I.4 Les deux types de structures actives envisagées
I.4.2 La machine synchrone double entrefer à débattement limité
De manière à donner le choix au donneur d’ordre et, conscients des désavantages d’une structure linéaire (la longueur de pivot étant variable lpivot(αd) et pouvant générer des problé-
matiques de crantage), nous avons cherché une structure rotative qui pourrait convenir au Cdc. Cette machine est aussi assimilable à une machine synchrone à aimants permanents rotative. Le débattement de l’actionneur est limité à l’angle de déplacement fourni par les courbes I.4, c’est à dire [−15 °, 15 °]. Le stator est en forme de portion d’anneau à section rectangulaire dont l’angle d’ouverture correspond à l’angle des rotors ajouté à la longueur de débattement prévue. Il est normalement plus grand que la somme de l’angle rotor αr et des angles de déplacements 2.αd
(comme stipulé figure I.33) pour permettre de réaliser les fixations du stator sur les bords de l’enveloppe I.2. L’angle d’ouverture des tôles du stator de la figure I.33 n’est pas représentative de la réalité. Les bobinages sont enroulés autour des tôles du stator.
CHAPITRE I. ETAT DE L’ART ET DESCRIPTION DU CAHIER DES CHARGES
Figure I.33 – cotes de la DARM
La structure est une machine synchrone rotative double entrefers à aimants permanents que l’on nomme DARM pour « Double Airgap Rotative Machine » en Anglais. La DARM représentée ici possède un réseau de Halbach. Nous verrons qu’il s’agira d’une solution envisagée dans le chapitre II.
Considérons une spire disposée autour du stator dans laquelle circule un courant I quelconque comme illustré figure I.34. Alors que la partie supérieure est le siège de courants portés par ez,
qui auront pour effet de créer un couple lui aussi porté par ce même vecteur unitaire, les courants de la partie inférieure de la bobine sont portés par −ez. L’idée est alors de ne pas « perdre »
cette partie de cuivre, qui, si elle n’est pas en vis-à-vis de parties actives (les aimants permanents dans notre cas) ne génèrera pas de couple.
Figure I.34 – Spire de la DARM
Le rotor intérieur possède une épaisseur de matériau amagnétique (paramétrée par la variable
R0 de la figure I.33), une culasse ferromagnétique (lf ri) et des aimants (lai). Le rotor extérieur
I.4. LES DEUX TYPES DE STRUCTURES ACTIVES ENVISAGÉES ferromagnétique (lf re).
Remarque : tout au long du manuscrit nous utiliserons les indices i et e qui signifient « in- térieur » et « extérieur ». En effet, l’arc en pointillés noirs présent sur la figure I.33 traversant le stator, permet de scinder la DARM en deux machines distinctes. Par exemple, la DARM produira un couple moteur Cmot qui résulte de la contribution d’un couple intérieur Ci généré
par les aimants et les conducteurs constituant le bobinage intérieur, et d’un couple extérieur Ce
généré par les aimants et les conducteurs contribuants au bobinage extérieur.
La problématique à laquelle nous nous sommes confrontés est la suivante. La largeur dispo- nible de l’enveloppe, notée Ld, vaut 150 (mm). La hauteur disponible, notée Hd, vaut 150 (mm).
Si le rayon externe de l’actionneur noté rf est supérieur à L2d, l’actionneur est plutot positionné
dans le bas de l’enveloppe, la longueur de pivot est grande, ce qui permettrait de générer un couple élevé. Cependant, la largeur angulaire est limitée, si bien que la longueur des parties actives est réduite. L’effort généré est alors moindre que dans le cas où rf est inférieur à L2d.
Lorsque rf ≤ L2d l’actionneur est plutôt regroupé vers le haut de l’enveloppe. Le bras de levier
est limité mais la longueur des parties actives est plus importante, ce qui permettrait de générer un effort plus important.
