Nanotubes de carbone

26.1. Limite inverso

Consideremos uma seq¨uˆencia de grupos_{Gn}n∈Ne suponhamos que para cada n tenhamos um homomorfismo sobrejetivo de grupos fn : Gn։Gn1. Consideremos

emQ

n∈NGn(onde a opera¸c˜ao ´e componente a componente) o subconjunto de uplas da forma x = (x0, x1, x2,· · · ) tais que fn(xn) = xn−1 para todo n ∈ N. Como cada fn ´e um homomorfismo sobrejetivo, partindo de x1 ∈ G1, tomando uma pr´e imagem sua x2 em G2 e assim sucessivamente, formamos pelo menos uma upla neste subconjunto que denotaremos por lim

←−n(Gn, fn). Este conjunto ´e chamado o limite inverso ou limite projetivo da fam´ılia_{Gn, fn} que ´e chamada de um sistema projetivo.

Exemplo 26.1. Seja A um grupo abeliano, p um n´umero primo e pA: A→ A a multiplica¸c˜ao por p em A. Dizemos que A ´e p-divis´ıvel , se pAfor sobrejetivo. Neste caso tomaremos o limite projetivo considerando a seq¨uˆencia constante An= A para todo n e fn = pA para todo n. O limite projetivo de (A, pA) ser´a denotado por Vp(A). Consideremos o subconjunto Tp(A) de Vp(A) formado pelas uplas tais que x1 = 0. Seja A[pn] := ker(pnA). Ent˜ao Tp(A) = lim

←−nA[p

n_{]. Este ´e chamado} o subgrupo de Tate associado ao grupo p-divis´ıvel A. O exemplo mais comum deste tipo de grupo ´e no contexto de variedades abelianas sobre corpos globais. Entretanto, o exemplo mais simples, ´e tomar µpn o grupo das ra´ızes pn-´esimas da

unidade em um corpo algebricamente fechado Ω de caracter´ıstica distinta de p, tomar A como µp∞ :=S

nµpn e considerar T_p(µ) := lim

←−nµpn.

Exemplo 26.2. Dado um grupo G considere uma seq¨uˆencia de subgrupos Hn de G tais que Hn ⊃ Hn−1. Considere o homomorfismo sobrejetivo fn : G/Hn ։ G/Hn−1 (proje¸c˜ao). Isto nos permite tomar o limite projetivo lim_←−n(G/Hn, fn) e observar que os homomorfismos anteriores implicam um homomorfismo natural g : G_{→ lim}

←−nGn dado por x7→ (· · · , xn,· · · ), onde xn:= x + Hn.

Exemplo 26.3. Para todo n≥ 0 considere Gn := Z/pnZ e o homomorfismo sobrejetivo de proje¸c˜ao fn :Z/pn+1Z → Z/pnZ. O limite projetivo lim

←−nZ/p n_{Z ´e} chamado o anelZp dos inteiros p-´adicos (para mais detalhes ver [Ne, chapter II].

Definiremos agora a no¸c˜ao de produto inverso de forma um pouco mais geral. Seja I um conjunto de ´ındices dotado de uma ordem parcial i _{≤ j. Diremos} que I ´e direcionado se para quaisquer i, j _{∈ I, existe k ∈ I tal que i ≤ k e} j ≤ k. Suponhamos que I seja direcionado. Uma fam´ılia inversa direcionada de grupos ´e uma fam´ılia de grupos{Gi}i∈I e para cada par i≤ j um homomorfismo fji: Gj→ Gi tal que se k≤ i ≤ j, ent˜ao fjk= fji◦ fike fii= id. Seja G :=Q_iGi com a opera¸c˜ao compenente a componente. Seja Γ o subconjunto de G formado

178 26. TEORIA DE GALOIS INFINITA

pelos elementos (xi) tais que xi ∈ Gi satisfazendo a para todo j≥ i, fji(xj) = xi. Ent˜ao Γ cont´em o elemento neutro e ´e um subgrupo de G dito o limite inverso da fam´ılia e denotado por Γ = lim

←−iGi.

