Conclusion et perspectives - Fonctionnalisation de Nanotubes pour la fabrication de batteries L

7. Seja B um anel ordenado e φ : A_{→ B um isomorfismo de an´eis. Mostre que} A pode ser ordenado com A+ ₌_{{a ∈ A : φ(a) ∈ B}+_}.

8. Seja A =_{{m + n}√2 : m, n_{∈ Z}. Mostre que A pode ser ordenado com uma} ordena¸cão distinta da usual (induzida de R). De quantas maneiras distintas pode ordenar A? (Sugestão: Note que φ(m + n√2) = m− n√2 é um automorfismo de A e utilize o exerc´ıcio anterior.)

9. Mostre que, se o anel ordenado A é majorado ou minorado, então A ={0}. 10. Mostre que qualquer anel ordenado A6= {0} é infinito.

11. Mostre que a lei do corte para o produto é válida em qualquer anel ordenado. 12. O anel ordenado A diz-se arquimediano se e só se para quaisquer a, b_{∈ A} com a _{6= 0 existe x ∈ A tal que ax > b. Prove que o anel dos inteiros é} arquimediano.

2.3 Princ´ıpio de Indu¸c˜ao

De acordo com a defini¸cão de N discutida na seçcão anterior, o conjunto dos naturais verifica o princ´ıpio de indu¸cão:

Teorema 2.3.1 (Princ´ıpio de Indu¸cão). Se S _{⊂ Z é um conjunto indu-} tivo em Z, então N_{⊂ S. Em particular, se S ⊂ N, então S = N.}

Tradicionalmente, uma demonstra¸cão “por indu¸cão” obedece ao seguinte esquema: dada uma proposi¸cão_{P(n), há que provar que P(1) é verdadeira, e} demonstrar que, se_{P(n) é verdadeira, então P(n + 1) é também verdadeira.} A rela¸cão entre este procedimento e o Princ´ıpio de Indu¸cão é facilmente esclarecida introduzindo o conjunto

S ={n ∈ N : P(n) ´e verdadeira}. Temos ent˜ao

• (P(1) ´e verdadeira) ⇐⇒ (1 ∈ S);

• (P(n) ⇒ P(n + 1)) ⇐⇒ (n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S).

O argumento por indu¸cão habitual resume-se portanto a provar que o conjunto dos naturais para os quais determinada afirma¸cão é verdadeira é um subconjunto indutivo de N. Frequentemente não chegamos a mencionar ex- plicitamente o conjunto S, mas isso não deve causar qualquer confusão. Exemplo 2.3.2.

Dizemos que n _{∈ N ´e par (respectivamente, ´ımpar) se existe k ∈ Z tal que}

n = 2k (respectivamente, n = 2k + 1). Para provar a afirma¸c˜ao “qualquer

natural ´e par ou ´ımpar”, consideramosP(n) =“n par ou ´ımpar”. Agora:

(i) Se n = 1, temos 1 = 2· 0 + 1, donde 1 ´e ´ımpar, e P(1) ´e verdadeira.

(ii) Se n ´e um natural tal queP(n) ´e verdadeira, temos n = 2k ou n = 2k+1.

Segue-se que n + 1 = 2k + 1 ou n + 1 = (2k + 1) + 1 = 2(k + 1), e portanto

P(n + 1) ´e verdadeira.

Conclu´ımos que_{P(n) ´e verdadeira para qualquer natural.}

Aproveitaremos esta técnica de demonstra¸cão para provar mais algu- mas propriedades de ordem dos naturais e dos inteiros. Come¸camos pelo princ´ıpio de boa ordena¸cão.

Teorema 2.3.3 (Princ´ıpio de Boa Ordena¸c˜ao). Qualquer conjunto n˜ao vazio de naturais tem m´ınimo.

Demonstra¸cão. Seja S um qualquer conjunto não vazio de naturais e considere a proposi¸cão

P(n) =“Se S contém um natural k ≤ n, então S tem m´ınimo”. Observe que o teorema a demonstrar é equivalente à afirma¸cão (porquê?)

“_{P(n) ´e verdadeira para qualquer natural n”.} Podemos pois utilizar o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao:

(i) P(1) é verdadeira, porque, se S contém um natural k ≤ 1, então de acordo com a Proposi¸cão (2.2.9) temos k = 1, e 1 é obviamente o m´ınimo de S, porque é o m´ınimo de N.