Figure I.35 – Configurations envisagées en fonction du rayon externe de la DARM
Encombrement
De manière à ne pas omettre de solution, nous prendrons en compte dans le dimensionnement, les cas où :
— R25≤ rf ≤ L2d
— Ld
2 < rf ≤ Hd
Le cas rf ≤ R25 paraissant trop restrictif, nous n’en tiendrons pas compte. a) Premier cas : R25≤ rf ≤ Ld
2
Dans le premier cas, il convient de trouver une expression analytique de l’ouverture angulaire admissible du stator. Par exemple dans le cas ou rf = L2d, alors l’ouverture angulaire maximum
du stator est 2.αs avec αs = π2. Par contre, dans le cas où rf < L2d, l’ouverture angulaire vaut
CHAPITRE I. ETAT DE L’ART ET DESCRIPTION DU CAHIER DES CHARGES
Figure I.36 – Illustration de l’angle δspour la mise en équation de la contrainte d’encombrement
Pour trouver une expression de δs, nous avons travaillé sur le triangle vert de la figure I.36,
et nous avons exprimé la formule d’Alkashi. Nous avons aussi trouvé une loi reliant Ld et R25à
α. Ces expressions sont données ci-dessous :
x2 = (Ld 2 )2+ r2f − Ld.rf.cos(δs) rf2 = (Ld 2 ) 2+ x2− L d.x.cos(α) α= arcsin(2.R25 Ld ) (I.17) Finalement, l’expression de δs est la suivante :
δs = arccos( 1 Ld.rf .(2.R225+q(rf2− R2 25)(L2d−4.R225)) (I.18) b) Deuxième cas : rf ≥ Ld 2
De la même manière que pour le cas précédent, il convient de calculer l’ouverture angulaire statorique correspondante au cas où rf ≥ L2d. Nous nous réfèrerons à la figure I.37 pour calculer
αs.
Figure I.37 – Illustration de l’encombrement disponible lorsque rf ≥ L2d
I.4. LES DEUX TYPES DE STRUCTURES ACTIVES ENVISAGÉES
αs= arcsin(
Ld
2.rf) (I.19)
Nous réaliserons ainsi, au chapitre II, deux optimisations indépendantes et comparerons les meilleurs minimums locaux obtenus pour chaque configuration. Nous choisirons alors la solution la plus probante.
Couple résistant
a) Couple résistant généré par les machines actives
Généralement, la notion de couple résistant dans une machine électrique est liée à des notions de mécanique (frottements de l’arbre sur le moyeu) ou de frottements visqueux, qui, à très haute vitesse, peuvent ne pas être négligeables. La machine synchrone à débattement limitée n’est pas totalement circulaire et, lorsqu’elle se déplace d’un certain angle αd, le poids de la structure
génère un couple résistant proportionnel à l’angle de débattement et à la masse embarquée. Pour apprécier ce couple résistant, nous estimerons le centre de gravité de la structure, puis nous utiliserons le fait que le couple résistant dû au poids s’écrit de la manière suivante :
Cres= OG × P (I.20)
Le centre de gravité est repéré sur la figure I.38 par le point G.
Figure I.38 – Centre de gravité G de la structure double entrefer Afin de calculer les coordonnées de G, nous utiliserons les deux formules suivantes :
Z Z Z
C
GiM × ρi(M)gdV = 0 (I.21)
Où C désigne le volume du solide en mouvement étudié.
OG= 1 p n X 1 piOGi (I.22)
Où pi sont les poids respectifs de chaque couche et p =Pipi
L’équation (I.21) permet de calculer le centre de gravité d’une structure simple comprenant un unique matériau i de masse volumique ρi. La deuxième équation (I.22) permet, connaissant
le centre de gravité de la structure inhérent à chaque couche de matériau, de connaître le centre de gravité de la structure complète.
CHAPITRE I. ETAT DE L’ART ET DESCRIPTION DU CAHIER DES CHARGES Finalement l’expression du couple résistant obtenu est le suivant :
Cres= Rg(αr).M.g. sin(αd) (I.23)
et Rg(αr) = 3P2 iρi .sin(αr) αr .X i ρi. r3 i+1− ri3 r2i+1− r2 i (I.24) Avec, ρi la masse volumique de la couche i, ri+1− ri l’épaisseur de la couche i, M la masse
totale des parties mobiles, αr l’ouverture angulaire du rotor et αd l’angle de déplacement. b) Couple résistant dû à la poignée
De la même manière que pour les parties actives situées en dessous de l’axe, la poignée, située au dessus, génère un couple résistant lié à sa masse qui tend à contrebalancer le couple résistant des machines actives. Connaissant le centre de gravité de la poignée situé à la distance
dgmp de l’axe, nous utiliserons la formule (I.24) pour calculer l’influence de la poignée.
Figure I.39 – Couple résistant influencé par la poignée
La poignée possède une masse d’environ 800 (g) et permet d’actionner 4 machines actives (2 pour l’axe de tangage et 2 pour l’axe de roulis). En notant Ca
res (respectivement Cresp ) le
couple résistant dû à une machine active (respectivement à la poignée), le couple résistant total s’appliquant sur une machine active s’écrit alors :
Cres= Cares−
1
4Cpres (I.25)
Ainsi, le couple utile Cu développé par la machine est le suivant : Cu = Cmot− Cres= Cmot+1
4Cpres− Cares (I.26)
L’influence de la poignée joue alors un rôle non négligeable dans la prise en compte du couple résistant et, ne pouvant pas estimer à l’avance si Ca
res est prépondérant devant 14Cresp ou vice-
versa, il est difficile de savoir si Cu> Cmot ou si Cu < Cmot. Nous poserons donc en contrainte