Le mouvement sur la trajectoire

tendreGoupvers zéro tout en maintenanthfixé : D’après(3.15), quel que soit le signe de h, l’excentricité tend alors vers 1 : si h < 0, l’ellipse dégénère en un segment de droite de lon-gueur2a=−µ/h, dont les extrémités sont les deux foyers de l’ellipse-limite infiniment aplatie et réduite à son grand axe ; sih ≥0, l’hyperbole ou la parabole dégénèrent en une demi-droite issue du foyerO; dans tous les cas, le segment ou la demi-droite support du mouvement a pour vecteur unitaireu₀ =−u, et l’anomalie vraiewpeut être considérée comme constante, égale à π.

2. pourh= 0:r = µ

2τ²+α τ +β 3. pourh >0:r =− µ

2h +α sinh√

2h τ +β cosh√ 2h τ

En supposantτ = 0à l’instantt_pdu passage au péricentre, on pourra ensuite intégrer(3.19) en :

t−t_p =

Z τ 0

r dτ

et calculerαetβen tenant compte de la valeur deret der⁰ à l’instantt_p : r(t_p) =q = p

1 +e et r⁰(t_p) =rr(t˙ _p) = 0 (3.23) On obtient :α= 0etβ =qsih = 0, sinon :α = 0etβ =q+ µ

2h. Selon la nature de l’orbite, on obtient alors les résultats suivants :

1. Pourh < 0, d’après (3.17), l’orbite est elliptique et l’on a :− µ

2h =ademi-grand axe de l’ellipse etq=a(1−e); en posantE =√

−2h τ,n=

√−2h

a =^qµ/a³etM =n(t−t_p), on obtient :

r =a(1−e cosE) = dt

dτ =adM dE

M =E −e sinE (équation de Kepler) E˙ = na

r et M˙ =n

(3.24)

L’angleE est appeléanomalie excentrique, etM anomalie moyenne; la vitesse angulaire nest appeléemoyen mouvement;netasont reliés par la3^iemeloi de Kepler:

n²a³ =µ (3.25)

L’expression générale derdonnée en(3.11)en fonction de l’anomalie vraiewdevient ici : r= a(1−e²)

1 +ecosw (3.26)

Ainsi,rest une fonction périodique dew, deE ou deM, de période2π. Les trois anoma-lies w,E etM s’annullent en même temps, à l’instantt_p du passage au péricentre ; elles augmentent toutes trois de 2π dans le temps T = 2π

n qui est lapériode du mouvement elliptique. La3^ieme loi de Keplers’exprime alors aussi :

a³ T² = µ

4π² (3.27)

V_retV⊥désignant les vitesses radiales et orthoradiales, on a ensuite : G=rV⊥=r²dw

dt =√

µp=na²√

1−e² (3.28)

˙

r =V_r = nae

√1−e² sinw= na²e

r sinE (3.29)

X =r cosw=a(cosE−e) Y =r sinw=a√

1−e²sinE rX˙ =−na² sinE

rY˙ =na²√

1−e² cosE tan² w

2 = 1 +e

1−e tan² E 2

(3.30)

X,Y etZ = 0sont les coordonnées cartésiennes du pointP dans lerepère propreOu₀v₀k du mouvement képlérien. Si le mouvement est rectiligne, seulu₀ = −u est défini et l’on peut prendrev₀ etk quelconques orthogonaux àu₀; avece= 1etw=π, on a alors aussi Y = ˙Y = 0. Ces équations sont donc valables dans tous les cas, que le mouvement el-liptique soit plan ou rectiligne. On peut considérer qu’une ellipse peut être déduite de son son cercle principal (de centreCet de rayona) par une affinité de rapportb/a =√

1−e² appliquée perpendiculairement au grand axe. Ainsi, le pointP est le transformé d’un point P⁰ de ce cercle par cette affinité (cf. figure 1). L’anomalie excentrique s’interprète alors comme étant l’angle polaireE = (CO, CP⁰)de ce pointP⁰vu du centre du cercle princi-pal.E est ainsi une variable angulaire permettant toujours de situerP sur l’ellipse, quelle soit plane ou rectiligne. Enfin, w, E et M se confondent lorsque l’ellipse est un cercle.

On pourra aussi voir avec l’applet Java contenue dans les fichiersMouvElliptKepler.html ou mieuxMouvKeplEllipt.htmlcomment le mouvement képlérien elliptique dépend d’une façon générale de ces 3 anomalies.

2. Pour h > 0, l’orbite est hyperbolique et l’on a : µ

2h = a etq = a(e−1); en posant, de façon analogue au cas elliptique,E = √

2h τ,n =

√

a2h =^qµ/a³ etM =n(t−t_p), on obtient :

r=a(e coshE−1) = dt

dτ =adM dE

M =e sinhE−E (équation de Kepler) E˙ = na

r et M˙ =n

(3.31)

On a de nouveau la troisième loi de Kepler :n²a³ =µ, puis : r= a(e²−1)

1 +ecosw (3.32)

w, E et M s’annullent en même temps, à l’instant t_p du passage au péricentre, mais le mouvement n’est pas périodique.V_retV⊥désignant toujours les vitesses radiales et ortho-radiales, on a ensuite :

G=rV⊥=r²dw dt =√

µp=na²√

e² −1 (3.33)

˙

r =V_r= nae

√

e²−1 sinw= na²e

r sinhE (3.34)

