12 Eléments d’orbite
12.1 Définitions des éléments d’une orbite képlérienne
képlérien particulier peuvent servir à définir un système d’unités commodes pour les besoins de l’Astronomie.
Les trois autres éléments d’orbite contenus dans la définition des vecteurs unitaires et or-thogonauxk etu0dépendent, comme ces vecteurs, du repère de référence galiléen dans lequel sont exprimés les vecteurs position et vitesse du pointP. SoitR0 =Oi0j0k0 ce repère de réfé-rence, utilisé avec des coordonnées sphériquesλetφ appelées de manière génériquelongitude etlatitude. Il reste à représenter RdansR0. On utilise pour cela trois angles d’EulerΩ, ietω ainsi définis : Le sens de k étant implicitement défini par le sens du vecteurr ∧r˙, le produit vectoriel k0 ∧k définit un vecteur dirigé vers lenœud ascendant de l’orbite sur le planOi0j0, c’est-à-dire vers le point oùP, en mouvement sur son orbite, traverse ce plan en passant d’une latitude négative à une latitude positive. Ainsi, soitn le vecteur unitaire de la directionk0 ∧k du nœud ascendant.
– Ω est l’angle de rotation mesuré autour de k0 entre i0 et n – i est l’angle de rotation mesuré autour de n entre k0 et k – ω est l’angle de rotation mesuré autour de k entre n et u0
Ω est la longitude du nœud ascendant, i l’inclinaison de l’orbite sur le plan Oi0j0 et ω l’argument du péricentre. La latitudeφ0 et la longitudeλ0de la direction du péricentre peuvent s’en déduire par latrigonométrie sphérique:
sinφ0 = sini sinω et tan(λ0−Ω) = cosi tanω (3.43) Le pointP étant repéré dans le planOu0v0par l’anomalie vraiew, ses coordonnéesφetλdans R0 s’en déduisent immédiatement :
sinφ = sini sin(ω+w) et tan(λ−Ω) = cosi tan(ω+w) (3.44) Dans le cas d’un mouvement rectiligne, celui-ci est porté par la demi-droite issue de O de vecteur unitaireu =−u0, repérable dansR0 par les coordonnées sphériques constantesλetφ du pointP. SiOu0n’est pas colinéaire àOk0, définissonsk comme vecteur unitaire dek0∧u0; le vecteurn =k0∧k est alors suivant le nœud du demi-plan “vertical” normal àk et contenant Ok0 et la demi-droite Ou support du mouvement ; les angles d’EulerΩ, ietω définis comme précédemment à partir dek et den, vérifient :Ω =λ,i =π/2etω =φ+π. Avecw =π, les formules(3.44)sont encore vraies. SiOu0etOk0 sont colinéaires, tout plan vertical contient la droite support du mouvement ; on peut prendre Ω = λquelconque et, comme précédemment,
i=π/2etω=φ+π.
O
P i
Ω
ω i
i0 n
j0 k0
k
u0 u
λ0 φ0
w
Remarque 1. Comme tous les repères utilisés sont directs, le choix du nœud ascendant comme origine des angles dans le plan orbital entraîne que l’inclinaisoniest un angleinférieur à90◦si le mouvement deP estdirect(longitude croissante), etsupérieur à90◦s’il estrétrograde.
Remarque 2. Les éléments Ω, i et ω dépendent du choix de R0 : leur existence n’est pas toujours assurée, car lorsqueivaut 0 ouπ, le nœud n’est plus défini et doncΩetωsont indéter-minés. De même, lorsque l’inclinaison est très petite,Ωet ω sont mal déterminés. Pour éviter ce problème, on utilise souvent l’angle$toujours bien défini :
$= Ω +ω longitude du péricentre dans l’orbite
De même sieest presque nul,u0est mal défini, et donc les anglesω,$, ainsi que les anomalies w,E etM sont mal déterminés ; pour éviter cela, on utilise les angles toujours bien définis :
` =$+w longitude vraie deP dans l’orbite E =$+E longitude excentrique deP L=$+M longitude moyenne deP
(attention : les quantités $,`,E etLsont improprement dénommées “longitudes” car ce sont des sommes d’angles non coplanaires).
