Le « moving magnet actuator » (MMA)

Le MMA a été idéalement pensé pour remplir le cahier des charges avion [1] cité au premier paragraphe de ce chapitre. D’un commun accord et de manière à présenter le travail réalisé lors des neuf premiers mois du projet TEMOP, nous avons décidé d’adapter ces actionneurs au Cdc hélicoptère. Certaines incohérences pourront être relevées dans la lecture de ce manuscrit, plus particulièrement lors du choix de la disposition des actionneurs du duplex actif dans l’enveloppe donnée. En effet, nous verrons au chapitre II qu’il se peut que le MMA soit peu efficace, dans cette configuration d’agencement, pour le Cdc hélicoptère alors qu’il pourrait s’agir d’une solution pertinente pour le Cdc avion.

Nous nous intéressons tout d’abord à l’aspect général du duplex pourvu de deux MMA. La figure I.24 illustre les actionneurs linéaires montés en parallèle.

Figure I.24 – Design du MMA

Les différentes cotes du MMA, vues en coupe dans le plan (O, ex, ey) sont référencées sur les

figures I.25 et I.30.

De manière à satisfaire les différents aspects du Cdc nous allons traduire mathématiquement les différentes contraintes qu’elles soient ; géométriques, thermiques, magnétiques ou encore liées à la puissance disponible. Des coefficients de sûreté seront introduits et notés s.

I.4. LES DEUX TYPES DE STRUCTURES ACTIVES ENVISAGÉES

Figure I.25 – cotes du MMA vu en coupe

Encombrement

La profondeur disponible pour le duplex actif est notée Pd et a une valeur de 60 (mm). La

hauteur disponible du bas de l’enveloppe jusqu’à l’axe est notée Hd de 150 (mm). La largeur

disponible notée Ld est elle aussi de 150 (mm). Le volume disponible en dessous de l’axe est

donc égal à 150 × 150 × 60 (mm3_{). La distance de pivot l}

pivot(αd), variant de [−15 (°) ; +15 (°)]

dans [2], est variable et dépend de l’angle de débattement αd. Cette distance est illustrée par

la figure I.26. Nous introduisons aussi la paramètre α0 qui est un angle permettant de s’assurer

que la tige constituant le bras de levier variable lpivot(αd) ne cogne pas le stator du MMA. Cet

angle est aussi représenté figure I.29.

Figure I.26 – Pivot

CHAPITRE I. ETAT DE L’ART ET DESCRIPTION DU CAHIER DES CHARGES

Figure I.27 – MMAs disposés dans le plan (O, ey, ez)

La figure I.28 illustre les MMAs disposés dans le plan (O, ex, ey).

Figure I.28 – MMAs disposés dans le plan (O, ex, ey)

D’après cette figure, la longueur du stator est égale à Ls= Lr+ 2.Ldeb+ 2.sx et les contraintes

d’encombrement inhérentes à la géométrie sont alors les suivantes :

Ls+ 2.Ldeb+ 2.sx ≤ Ld (I.6)

La figure I.27, permet d’écrire la contrainte suivante :

4.(rf + sz) ≤ Pd (I.7)

Enfin, en faisant référence à la figure I.26, on peut écrire que :

lpivot(αd) ≤

Hd−(rf+ sy)

cos(α0+ αd) (I.8) Efforts

Le MMA se déplaçant linéairement, la distance de pivot doit être variable et l’effort délivré par le MMA pour générer l’effort pilote Fp désiré (à savoir 2 (daN) dans [2]) varie aussi par

I.4. LES DEUX TYPES DE STRUCTURES ACTIVES ENVISAGÉES rapport à l’angle de débattement suivant la loi illustrée par la figure I.29.

Figure I.29 – Effort linéaire du MMA en fonction de l’angle de débattement Ainsi, en notant Fa l’effort de l’actionneur MMA on a :

Fa= F_p0 cos(α0+ αd) = lpivot(αd).Fp dgmp.cos(α0+ αd) (I.9) Avec, ∀ αd∈ [−15 °, 15 °] :

max(Fp) ≥ 2 + 2. (daN) (I.10)

Où  est une nouvelle fois un coefficient de sécurité fixé ici à 3%.

Contraintes de saturation des matériaux ferromagnétiques

Comme on le sait, chaque matériau ferromagnétique possède sa propre courbe d’aimantation définissant son identité. Leur intérêt est de canaliser les lignes d’induction de manière à limiter les fuites. Mais, lorsque le matériau est confronté à une densité d’induction trop intense, il tend à saturer et la perméabilité relative µr(H) s’écroule. Ainsi, lorsqu’il est fortement saturé,

le matériau magnétique ne joue plus son rôle et, dans des cas extrêmes, µr tends vers 1. Ses

propriétés magnétiques sont alors similaires au vide.