X =r cosw=a(e−coshE) Y =r sinw=a√

e²−1 sinhE rX˙ =−na² sinhE

rY˙ =na²√

e²−1 coshE tan² w

2 = e+ 1

e−1 tanh² E 2

(3.35)

Comme dans le cas elliptique,X,Y etZ = 0sont les coordonnées cartésiennes du pointP dans lerepère propreOu₀v₀k du mouvement képlérien, et ces équations sont aussi valables dans tous les cas, que le mouvement hyperbolique soit plan ou rectiligne. On voit que l’or-bite hyperbolique est ici la transformée par affinité orthogonale de rapportb/a=√

e²−1, de l’hyperbole équilatère d’équation paramétrique :x =±acoshE ety =asinhEdans le repère décentréCu₀v₀k. (cf.figure 3) Voir aussi l’animationMouvKeplHyp.html 3. Pourh= 0, l’orbite est parabolique et l’on a directement :

r=q+µ

2 τ² = dt dτ t−t_p =q τ +µ

6τ³

(3.36)

puis :

G=rV⊥=√

µp (3.37)

rr˙=r V_r=µ τ (3.38)

X =r cosw= 1

2(p−µ τ²) Y =r sinw =√

µp τ rX˙ =−µ τ

rY˙ =√ µp

(3.39)

Si le mouvement est plan (p etq non nuls), en définissant de nouveau :M = n(t−t_p) mais avecn =^rµ

p³, on peut encore écrire : r = p

1 + cosw = 1

2(p+µ τ²) =⇒

sµ

p τ = tanw 2 M = 1

2tanw 2 +1

6tan³ w

2 (équation de Barker)

(3.40)

puis :

X =r cosw=q(1−tan² w 2) Y =r sinw=p tanw

2 rX˙ =−√

µp tanw 2 rY˙ =√

µp

(3.41)

Voir aussi l’animationMouvKeplPar.html

Remarque 1. Les formules donnant les coordonnées X et Y de P dans le repère propre du mouvement képlérien auraient pu aussi être obtenues de façon purement vectorielle en appli-quant les opérateurs de dérivation(3.20)au vecteurr. En effet, on trouve alors :

r⁰⁰=r²r¨+rr˙r˙ =−µu+rr˙r˙

Or, en développant µe = ˙r ∧(r ∧r˙)−µu et en tenant compte de l’intégrale de l’énergie, on obtientµe = 2hr +µu −rr˙r˙, de sorte quer satisfait finalement à l’équation vectorielle suivante, linéaire et à coefficients constants :

r⁰⁰−2hr =−µe (3.42)

Les composantes X et Y der s’en déduisent aisément en fonction de τ ou deE (suivant le signe deh), en utilisant les conditions initiales :

r(t_p) =qu₀ et r⁰(t_p) =rr˙(t_p) =G ∧u₀

Remarque 2. La régularisation de l’équation(3.18) enr = 0 était nécessaire surtout pour le cas oùrpeut devenir nul, c’est-à-dire pour le mouvement képlérien rectiligne lorsque le point

P “tombe” sur le foyerO. Son intérêt est particulièrement évident quand, en plus, h est nul, puisque la solution régularisée, polynomiale enτ :r(τ) = ¹₂µτ² et t−t_p = ¹₆µτ³, équivaut à la fonction r(t) = [(9µ/2)(t−t_p)²]^1/3 dont le graphe présente un point de rebroussement en t=t_p.

0

τ t_p

t r(t)

r(τ)

(t−t_p)(τ)

Cependant, la régularisation n’est pas seulement une méthode intéressante pour l’intégra-tion analytique d’équal’intégra-tions sujettes à des singularités ; c’est aussi une technique très efficace pour intégrer numériquement de telles équations. Par exemple, pour intégrer numériquement en fonction de t les équations du mouvement képlérien dont l’une, de la forme r˙ = f(r, w), est singulière enr= 0, on calcule en principer(t+h)connaissant au moinsr(t)[hest ici le “pas d’intégration”]. La méthode élémentaire fondée sur le développement de Taylor der(t)consiste à écrire par exemple :

r(t+h) = r(t) +h f(r(t), w(t))

D’autres formules plus précises existent ; on pourra voir par exemple l’applet IntegrationNume-rique.htmlillustrant la méthode de Runge Kutta d’ordre 4 appliquée au mouvement képlérien.

Cependant, si les conditions initiales conduisent à un mouvement très excentrique, tel que r devient très petit, il faut compenser les fortes variations de f(r, w) au voisinage der = 0par des variations correspondantes du pash, de façon à ce que h f(r, w)reste toujours “assez pe-tit”. L’utilisation d’une méthode d’intégration numérique “à pas constant” (telles les méthodes d’Adams) ne peut alors convenir. Au contraire, si après avoir changé de variable indépendante, on cherche à intégrer numériquement les équations régularisées : dr

dτ =r f(r, w)et dt

dτ =r, on peut utiliser une méthode à pas constant pour la variableτ carr f(r, w) reste maintenant fini en r = 0. A un ∆τ constant correspond un ∆t = r∆τ variable avec r. Une méthode à pas constant appliquée aux équations enτ est ainsi équivalente à une méthode à pas variable qu’on appliquerait aux équations ent; la régularisation revient donc à faire une variation automatique du pas en t. Cette façon de régulariser les équations est généralement encore applicable aux mouvements képlériens perturbés.

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