A la place de tp, instant de passage au péricentre lui aussi mal déterminé quande est petit, on peut utiliser comme élément d’orbite la quantitéL0, valeur de la longitude moyenne à un instant donnét0. On en déduitLà tout instant :L=L0+n(t−t0)
Ainsi, si le mouvement est elliptique, on prend souvent les éléments d’orbite parmi les en-sembles suivants :
(a, e, i, Ω, ω, tp) (3.45)
(a, e, i, Ω, $, L0àt=t0) (3.46) Si e et i sont tous deux très petits, Ω, ω et $ sont mal déterminés. En fait, cette mauvaise détermination est de la même nature que celle rencontrée dans des coordonnées polaires planes (r, θ) où, lorsquer s’annule,θ est indéterminé, tandis que les coordonnées cartésiennes (x,y) sont toujours bien définies, même en (0, 0). Pour lever les indéterminations dues à la nullité éventuelle deiet dee, on utilise donc habituellement les coordonnées cartésiennes suivantes :
k =e cos$ h =e sin$
q = sini/2 cos Ω p = sini/2 sin Ω (3.47) Les éléments d’orbite adaptés aux faibles excentricités et inclinaisons sont ainsi :
(a, k, h, q, p, L0 àt=t0) (3.48) Parfois k, h, q et p sont remplacés par les variables complexeszetζ:
z = k +√
−1 h =e exp√
−1$ ζ = q +√
−1 p = sin i
2 exp√
−1 Ω (3.49)
Remarque 3. En Astronomie, on trouve divers qualificatifs pour préciser le repère dans lequel sont définis des éléments d’orbite. Ainsi, on parle d’éléments héliocentriques si l’origine de R0 est le centre du Soleil, d’éléments géocentriquesou d’éléments planétocentriquessi c’est le centre de la Terre ou d’une planète, d’éléments barycentriquessi c’est le centre de masses d’un ensemble de corps désignés.
Le choix de la base de R0 est aussi fonction des conditions d’observation des mouvements que l’on désire représenter. Dans le cas de mouvements dans le système solaire, on choisit souvent la base descoordonnées écliptiques, et pour des mouvements de satellite, la base des coordonnées équatoriales.R0 pourra ainsi être par exemple un repère écliptique héliocentrique ou bien écliptique barycentrique (origine au centre de masses du système solaire), ou un repère équatorial géocentrique ou encore équatorial jovicentrique si l’origine est au centre de Jupiter, etc· · ·En fait, comme les plans de l’écliptique ou de l’équateur terrestre ne sont pas absolument fixes (leur intersection, le pointγ, participe notamment à la “précession des équinoxes”), la base écliptique ou équatoriale choisie est rendue fixe en prenant celle correspondant à une date fixée (par exemple :repère géocentrique rapporté à l’écliptique et à l’équinoxe moyens pour J20002) 12.2 Eléments d’orbite canoniques du mouvement képlérien
Nous recherchons ici des jeux de variables canoniquement conjuguées qui soient des constantes dans le mouvement képlérien. Partant de variables canoniques associées à un certain paramé-trage du pointP, nous allons appliquer la méthode d’Hamilton-Jacobi pour passer de ces va-riables à de nouvelles vava-riables qui soient constantes. Nous en déduiront, pour le mouvement
2 Selon l’usage des astronomes, les dates sont souvent données dans la chronologie julienne, où les jours successifs sont simplement numérotés consécutivement depuis un certain jour. Ainsi le jour julien numéro 2 451 545 débute le premier janvier 2000 à 12 heures et correspond à la date J2000.
elliptique, les éléments canoniques de Delaunay, puis ceux de Poincaré qui évitent certaines singularités présentes dans les éléments de Delaunay.