Exemplo 26.4. Seja G um grupo e _{F o conjunto de subgrupos normais em} G de ´ındice finito. Se H, K ∈ F, ent˜ao H ∩ K ∈ F, assim F ´e uma fam´ılia direcionada (com respeito `a inclus˜ao). Consideramos o limite inverso lim

←−H∈FG/H. Este subgrupo de G ´e o que se chama um grupo profinito (no sentido de ser limite de grupos finitos). Uma variante desta constru¸c˜ao consiste em nos restringirmos `a fam´ılia_Fpde subgrupos normais H de G cujo ´ındice ´e uma potˆencia de p. Podemos similarmente tomar o limite inverso lim

←−H∈FpG/H, este grupo ´e chamado um grupo

pro-p profinito.

Exemplo 26.5. Logo em seguida consideraremos o contexto natural onde gru- pos profinitos aparecem, na teoria de Galois infinita. Seja k um corpo e A uma extens˜ao infinita de k. Por exemplo, k =Q e A = Q. Seja G := Aut(A/k) o grupo de k-automorfismos de A. O limite inverso lim

←−H∈FG/H coincide na verdade com G (vamos mostrar isto em se¸c˜ao posterior). Al´em disto os grupos quocientes G/H s˜ao na verdade grupos de automorfismos de extens˜oes finitas K/k contidas em A.

Analogamente, se X for uma superf´ıcie compacta de Riemann de gˆenero g_{≥ 2} e p : X′ _{→ X for a aplica¸c˜ao de recobrimento universal, F := C(X), F}′ _:=C(X′₎ seus corpos de fun¸c˜oes. Exites uma inje¸c˜ao natural π1(X)top ֒→ Aut(F′/F ) do grupo fundamental topol´ogico de X (que ´e um grupo em 2g geradores com uma rela¸c˜ao) e Gal(F′_{/F ) ´e o grupo profinito definido como limite projetivo com rela¸c˜ao} a subgrupos de ´ındice finito de AutX(X′). Chamamos a Aut(F′/F ) de grupo fun- damental alg´ebrico de X, que coincide com o completamento profinito de π1top(X) (ver se¸c˜ao seguinte). Grothendieck definiu isto de maneira geral para curvas sobre um corpo qualquer. Isto permitiu transpor a no¸c˜ao tradicional de grupo funda- mental na topologia alg´ebrica para a geometria alg´ebrica. Permanece um grande mist´erio a estrutura dos grupos fundamentais alg´ebricos de curvas, embora por ex- emplo conhe¸ca-se bem todos os quocientes finitos deste grupo, no caso de curvas afins (isto nada mais ´e que uma conjectura de Abhyankar, provada por M. Ray- naud e D. Harbater nos anos 90, que diz que para que um grupo seja quociente ´e necess´ario e suficiente que seu maior quociente primo com p o seja).

26.2. Completamento de um grupo

Seja G um grupo e suponhamos que_{Hr} seja uma fam´ılia de subgrupos nor- mais de ´ındice finito tais que Hr⊂ Hr+1para todo n. Uma seq¨uˆencia de elementos {xn} em G ´e dita uma seq¨uˆencia de Cauchy, se dado Hr existe N ≥ 1 tal que para quaiquer n, m _{≥ N tenhamos x}nx−1m ∈ Hr. Dizemos que a seq¨uˆencia{xn} ´e a seq¨uˆencia nula se para todo Hr existir um N ≥ 1 tal que para todo n ≥ N tenhamos xn ∈ Hr. Fica como exerc´ıcio provar que o conjunto C de seq¨uˆencias de Cauchy com opera¸c˜ao termo a termo ´e um grupo e que as seq¨uˆencias nulas N formam um sugrupo normal. O grupo quociente C/N ´e chamado o completamento de G com respeito `as seq¨uˆencias nulas e denotado por ˆG.

