0, par contre, le terme en x introduit des singularites dans la surface. Plus precisement, il signie que l'on peut avoir des surfaces collees l'une a l'autre par une ar^ete : le poids d'un tel branchement dans la fonction de partition est alorsx. On dit que x est un terme de branchement.

Fig.4.2 { Gravite et termes de branchement. Lorsque ce-dernier est non nul, on engendre des surfaces singulieres composees de plusieurs surfaces collees (\branchees") en un point.

4.1. LA CONJECTURE 51 ^etre domines, selon les regions de constante de couplage ou l'on se place, soit par la gravite avec ou sans champ de matiere, soit par les termes de branche-ment. Cependant, on notera toujours la contante de couplage correspondant physiquement a la graviteg, et la constante de couplage de branchementx. Le modele simple dont l'action a ete donnee plus haut est un modele assez generique, puisqu'il m^ele les deux types de comportement : gravite et branchements. On peut le resoudre exactement, et sa solution est donnee par la gure 4.3. 0.25 0.5 0.75 ^x 0.05 0.1 g gravity branched polymer branching point

Fig. 4.3 { Solution exacte : ligne critique et point bicritique (branching point) du modele suivant :S = tr

2 2N ?g tr 4 4N ? x 2(tr 2 2N )2

Lorsqu'on se place ax= 0 (gravitepure), le point critique du modele est :

g c =?

1

12. Le point critique du modele ag= 0 (termes de branchement seuls) correspond a une valeur dex :x

c =? 1

2. L'ensemble des points critiques du plan (g;x) constitue la ligne critique dessinee sur la gure 4.3. Le point bicritique du modele sera note C.

La solution exacte nous permet aussi d'avoir acces aux exposants cri-tiques du modele : entre le point critique de gravite pure et C, on a

s=? 1 2, par suite, le comportement est celui de la gravite. Entre C et le point critique de branchement, par contre

s= +1

2, ce qui correspond a un comportement critique de branchement. Enn, en C,

s= 1 3.

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Conjecture quand c<1

La conjecture nous donne a priori l'allure des ots de groupe de renorma-lisation d'un modele generique (voir gure 4.4), avec un axe pour le couplage de la gravite (ici g), et un axe pour la constante de couplage de branche-ment (ici x). Les eches indiquent le sens de l'evolution des constantes de couplage sous l'action du groupe de renormalisation, lorsqueN decro^t. La ligne critique marque la separation entre deux comportements. D'un c^ote, les ots sont attires par le point xe gaussien (getx nuls, l'action est alors quadratique) qui est dans tous les cas un point xe purement attractif du modele. De l'autre, ils divergent. Sur la ligne critique, on place le point bi-critique C dont on sait qu'il represente un point totalement repulsif. On sait de plus que la variete ou l'on n'a que des termes de branchements (g = 0) represente une sous-variete xe du probleme.

g

x A

B C

Fig. 4.4 { Allure conjecturee des ots de renormalisation pour un modele dec<1 (gure tiree de [16])

On conjecture enn l'existence d'un point xe de gravite A (avec s =

? 1

2), vers lequel sont attires tous les points critiques d'exposant de corde

s=?

1 2.

A l'epoque ou cette conjecture a ete faite (1997), les ots de groupe de renormalisation de ce modele avaient ete calcules de maniere extr^emement elementaire, ce qui donnait la gure 4.5.

On voit que les calculs etaient trop approches pour conrmer ou inrmer notre hypothese.

4.1. LA CONJECTURE 53 0.5 1 ^x -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 g G A B C

Fig.4.5 { Premiers calculs approches de ots (gure tiree de [16])

Evolution des ots p ourc!1 et cas c= 1

Tout l'inter^et de la conjecture reside dans l'evolution des points A et C en fonction de la valeur de la charge centrale c.

On sait que l'exposant de gravite est relie a la charge centrale par la formule

s= 1

12(c?1? p

(25?c)(1?c)) donnee au 2.6.3. (Par exemple, si

c= 0, ce qui correspond a un modele de gravite pure, on retrouve s =?