12.2.1 Calcul de l’hamiltonien
Soit R0 = Oi0j0k0 le repère galiléen dans lequel le point P est représenté par le vecteur r = ru. On pourrait utiliser des coordonnées cartésiennes ou des coordonnées sphériques, et définir les variables canoniques correspondantes à partir du Lagrangien. Au lieu de cela, nous préférons utiliser ici un système de coordonnées particulier qui permettra de tenir compte facilement de la propriété du mouvement képlérien d’être plan.
Considérons donc un plan (Π)dont les seules contraintes soient pour le moment de passer parOet parP et de couper le plan de référenceOi0j0; on suppose aussi queP etOne sont pas confondus. Soientk un vecteur unitaire normal à (Π),γ = (k0,k)l’angle des deux plans etn le vecteur unitaire de la directionk0 ∧k. Notons que le plan (Π)n’est pas lié pour le moment au vecteur vitesse deP. Le vecteuru peut alors être déduit dei0par les trois rotations suivantes correspondant à trois angles d’Euler : rotation d’angleϑ= (i0,n)autour dek0, rotation d’angle γ = (k0,k)autour denet rotation d’angleψ = (n,u)autour dek. Soit enfinv =k ∧u.
i0
j0
k0
ϑ k
n u
˙ r
O ψ P
(Π)
γ γ
r
Nous repérons alors le pointP par les 4 coordonnées r, ϑ, γ etψ qui sont supposées pouvoir varier indépendamment l’une de l’autre : Bien sûr, pourP donné, si l’on choisit arbitrairement 2 des angles, le troisième dépend des 2 premiers, mais en faisant varier les trois angles indé-pendamment, on peut bien décrire toute la sphère de rayonr(de façon non bijective). Dans ces conditions, la vitesse deP s’écrit :
˙
r = d(ru)
dt = ˙ru +r(Ω∧u) (3.50)
oùΩ est le vecteur rotation de la base(u,v,k)par rapport à la base(i0,j0,k0):
Ω = ˙ϑk0+ ˙γ n+ ˙ψ k (3.51)
On en déduit les composantes de la vitesse deP dans la base (u,v,k) :
˙ r =
˙ r
r( ˙ψ+ ˙ϑcosγ)
r( ˙γsinψ −ϑ˙sinγcosψ)
(3.52)
puis le vecteur moment cinétique deP enO :
G =−r2( ˙γsinψ−ϑ˙sinγcosψ)v +r2( ˙ψ+ ˙ϑcosγ)k (3.53) et enfin l’énergie cinétique deP :
T = 1
2 [ ˙r2+r2( ˙ψ+ ˙ϑcosγ)2+r2( ˙γsinψ−ϑ˙sinγcosψ)2] (3.54) Si maintenant on impose au plan (Π) de contenir à tout instant le vecteur vitesse de P, d’après(3.52), cela revient à établir cette relation de liaison entre les paramètres primitifs :
˙
γsinψ−ϑ˙sinγcosψ = 0 (3.55) En associant un multiplicateurλà cette liaison, et en tenant compte de l’existence d’un Lagran-gienL =T + µ
r, on obtient deséquations de Lagrange avec multiplicateur: d
dt
∂L
∂r˙
!
− ∂L
∂r = 0 d
dt
∂L
∂ψ˙
!
− ∂L
∂ψ = 0 d
dt
∂L
∂ϑ˙
!
− ∂L
∂ϑ =−λ sinγcosψ d
dt
∂L
∂γ˙
!