Observe que existe um homomorfismo natural G→ ˆG dado por x7→ (x, x, x, · · · ) mod N . O n´ucleo deste homomorfismo ´e igual aT

rHr. Quando este n´ucleo ´e tri- vial temos uma inje¸c˜ao.

26.3. TEORIA DE GALOIS INFINITA 179

Teorema 26.6. Existe um isomorfismo de grupos ˆG ∼= lim_←−rG/Hr.

Demonstrac¸˜ao. Seja x =_{xn} uma seq¨uˆencia de Cauchy em G. Para todo n suficientemente grande a classe de xn mod Hrindepende de n, denotamos esta classe por x(r). Assim, (x(1), x(2),_{· · · ) ∈ lim}

←−rG/Hr.

Reciprocamente, todo elemento (x1, x2,· · · ) ∈ lim_←−nG/Hn, com xn ∈ G/Hn e xn um representante de xn em G. A seq¨uˆencia{xn} ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy, que fica como exerc´ıcio provar que est´a bem definida, a menos de seq¨uˆencias nulas. Tamb´em fica como exerc´ıcio mostrar que a correspondˆencia acima nos d´a a bije¸c˜ao requerida (que por constru¸c˜ao ´e um homomorfismo).  Podemos fazer a constru¸c˜ao acima mais geralmente da seguinte forma. Seja F uma fam´ılia, uma seq¨uˆencia de Cauchy ´e uma fam´ılia {xj}j∈J indexada por um conjunto arbitr´ario J tal que para cada H _{∈ F existe j ∈ J tal que para} k, k′ _{≥ j temos x}

kx−1k′ ∈ H. Na pr´atica trabalhamos realmente com seq¨uˆencias,

pois os grupos profinitos considerados na maior parte dos casos que trataremos tˆem uma base enumer´avel de abertos. Por exemplo, isto ocorre quando G ´e finitamente gerado.

Mais geralmente, uma fam´ılia_{Hi} de subgrupos normais contida em F ´e dita cofinal emF se dado H ∈ F existir i tal que Hi⊂ H. Suponhamos que exista uma fam´ılia{Hi} cujos ´ındices percorram um conjunto enumer´avel. Fica como exerc´ıcio mostrar que lim

←−iG/Hi ∼= lim←−H∈FG/H.

26.3. Teoria de Galois infinita

Estenderemos agora a teoria de Galois para extens˜oes infinitas. Uma extens˜ao alg´ebrica infinita K/k ´e dita galoisiana, se for normal e separ´avel (lembre que para definir normalidade e separabilidade precisamos apenas que a extens˜ao K/k seja alg´ebrica). Para toda subextens˜ao finita F/k de K/k tal que F/k seja galoisiana, temos que # Gal(F/k) = [F : k]. Pela teoria geral K/F ´e galosiana (a separa- bilidade ´e clara, a normalidade, segue do fato que para qualquer α _{∈ K temos} P_{α|K | Pα|k}). Seja H := Gal(K/F ) := Aut(K/F ). Ent˜ao H tem ´ındice finito em G := Gal(K/k). De fato, consideremos o homomorfismo sobrejetivo (pela normal- idade) de restri¸c˜ao G _{→ Gal(F/k) dado por σ 7→ σ|F}. O n´ucleo deste homomor- fismo ´e exatamente H, logo, pelo teorema dos homomorfismos, G/H ∼= Gal(F/k), a fortiori, H tem ´ındice finito em G. Pelas propriedades anteriores de limite pro- jetivo, isto permite definir um homomorfismo de grupos G_{→ lim}

←−H∈FG/H, onde F := {Gal(F/k) | F ´e uma extens˜ao galoisiana finita de k}.

Teorema 26.7. O homomorfismo G → lim_←−H∈FG/H ´e um isomorfismo de

grupos.