1 2). On peut montrer que, dans la limite planaire (N ! 1), l'exposant

0 au point C est relie a

s par la formule 0= s

s?1 (soit, quand c= 0, 0= 1

3). Lorsqu'on linearise les ots au voisinage des points xes A et C,

s et 0

sont relies a l'evolution des constantes de couplage linearisees au voisinage du point xe (g

 ;x

) par la formule = 2?2= ou N @x



@N = x . En particulier, si>0, la direction est repulsive (les ots vont dans le sens des

N decroissants) tandis qu'elle est attractive si<0. Lorsque c !1,

s et

0 tendent tous deux vers 0, donc  C = 

A = 1. D'autre part, si on calcule 

0 deni par N @g @N =  0 g ;  0 C > 0 et  0 A < 0 lorsque c<1 (ce qui correspond bien au fait que C est totalement repulsif, et que A a une direction attractive) mais 

0 C et

0

A tendent tous deux vers 0 quand c!1.

54 CHAPITRE4. PR 

EDIREL'ALLUREDES FLOTS...

Ces deux arguments suggerent la conjecture suivante : quand c se rap-proche de 1, les points xes C et A se raprap-prochent.

On a montre que, si tout au moins le point xe A existe bien comme on l'a suppose, les exposants de A et de C sont confondus lorsquec= 1.

On conjecture donc que, quand c = 1, C et A sont confondus, ce qui donne l'allure donnee sur la gure 4.6 pour les ots de renormalisation du probleme.

g

x

B C’

Fig. 4.6 { Flots de renormalisation conjectures pour un modele de c = 1 (gure tiree de [16])

Flots du modele quand \on depasse

"

Enn, en prolongeant ce comportement lorsquec>1, on obtient la gure 4.7.

La verication de cette conjecture serait tres importante (ne serait-ce que si on la verie pour c  1) car la gure ci-dessus nous montre que les ots du modele ainsi decrit sont attires vers l'axe g = 0 (branchements \purs").

Il n'y a pas de point xe ag6= 0, et donc pas d'exposant critique qui ne soit pas un exposant d'un modele de branchements, ni de theorie continue \interessante" ac>1 (i.e. une theorie de gravite+matiere bidimensionnelle). Remarque : on peut toujours imaginer que, m^eme si la conjecture s'avere vraie, lorsque le mecanisme qui nous donne, \au-dela dec= 1, une theorie

4.2. V 

ERIFICATIONS POURLE MOD  ELE  A UNEMATRICE 55 g x B A c~1 pseudo-scaling

branched polymer true scaling

Fig. 4.7 { Flots de renormalisation conjectures pour un modele \au-dela de

c= 1" (gure tiree de [16])

continue peu interessante sera mieux compris, on pourra modier intelligem-ment cette theorie pour obtenir, cette fois, une theorie continue de gravite a c>1.

4.2 Verications pour le modele a une matrice

Les modeles a une matrice sont certainement les mieux connus : on ne s'interesse donc pas a eux pour trouver la ligne critique ni les exposants critiques, par exemple, puisqu'on les conna^t deja.

Cependant, precisement parce que l'on possede a leur sujet des resultats exacts, il est essentiel, avant toute etude plus complexe, de mettre a l'epreuve les techniques de ot de renormalisation sur un de ces modeles simples et connus, an de determiner en particulier le degre de precision auquel on peut s'attendre.

Enn, si les modeles a une matrice auxquels je me suis interessee sont deja resolus par des methodes exactes, une partie des resultats obtenus ici, comme l'allure des ots ainsi que l'existence d'un point xe de gravite (le point xe A du 3) nous restaient inconnues, car ce sont des donnees propres a la technique de ot de renormalisation. Or ces donnees sont justement celles que l'on cherche pour etayer enn la conjecture decrite en 3 par des resultats concrets, \experimentaux".