− ∂L
∂γ =λ sinψ
(3.56)
Désignons parR,Ψ,Θ etΓ les moments conjugués respectifs der,ψ,ϑetγdéfinis par : R= ∂L
∂r˙ = ˙r Ψ = ∂L
∂ψ˙ =r2 ( ˙ψ+ ˙ϑcosγ) =G ·k Θ = ∂L
∂ϑ˙ =r2 ( ˙ψ+ ˙ϑcosγ) cosγ−r2( ˙γsinψ−ϑ˙sinγcosψ) sinγcosψ =G·k0 Γ = ∂L
∂γ˙ =r2 ( ˙γsinψ−ϑ˙sinγcosψ) sinψ =G·n
(3.57)
On remarque en passant que le moment conjugué de chaque angle est la composante du moment cinétique suivant l’axe autour duquel “tourne” cet angle. En définissant l’hamiltonienH par la relation :
H =Rr˙+Ψψ˙+Θϑ˙+Γγ˙ − L (3.58) et en exprimantHen fonction des variables et de leurs conjuguées, on trouve :
H(r, ψ, ϑ, γ, R, Ψ, Θ, Γ) = 1 2
"
R2+Ψ2 r2 +Γ2
r2 +(Θ−Ψcosγ)2 r2sin2γ
#
− µ
r (3.59)
Enfin, après avoir différentié(3.58)et en tenant compte des équations de Lagrange(3.56)et de la définition des moments conjugués, l’identification des coefficients de chaque élément diffé-rentiel dans les deux membres dedHconduit aux équations d’Hamilton “avec multiplicateurs” :
dr
dt = ∂H
∂R dR
dt =−∂H
∂r dψ
dt = ∂H
∂Ψ dΨ
dt =−∂H
∂ψ dϑ
dt = ∂H
∂Θ dΘ
dt =−∂H
∂ϑ −λ sinγcosψ dγ
dt = ∂H
∂Γ dΓ
dt =−∂H
∂γ +λ sinψ
(3.60)
auxquelles il faut joindre la relation de liaison(3.55)qui montre, d’après(3.57), queΓ est nul, ainsi que dγ
dt égal à ∂H
∂Γ = Γ
r2 ; si l’on veut que la liaison(3.55) soit vérifiée quel que soitψ, alors il faut qu’à son tour dϑ
dt soit nul.γetϑsont donc constants et le plan(Π)est fixe. On tire ensuite des équations d’Hamilton :
dϑ
dt = 0 = ∂H
∂Θ = Θ−Ψcosγ
r2sin2γ =⇒ Θ =Ψ cosγ (3.61) puis
dΨ
dt =−∂H
∂ψ = 0 =⇒ Ψ constant, ainsi que Ψcosγ =Θ
On en déduit :dΘ/dt= 0; mais par ailleurs,(3.60)donne :Θ˙ =−λ sinγcosψet donc il faut λ = 0 pour que la liaison soit réalisée quel que soitψ. On vérifie ensuite que l’équation d’Ha-milton donnant dΓ/dt est aussi identiquement nulle. Le multiplicateur étant nul, l’équation de liaison est réalisée de façon “naturelle”, sans faire intervenir de forces pour maintenir cette liaison. On retrouve que le mouvement képlérien est plan.
Γ étant identiquement nul etγ pouvant être défini par le rapport constantΘ/Ψ = cosγ, on peut enfin considérer que ces deux variables canoniquement conjuguées sont superflues ; alors, l’hamiltonien se réduit à l’expression :
H(r, ψ, ϑ, R, Ψ, Θ) = 1 2
"
R2+Ψ2 r2
#
− µ
r (3.62)
On retrouve l’hamiltonien du problème de Kepler plan obtenu dans l’exemple du paragraphe §2-7.0en fonction de coordonnées polaires dans ce plan. Le calcul qu’on vient de faire montre que dans le problème képlérien spatial, le plan fixe dans lequel s’effectue le mouvement est défini par deux variables canoniques constantesϑetΘoùϑest la longitude du nœud et où l’inclinaison est donnée par le rapport constant cosγ = Θ/Ψ. Par ailleurs, on reconnaît maintenant que Ψ = r2ψ˙ = G ·k est le module G du moment cinétique défini en(3.7). Avec les notations classiques des éléments d’orbite : Ω = ϑ, i = γ et G = Ψ, on a donc le jeu de variables canoniques suivant pour le problème de Kepler :
(r, ψ, Ω, R, G, Θ) avec Θ =Gcosi (3.63) Avec l’hamiltonien (3.62), on écrirait bien sûr des équations canoniques d’Hamilton “sans multiplicateur”. Ne dépendant pas explicitement du temps,Hest constant et sa valeur représente l’énergie totale du mouvement képlérien qu’on avait notéehen(3.6).