Demonstrac¸˜ao. Observemos inicialmente que o n´ucleo ´e trivial. De fato se σ pertence ao n´ucleo, ent˜ao para toda extens˜ao galoisina finita F/k contida em K temos que σ_|F = 1. Mas como todo α_{∈ K pertence a alguma extens˜ao galoisiana} finita F/k concluimos que σ = 1.

Para ver a sobrejetividade, observe que um elemento (σH) de lim_←−HG/H satisfaz a compatibilidade σH 7→ σH′ para H′ ⊃ H. Isto nos permite definir σ ∈ G

globalmente da seguinte forma. Seja α∈ K, como observado, existe F/k galoisiana finita contida em K tal que α ∈ F . Seja H := Gal(K/F ) e σ(α) := σH(α). Observe que a condi¸c˜ao de compatibilidade acima afirma justamente que σ(α) n˜ao

180 26. TEORIA DE GALOIS INFINITA

depende da escolha de F . Portanto, isto define um elemento σ∈ G. Al´em disto,

por constru¸c˜ao σ7→ (σH). 

Exemplo 26.8. Seja p um n´umero primo e para todo inteiro n≥ 1 considere- mos Kn :=Q(µpn) o pn-´esimo corpo ciclotˆomico. Seja K :=Q(µ_p∞). A extens˜ao

K/Q ´e abeliana infinita. Como para todo n ≥ 1 temos que Gal(Kn/Q) ∼= (Z/pnZ)∗ concluimos que temos um isomorfismo de gruposZ∗

p→ Gal(K/Q). Este tipo de ex- tens˜ao cicltˆomica foi estudada por K. Iwasawa e est´a associada a fun¸c˜oes L anal´ıticas na topologia p-´adica.

Exemplo 26.9. Similarmente, dada uma curva el´ıtica E sobreQ consideramos a extens˜ao ciclotˆomicaQ(E[pn_{]) gerada pelas coordenadas dos pontos de p}n_-tor¸c˜ao de E, lembre que E[pn_{] ∼= (Z/p}n_Z)2_{. Observe tamb´em que o grupo de Galois ab-} soluto GQ := Gal(Q/Q) de Q age em E[pn], para todo n, assim temos uma repre- senta¸c˜ao de GQdada por ρn: GQ→ GL(E[pn]) ∼= GL2(Z/pnZ) e pelas constru¸c˜oes anteoriores podemos tomar o limite projetivo destas representa¸c˜oes, obtendo assim a representa¸c˜ao p-´adica GQ→ GL2(Zp). Na verdade o estudo destas representa¸c˜oes remonta a trabalhos de Serre, Shimura e Lang-Trotter e um teorema profundo de Serre afirma que a representa¸c˜ao galoisiana ρ : GQ → QpGL2(Zp) tem imagem aberta, se E n˜ao tem multiplica¸c˜ao complexa, i.e., a imagem de GQ´e um subgrupo de ´ındice finito em GL2(Zp) para todo p sendo igual a GL2(Zp) para quase todo p. O mesmo tipo de problem´atica pode ser encontrado no caso de variedades abelianas, mas a extens˜ao do teorema de Serre depende de um conjectura sobre o grupo de Mumford-Tate da variedade abeliana.

Pode-se considerar tamb´em extens˜oes ciclotˆomicas de extens˜oes ciclotˆomicas. Isto ´e o conte´udo da seguinte conjectura devida a ˘Safarevi˘c.

Conjectura 26.10. Seja k0 := Q(µ∞) o compositum de todas as extens˜oes

ciclotˆomicas deQ em Q. Seja k/k0 uma extens˜ao finita e Gk := Gal(Q/k). Ent˜ao Gk ´e isomorfo ao completamento de um grupo profinito livro em um n´umero enu-

mer´avel de geradores.

´

E poss´ıvel formular um an´alogo desta conjectura para curvas el´ıticas substi- tuindoQ(µ) por Q(E(Q)tor).

CAP´ıTULO 27