Figure I.30 – Parcours des lignes d’inductance dans la structure MMA. Vue en coupe. Le parcours des lignes d’induction à vide est donné par la figure I.30. Habituellement, dans le cas des machines circulaires, on prend en compte le fait que les lignes de champ se divisent en deux, le flux engendré par un aimant étant absorbé par les deux aimants voisins. Ici, s’agissant

CHAPITRE I. ETAT DE L’ART ET DESCRIPTION DU CAHIER DES CHARGES

d’une machine linéaire et finie, qu’il existe une ou plusieurs paires de pôles, les aimants au niveau des extrémités ne possèdent qu’un unique aimant voisin absorbant l’intégralité du flux. On dimensionnera la structure en tenant compte de cet aspect.

Pour éviter la saturation, nous utiliserons des contraintes qui, implémentées dans un proces- sus d’optimisation, permettront de s’assurer de ne pas dépasser la valeur souhaitée. Comme nous ne connaissons pas encore exactement le type de matériau magnétique que nous utiliserons, nous poserons une variable Bsat correspondant au maximum d’induction que nous désirons atteindre

dans la culasse. Cette valeur est prise au niveau de la partie supérieure du coude de la courbe de première aimantation de chaque matériau.

Nous comparerons alors cette valeur à l’induction calculée au niveau des frontières des cu- lasses ferromagnétiques comme illustré en figure I.31.

Figure I.31 – Induction au niveau des frontières avec les culasses statoriques et rotoriques Plus exactement, nous comparerons le flux engendré par les aimants à vide dans la culasse au flux de l’induction dans le fer. Le flux généré par les aimants à vide dans la culasse du stator s’exprime comme suit :

Φs vide= 2π(rf− lf s) Z Lr 2p 0 B(x, y = rf− lf s)dx (I.11)

Où l’indice s permet d’identifier qu’il s’agit du flux calculé dans la culasse statorique. Il est possible de le remplacer par l’indice r quand il s’agit du flux calculé dans la culasse rotorique. Le flux de saturation dans le matériau magnétique s’exprime quant à lui comme suit :

Φsat= Bsat.Sf er (I.12)

Enfin, il est nécessaire de ne pas négliger l’influence de l’induction créée par le bobinage. N’ayant pas la possibilité d’appréhender ce paramètre analytiquement, nous capterons l’in- duction maximale Bcur dans le matériau magnétique et générée par le bobinage en l’absence

d’aimants permanents. Pour simplifier l’étude, nous prendrons en considération le flux Φcur qui

serait engendré par le bobinage dans les culasses si celles-ci possédaient l’induction Bcuren tout

point. Or cette induction est la valeur locale maximum atteinte dans les culasses. En ayant pris soin de vérifier que Bcurest petite devant l’induction de saturation (Bcur<< Bsat), on se permet

de surdimensionner légèrement le système en travaillant avec le flux suivant :

Φcur= Bcur.Sf er (I.13)

Il convient cependant de souligner une problématique que nous avons rencontrée. En effet, en se référent à la figure I.30, les lignes de champ dans le fer traversent deux surfaces distinctes qui varient en fonction des dimensions du prototype et du nombre de paires de pôles p de la machine. S’agissant de variables qui seront implémentées dans l’optimisation, nous n’avons aucune garantie que la surface 1 de la figure I.32 soit plus petite que la surface 2 et vice-versa. Pour pallier ce problème nous construisons la fonction δ(x) telle que :

I.4. LES DEUX TYPES DE STRUCTURES ACTIVES ENVISAGÉES

Figure I.32 – Surface traversée par le flux d’induction dans le fer

δ(x) =

(

1 si x < 0

0 si x ≥ 0 (I.14) De manière théorique, la contrainte de saturation s’écrit comme suit :

|Φs_vide|+ |Φcur| ≤ |Φsat| (I.15)

De manière pratique et en y intégrant la fonction δ, nous réécrivons la fonction comme suit dans le programme d’optimisation :

(|Φs

vide|+(|Bcur|−|Bsat|).Sf er1).δ(Sf er1−Sf er2)+(|Φsvide|+(|Bcur|−|Bsat|).Sf er2).δ(Sf er2−Sf er1) ≤ 0

(I.16) Les équations précédentes ont été traitées dans le cas du stator mais sont évidemment valables dans le cas du rotor. Il suffit pour cela d’adapter les équations (I.11), (I.15) et (I.16).