Notons encore que l’hypothèse γ 6= 0 était indispensable pour assurer que Θ soit une quantité distincte deΨ sinon, le problème aurait été dégénéré, passant d’un problème spatial à un problème plan.
12.2.2 Application de la méthode d’Hamilton-Jacobi
Notre but est maintenant de trouver lafonction génératriceG2 d’un changement de variables canoniques :
(r, ψ,Ω, R, G, Θ) −→ (x1, x2, x3, y1, y2, y3)
tel que le nouvel hamiltonienH0soit nul, les nouvelles variables étant alors toutes des constantes.
En fait, on a vu que pour un système conservatif (H constant), on peut, de manière équivalente, faire en sorte queH0 ait la même valeur que H en identifiant H0 à l’un des moments, y1 par exemple, lui-même égal à l’énergieh du système. Alors, avec H0 = y1 = H = h, toutes les variablesxietyisont constantes, saufx1qui s’identifie au temps puisqu’alors dx1
dt = ∂H0
∂y1 = 1.
Dans ces conditions, la fonction génératriceG2 recherchée ne doit pas dépendre explicitement du temps ;G2(r, ψ,Ω, y1, y2, y3)doit seulement vérifier :
dG2 =Rdr+Gdψ+ΘdΩ +x1dy1+x2dy2+x3dy3
= ∂G2
∂r dr+∂G2
∂ψ dψ+∂G2
∂Ω dΩ + ∂G2
∂y1dy1+∂G2
∂y2dy2+ ∂G2
∂y3 dy3
(3.64)
etH0 −H = 0, soit encore l’équation d’Hamilton-Jacobi: y1− 1
2
∂G2
∂r
!2
+ 1 r2
∂G2
∂ψ
!2
+µ r = 0
Comme les variables ψ, Ω et Θ n’apparaissent pas explicitement dans H, leurs variables conjuguées respectives G, Θ et Ω sont des constantes du mouvement et on peut choisir une
fonction génératrice qui engendre une identité en ce qui concerne ces variables constantes.
Prenant ainsi :
G2 =ψy2+ Ωy3+S(r,−,−, y1, y2,−) (3.65) et tenant compte de(3.64), on déduit en effet :
x3 = ∂G2
∂y3 = Ω , Θ = ∂G2
∂Ω =y3 et G= ∂G2
∂ψ =y2 (3.66) Désormais, le changement de variables peut ainsi être réduit à :
(r, ψ,Ω, R, G, Θ) −→ (x1, x2,Ω, h, G, Θ)
avec une fonction génératrice G2 = ψG+ ΩΘ + S(r,−,−, h, G,−) où S est solution de l’équation :
h− 1 2
∂S
∂r
!2
− G2 2r2 + µ
r = 0 On obtient ainsi :
S(r,−,−, h, G,−) =ε
Z r r0(h,G)
s
2h+2µ r − G2
r2 dr (3.67)
où l’on a admis que la constante d’intégrationr0 est une fonction des 2 constanteshetGdont doit dépendreSet oùε=±1.