(ii) Suponha-se que _{P(n) é verdadeira para o natural n, e suponha-se} que S contém um natural k _{≤ n + 1. Temos de provar que S tem} m´ınimo. Se S contém algum natural k ≤ n, segue-se de P(n) que S tem m´ınimo. Caso contrário, S contém um natural no intervalo [1, n + 1], mas nenhum natural no intervalo [1, n]. Como sabemos que o intervalo ]n, n + 1[ é vazio, conclu´ımos que n + 1 é o m´ınimo de S.

Quando S ´e um conjunto de inteiros, temos

Teorema 2.3.4. Qualquer conjunto n˜ao-vazio de inteiros tem m´ınimo (respectivamente, m´aximo) desde que seja minorado (respectivamente, majorado).

2.3. Princ´ıpio de Indu¸c˜ao 73

Deixamos a demonstra¸cão deste teorema como exerc´ıcio, mas provamos o resultado seguinte, que pode ser utilizado para fazer demonstra¸cões por indu¸cão que “come¸cam” num qualquer inteiro k_{6= 1. Note-se, do argumento} seguinte, que os Teoremas 2.3.3 e 2.3.4 são ocasionalmente de utiliza¸cão mais prática do que o princ´ıpio de indu¸cão finita, e podem substitu´ı-lo.

Proposi¸cão 2.3.5. Se a afirma¸cão P(n) é verdadeira para n = k e se P(n) ⇒ P(n+1) para qualquer n ≥ k, então P(n) é verdadeira para qualquer inteiro n_{≥ k.}

Demonstra¸c˜ao. Seja

S =_{{n ∈ Z : n ≥ k e P(n) ´e falsa}.}

Pretendemos provar que S é vazio, i.e., que_{P(n) é verdadeira para qualquer} n≥ k. Note-se que S é por defini¸cão minorado por k. Portanto, de acordo com o Teorema 2.3.4, se S é não-vazio tem necessariamente um elemento m´ınimo m. Além disso, como m_{∈ S, segue-se que m ≥ k.}

Por hipótese _{P(k) é verdadeira, e portanto k 6∈ S, donde m > k.} Considere-se agora o inteiro m_{− 1. Como m > k, temos m − 1 ≥ k. Como} m−1 é menor que o m´ınimo de S, m−1 6∈ S, ou seja, P(m−1) é verdadeira. Mas também por hipótese_{P(n) ⇒ P(n + 1) para qualquer n ≥ k e portanto} P(m) é verdadeira. Esta conclusão é absurda, porque m é elemento de S. Ou seja, S não pode ter m´ınimo, e por isso é necessariamente vazio.

Em certas circunstâncias é mais conveniente utilizar ainda uma outra forma do princ´ıpio de indu¸cão. A t´ıtulo de exemplo, considere-se a sucessão andos números de Fibonacci, constitu´ıda pelos naturais

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

Esta sucess˜ao costuma ser introduzida como a sucess˜ao an que satisfaz6_: (2.3.1) a0= a1 = 1, e an+1 = an+ an−1 para n≥ 1.

E poss´ıvel determinar uma expressão expl´ıcita para a sucessão de Fibonacci. Não nos detemos para examinar o processo do seu cálculo, mas a expressão é a seguinte: (2.3.2) an= 5 + √ 5 10 1 +√5 2 !n +5− √ 5 10 1−√5 2 !n .

6_{Fibonacci, tamb´em conhecido por Leonardo de Pisa (1180-1250), chegou a esta su-}

cess˜ao, considerando o seguinte problema: Quantos casais de lebres existem ao fim de um ano se cada casal origina um novo casal ao fim de um mˆes que, por sua vez, passa a reproduzir-se ao fim de 2 meses.

Parece óbvio que a sucessão an acima definida deve ser a única que satisfaz (2.3.1). No entanto, a demonstra¸cão desta última afirma¸cão não é tão simples como à primeira vista pode parecer. Convém antes do mais formalizar a no¸cão de sucessão num qualquer conjunto X.

Defini¸cão 2.3.6. Uma sucessão de elementos do conjunto X é uma fun¸cão f : N→ X.

Quando discutimos sucessões, é tradicional escrever fn em vez de f (n), e falar da “sucessão_{f1, f2, . . .}”, “{fn}”, ou mesmo “fn”, em vez de mencionar “a sucessão f ”. Cometeremos frequentemente o mesmo abuso de linguagem (porque é que este hábito é um abuso de linguagem?).