De(3.64)on déduit ensuite : x1 = ∂G2
∂y1 = ∂S
∂h =ε
Z r r0
dr
s
2h+2µ r −G2
r2
−ε∂r0
∂h
v u u
t2h+2µ r0 − G2
r20
=t−t0 puisque x˙1 = ∂H0
∂h = 1
(3.68)
Dans ce cas, t0 est l’instant oùrvaut r0, à condition toutefois quer0 soit l’une des racines de l’équation : 2h+ 2µ
r − G2
r2 = 0 (afin d’annuler le terme en ∂r0
∂h). Alors, comme dr dt =
r
2h+2µ r − G2
r2 (puisqu’on a à la foisR = ˙r etR = ∂S
∂r), r0 est aussi l’une des valeurs de r où dr/dts’annule. r passe alors par un extremum. Prenons r0 correspondant au péricentre.
On a donct0 = tp instant de passage au péricentre, et la racine r0 est donnée par l’expression suivante :
r0 = G2/µ 1 +q1 + 2hG2/µ2
(3.69)
On pourra comparer cetr0 avec l’expression(3.23)deq en tenant compte dep = G2/µet de l’expression de l’excentricitéedonnée en(3.15). Ayant choisir0de la sorte, on a ensuite :
x2 = ∂G2
∂G =ψ−ε
Z r r0
G dr r2
s
2h+2µ r −G2
r2
=ω constant puisque x˙2 = ∂H0
∂G = 0
(3.70)
ω s’interprète donc comme la valeur de ψ lors du passage au péricentre. En posant u = 1/r l’équation(3.70)s’intègre ensuite pour donner :
u= 1 +q1 + 2hG2/µ2 cos(ψ−ω)
G2/µ (3.71)
Cette expression est comparable à(3.10), et correspond à l’équation polaire d’une conique de foyer O, d’excentricité e = q1 + 2hG2/µ2 et de paramètre p = G2/µ, située dans le plan de variation de ψ, c’est-à-dire dans le plan (Π). L’angle (ψ −ω) s’interprète comme étant l’anomalie vraie. Finalement, le problème de Kepler admet donc le nouveau jeu de variables canoniques suivant :
(t−tp, ω, Ω, h, G, Θ) (3.72) dont les cinq dernières, étant des constantes, sont deséléments d’orbite canoniques; l’énergie h est la variable canonique conjuguée du temps, le moment cinétiqueG est conjugué de l’ar-gument du péricentreω et la composanteΘ du moment cinétique sur Ok0 est conjugué de la longitude du nœudΩ; l’hamiltonien dans ces variables vaut simplement :
H0(t−tp, ω,Ω, h, G, H) =H0(−,−,−, h,−,−) = h (3.73) Il reste à terminer l’intégration de l’équation (3.68)pour exprimer ren fonction du temps.
Nous le ferons dans le cas du mouvement elliptique, en introduisant les éléments de Delaunay.
12.2.3 Passage aux éléments canoniques de Delaunay
Dans le cas du mouvement elliptique, posons h = −µ/(2a) et utilisons la relation G =
qµa(1−e2)issue de l’expression de l’excentricité dans (3.71). Alors, le changement de va-riable régularisant :r →Edéfini parr=a(1−ecosE), permet d’intégrer(3.68)en aboutissant à l’équation de Kepler :
t−tp =qa3/µ(E−esinE) (3.74) Introduisant alors l’anomalie moyenneM =qµ/a3(t−tp), on peut faire en sorte queM soit une des variables canoniques. Il suffit de définir une transformation canonique entre (t−tp,h) et (M,L) qui ne change ni l’hamiltonien ni les autres variables, et pour cela il suffit d’avoir :
(t−tp)dh−M dL= 0
c’est-à-dire :
(t−tp) µ 2a2da−
rµ
a3(t−tp)dL= 0 soit dL da = 1
2
rµ a On en déduit L=√
µaeth=− µ2 2L2.
C’est ainsi que l’on aboutit auxéléments de Delaunay (l, g, ϑ, L, G, Θ)définis, avec les notations de Poincaré, par :
l = M L = √
µa
g = ω G = L√
1−e2
ϑ = Ω Θ = Gcosi
(3.75)
L’hamiltonien correspondant conserve sa valeur :
H1(l, g, ϑ, L, G, Θ) =H1(−,−,−, L,−,−) =− µ2
2L2 (3.76)
Les équations d’Hamilton s’en déduisent : dl
dt = ∂H1
∂L = µ2 L3
dL
dt =−∂H1
∂l = 0 dg
dt = ∂H1
∂G = 0 dG
dt =−∂H1
∂g = 0 dϑ
dt = ∂H1
∂Θ = 0 dΘ
dt =−∂H1
∂ϑ = 0
(3.77)
Notons qu’il suffit de changer le signe de l’hamiltonien pour que chaque variable canonique ap-paraisse comme permutée avec son conjugué. AvecH2 =−H1 = µ2
2L2 on obtient évidemment : dLdt = ∂H2
∂l = 0 dl
dt =−∂H2
∂L = µ2 L3 dG
dt = ∂H2
∂g = 0 dg
dt =−∂H2
∂G = 0 dΘ
dt = ∂H2
∂ϑ = 0 dϑ
dt =−∂H2
∂Θ = 0
(3.78)
C’est d’ailleurs sous cette dernière forme que sont souvent utilisées les variables de Delaunay (L, G, Θ, l, g, ϑ), avec un hamiltonienchangé de signe:
H2(L, G, Θ, l, g, ϑ) =H2(L,−,−,−,−,−) = µ2 2L2 où le rôle des variables et de leurs moments conjugués est inversé.
12.2.4 Passage aux éléments canoniques de Poincaré
Les variables de Delaunay ne sont pas les meilleures qui soient lorsque l’excentricité où l’in-clinaison sont très petites car elles engendrent les mêmes singularités que les éléments d’orbite définis en(3.45). Cela se manifeste ici sur les variablesL,GetΘqui ne diffèrent alors l’une de l’autre que par des quantités de l’ordre du carré de l’excentricité ou de l’inclinaison. Ces trois variables deviennent identiques et donc indiscernables sieetis’annulent ; dans le même temps les anglesl,g etθdeviennent indéterminés.
Pour éviter ces singularités, Poincaré a introduit des variables canoniques non singulières lorsque l’excentricité et l’inclinaison sont nulles. Ce sont les éléments suivants :
Λ =L λ=l+g+ϑ
ξ=q2(L−G) cos(g+ϑ) η=−q2(L−G) sin(g+ϑ) p=q2(G−Θ) cosϑ q=−q2(G−Θ) sinϑ
(3.79)
(notons que, vue la signification des éléments de Delaunay,λreprésente la longitude moyenne, g + ϑ = $ est la longitude du péricentre dans l’orbite et ϑ = Ω est la longitude du nœud ascendant)
Ces éléments sont tout-à-fait analogues aux variables k, h, q et p déjà introduites en (3.47). En effet q2(L−G) = q2L(1−√
1−e2) est de l’ordre de e√
L et q2(G−Θ) =
r
2Lq(1−e2)(1−cosi)est de l’ordre desini√ L.
Pour passer des éléments de Delaunay(L, G, Θ, l, g, ϑ)auxéléments de Poincaréon définit d’abord d’autres variables canoniques :
x1 =L p1 =l+g+ϑ (=λ) x2 =L−G p2 =−(g+ϑ) (=−$) x3 =G−Θ p3 =−ϑ (=−Ω)
(3.80) Cette transformation est canonique puisqu’elle vérifie la condition de canonicité :
ldL+gdG+ϑdΘ−p1dx1−p2dx2−p3dx3 = 0 Ensuite, il suffit de vérifier qu’une transformation du type :
(y, x)−→(u, v) avecu=q2ycosxetv =q2ysinx (3.81) est aussi canonique. En effet elle vérifie vdu+ydx = dG2 avec G2(x, u) = 12u2tanx. Ces deux transformations laissent l’hamiltonien inchangé, égal finalement à :
H3(Λ, ξ, p, λ, η, q) =H3(Λ,−,−,−,−,−) = µ2
2Λ2 (3.82)