Note-se também que, se k é um inteiro, então à fun¸cão g : [k,_{∞[∩Z → X} corresponde a sucessão f : N→ X dada por f(n) = g(n + k − 1). Por este motivo, dizemos que g é uma sucessão definida em [k,_{∞[. A “sucessão de} Fibonacci” mencionada acima é portanto uma sucessão definida em [0,_∞[.

O resultado que pretendemos demonstrar ´e o seguinte:

Proposi¸cão 2.3.7. Se f é uma sucessão de naturais definida em N0, tal que f0 = f1 = 1 e fn+1 = fn+ fn−1 para n ≥ 1, então f(n) = a(n), onde a(n) = an é a sucessão definida por (2.3.2).

Sendo _{P(n) a afirma¸cão “f(n) = a(n)”, temos de provar P(n) para} qualquer inteiro n ≥ 0. A dificuldade em empregar o habitual método de indu¸cão está em que, por razões evidentes, não conseguimos demonstrar que P(n) ⇒ P(n+1), mas apenas que (P(n) e P(n−1)) ⇒ P(n+1). Para tornar mais fácil a resolu¸cão deste problema e doutros semelhantes, introduzimos a seguinte forma do princ´ıpio de indu¸cão:

Teorema 2.3.8. Seja S um conjunto de inteiros tal que (i) k_{∈ S, e}

(ii) para qualquer n_{≥ k, [k, n] ⊂ S ⇒ [k, n + 1] ⊂ S.} Ent˜ao [k, +∞[⊂ S.

Em termos da proposi¸cão _{P(n) =“n ∈ S”, o resultado anterior diz que,} se_{P(k) é verdadeira e se P(n) é verdadeira sempre que P(m) é verdadeira} para ( qualquer) m, k≤ m < n, (e não apenas para m = n − 1), então P(n) é verdadeira para qualquer n _{≥ k. A demonstra¸cão desta afirma¸cão faz-se} sem dificuldades de maior, a partir do princ´ıpio de boa ordena¸cão, de forma semelhante à demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.3.5.

Demonstra¸cão do Teorema 2.3.8. Seja F = _{{n ≥ k : n 6∈ S}. Pretende-} mos provar que F é vazio. Se F _{6= ∅, como F é por defini¸cão minorado,} conclu´ımos que F tem m´ınimo m≥ k.

2.3. Princ´ıpio de Indu¸c˜ao 75

Como k _{∈ S, é claro que m > k. Portanto m − 1 > k, e o intervalo} [k, m_{−1] não contém nenhum elemento de F , porque todos os seus elementos} são menores do que o m´ınimo de F . Por outras palavras, [k, m_{− 1] ⊂ S.} Segue-se da hipótese (ii) que [k, m]⊂ S, e portanto m ∈ S, i.e., m 6∈ F , o que é absurdo.

Conclu´ımos que F n˜ao pode ter m´ınimo, donde F ´e vazio, ou seja, [k, +∞[⊂ S.

O teorema anterior permite uma demonstra¸c˜ao imediata da Proposi¸c˜ao 2.3.7 que deixamos como exerc´ıcio.

Este resultado, no entanto, não elimina totalmente as dificuldades lógicas com defini¸cões como (2.3.1). Esta é, na realidade, um exemplo duma defini¸cão recursiva, ou seja, duma defini¸cão que refere o objecto a definir na descri¸cão que dá desse mesmo objecto. Como sabemos pelo menos desde que Epiménides de Creta se tornou famoso pela sua frase “Todos os homens de Creta são mentirosos”, é poss´ıvel criar paradoxos lógicos, ou afirma¸cões cujo valor lógico não pode ser decidido, utilizando proposi¸cões que de algum modo se referem a elas próprias. Um exemplo já clássico é o paradoxo de Bertrand Russell7_{, sugerido pela tentativa de definir o “conjunto de todos} os conjuntos”.

Observe-se que a defini¸cão “U é o conjunto de todos os conjuntos” é recursiva, porque U , sendo um conjunto, é um dos elementos que entram na sua própria composi¸cão, ou seja, U tem a estranha propriedade de ser elemento dele próprio, o que não é usual nos conjuntos que conhecemos! Se nos desagrada esta propriedade de U , podemos considerar em seu lugar o conjunto N dos conjuntos “normais”, i.e., dos que não são elementos deles próprios. Em s´ımbolos,

N =_{{C ∈ U : C 6∈ C}.}

A pergunta a pôr agora é simples: N é ou não um conjunto “normal“? Infe- lizmente, se supusermos que N é “normal” (i.e., N _{6∈ N) então N pertence} ao conjunto dos conjuntos normais (i.e., N _{∈ N!). Se supusermos que N} não é “normal”, temos N ∈ N. Mas então N é um elemento do conjunto dos conjuntos normais, e portanto N é ele próprio normal (N _{6∈ N!). Por outras} palavras, não conseguimos atribuir um valor lógico à afirma¸cão “N _{∈ N”.}

A um n´ıvel superficial, a li¸cão a tirar deste exemplo é simplesmente que é necessário algum cuidado com defini¸cões recursivas, afirma¸cão que,

7_{Bertrand Russell (1872-1970) foi juntamente com Alfred N. Whitehead (1861-1947)}

autor do famoso tratado Principia Mathematica (3 vols., 1910-13), onde se tentavam formalizar de forma axiomática as no¸cões fundamentais da aritmética. Este trabalho monumental foi sem dúvida o auge de um programa de formalizar a Matemática, a que se poderá chamar “log´ıstica”, e que consistia em construir toda a Matemática através da dedu¸cão lógica a partir de um pequeno número de conceitos e princ´ıpios. Embora essa abordagem tenha falhado, devido aos trabalhos posteriores de Gödel, ela deu uma contribui¸cão notável para a Lógica Matemática.

como dissemos acima, já era compreendida por alguns filósofos da Grécia Antiga. Mais prosaicamente, a mesma dificuldade surge quando se utilizam folhas de cálculo automático (spreadsheets), e se cria um circuito fechado de referências entre células da folha, ou quando se enuncia um “teorema” como o que se segue:

Teorema 2.3.9. Esta afirma¸c˜ao ´e falsa. . . ´

E intuitivamente claro que dificuldades deste tipo não podem surgir com defini¸cões semelhantes à utilizada para a sucessão de Fibonacci, e na realidade empregaremos frequentemente defini¸cões recursivas para introduzir no¸cões fundamentais. Discutiremos vários exemplos na seçcão seguinte, e esbo¸caremos o processo formal que as sustenta no Apêndice a este texto. A um n´ıvel mais profundo, no entanto, as dificuldades lógicas com defini¸cões recursivas, ou mais geralmente com proposi¸cões que se referem a elas próprias, parecem inevitáveis e estão relacionadas com alguns dos pro- blemas mais dif´ıceis contemplados por matemáticos e filósofos. É poss´ıvel dar uma defini¸cão (rigorosa!) de “defini¸cão rigorosa“? Podemos compreen- der o funcionamento da nossa própria inteligência? Como podemos conciliar o aspecto mecânico das dedu¸cões lógicas, espelhado no funcionamento dum programa de computador, com a infinita adaptabilidade que chamamos com- portamento “inteligente“? Afinal de contas, e regressando à vida “prática”, este é o problema central do desenvolvimento da Inteligência Artificial. Exerc´ıcios.

1. Determine todos os subconjuntos indutivos de Z. 2. Prove o Teorema 2.3.4.

3. Prove a Proposi¸c˜ao 2.3.7.

4. Considere-se a afirma¸cão (obviamente falsa!) “Todas as mulheres loiras têm olhos azuis”. Qual é o erro da seguinte “demonstra¸cão” por indu¸cão? Desi- gnamos por _{P(n) a afirma¸cão “Se num conjunto de n mulheres loiras existe} uma com olhos azuis, então todas têm olhos azuis”. Então:

(a) _{P(1) ´e evidentemente verdadeira.}

(b) Suponha-se queP(n) ´e verdadeira, e considere-se um conjunto com n + 1 mulheres loiras L ={M1, . . . , Mn+1}. Supomos que M1tem olhos azuis.

Definimos Ln+1={Mk : k6= n + 1}, e Ln ={Mk : k6= n}. Como P(n)

´e verdadeira, todas as mulheres em Ln e Ln+1 tˆem olhos azuis. Como

L = Ln∪ Ln+1, todas as mulheres em L tˆem olhos azuis.

5. Uma outra variante do problema das mulheres loiras de olhos azuis ´e a seguinte. Considere-se a afirma¸c˜ao (obviamente falsa!) “Todas os grupos finitos

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