15 La gravitation : champs et potentiels newtoniens
15.1 Cas d’une ou plusieurs masses ponctuelles isolées
On sait qu’une masse ponctuelle m située en un point O, engendre dans tout l’espace un champ de gravitationqui vaut en un pointP :
G(P) =− Km
|OP|2 u =−Km
r2 u (4.1)
avec OP = ru et |u| = 1. Pour mesurer ce champ, il suffit d’observer la force de Newton m0G(P)que subit une particule de massem0 lorsqu’on la place enP. Le champ engendré par plusieurs masses ponctuelles est la somme vectorielle des champs engendrés par chacune. On va montrer que ce champ vérifie 2 propriétés fondamentales : D’abord, il dérive d’un potentiel, ensuite il est à flux conservatif partout sauf aux points où sont placées les masses.
15.1.1 Potentiel de gravitation
Soitg(P)un champ vectoriel continu et dérivable des points de l’espace. On dit qu’il dérive d’un potentiel si et seulement si il existe une fonction scalaireU(P), continue et dérivable, telle
que sa différentielle totale dU évaluée dans un déplacement quelconque dP du point P soit égale à lacirculationélémentaire du champ entreP etP +dP :
dU =g(P)·dP (4.2)
g(P)est alors appelégradientdeU enP :g(P) = gradPU(P) = ∂U
∂P, et l’on dit que c’est un champ de gradient. Evidemment, la somme de plusieurs champs de gradient est un champ de gradient dont le potentiel résultant est la somme des potentiels correspondants.
Donc, sig est un champ de gradient, sa circulation élémentaire en tout point est une diffé-rentielle totale, et sa circulation le long d’une courbe quelconque joignant deux points AetB ne dépend pas de ce trajet mais seulement des points de départ et d’arrivée :
I B A
g(P)·dP =
Z B A
dU =U(B)−U(A)
Ainsi, la circulation est nulle si A et B se trouvent sur une même équipotentielle du champ scalaireU(P), c’est-à-dire sur une surface telle qu’en tous ses pointsP on ait : U(P) = Cte. On en déduit aussi quegradPU(P)est orthogonal enP à l’équipotentielle du champ passant parP
La définition qu’on vient de donner du gradient ne fait intervenir aucun repère ni système de coordonnées : Le vecteur gradient est indépendant de tout repère ; seule l’expression de ses com-posantes dans une base dépend du choix de cette base et du choix du système de coordonnées utilisé pour y repérer le pointP. Dans un repère orthonorméOijk, en coordonnées cartésiennes, siP est repéré par(x, y, z), le potentielU(P)est représenté par une fonctionU1(x, y, z). On a alors :
dP =dxi +dyj +dzk dU1 = ∂U1
∂x dx+∂U1
∂y dy+∂U1
∂z dz dont on déduit l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes :
gradPU1(x, y, z) = ∂U1
∂x i + ∂U1
∂y j +∂U1
∂z k (4.3)
De même, encoordonnées sphériques,P étant repéré par(r, λ, ϕ), le potentielU(P)est une fonctionU2(r, λ, ϕ)dont la différentielle vaut :
dU2 = ∂U2
∂r dr+ ∂U2
∂λ dλ+ ∂U2
∂ϕ dϕ
Dans (u,v,w),base localedescoordonnées sphériquesenP, on a par ailleurs : dP =dru +rcosϕ dλv +r dϕw
On en déduit l’expression du gradient en coordonnées sphériques : gradPU2(r, λ, ϕ) = ∂U2
∂r u + 1 rcosϕ
∂U2
∂λ v +1 r
∂U2
∂ϕ w (4.4)
Dans le cas d’une masse m placée en O, origine du repère de définition des coordonnées sphériques, le champ de gravitation défini en (4.1) dérive du potentiel de gravitation U(P) représenté en coordonnées sphériques de centreO par la fonction :U2(r,−,−) = Km
r +Cte (en coordonnées cartésiennes, ce serait la fonction U1(x, y, z) = Km
q
x2+y2+z2
+Cte). La constante additive, arbitraire, est le plus souvent choisie égale à zéro pour que le potentiel de gravitation d’une masse ponctuelle soit nul à l’infini. Le champ G est central et possède la symétrie sphérique de centre O. Le potentiel de gravitation ne dépend que de r et admet la même symétrie ; les équipotentielles sont des sphères de centre O. Dans le cas de plusieurs masses ponctuellesmisituées en des pointsOi, le potentiel de gravitation en un pointP vaut :
U(P) =X
i
Kmi
|OiP|
15.1.2 Flux du champ de gravitation
SoitV le volume d’un domaine connexe de l’espace, limité par une surface ferméeSet soit P un point de cette surface. SoitdS le vecteur normal à un élément de surfacedScontenantP, de module égal à l’aire dedS et orienté vers l’extérieurdu volumeV. Le flux élémentaire d’un champ de vecteursg traversant l’élémentdS au pointP, est le scalaire :dΦ = g(P)·dS. Le flux deg sortantde la surfaceSest alors :
Φ(S) =
ZZ
P∈S
g(P)·dS Cette fonction dépend en général de la surface traversée.
On démontre que si le champg est dérivable et à dérivées partielles continues, et si l’on fait tendreS etV vers zéro de façon à ce que le domaine contenu dans S tende vers un point Q, alors, le rapport entre le flux sortant deS et le volumeV contenu dansS tend vers une limite qui ne dépend que du pointQ. Cette limite — dΦ
dV — est par définition ladivergencedu champ g au pointQet l’on écrit :
divg = dΦ dV Le théorème de Gauss ou de Green montre que l’on a :
Φ(S) =
ZZZ
Q∈V divgdV =
ZZ
P∈Sg(P)·dS
Le champg est dit àflux conservatifdans un domaineDde l’espace si en tout pointQdeD on a : dΦ
dV = 0, ou de façon équivalente :divg = 0; on dit encore que le flux sortant de toute surface incluse dansDest nul.
La notion de flux étant indépendante de tout repère, la divergence d’un champ en un pointQ est aussi indépendante de tout repère ; seule la façon de la calculer dépend du repère et du sys-tème de coordonnées utilisé pour repérerQ. Dans un repèreOijk, en coordonnées cartésiennes, Qétant défini par (x, y, z), et g(Q)par 3 composantes (gi(x, y, z), gj(x, y, z), gk(x, y, z)), en calculant le flux sortant de l’élément de surface fermée cubique de côtésdx,dyetdz situé entre les pointsQ= (x, y, z)etQ+dQ = (x+dx, y+dy, z+dz), et en divisant ce flux par le volume dxdydzde ce cube, on obtient l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes :
divg = ∂gi
∂x +∂gj
∂y + ∂gk
∂z (4.5)
De même, en coordonnées sphériques, dans la base locale (u, v,w), le champg est représenté par les 3 composantes : (gu(r, λ, ϕ),gv(r, λ, ϕ),gw(r, λ, ϕ)) ; on obtient alors l’expression de la divergence en coordonnées sphériques :
divg = 1 r2cosϕ
"
∂
∂r(r2cosϕ gu) + ∂
∂λ(r gv) + ∂
∂ϕ(rcosϕ gw)
#
soit :
divg = ∂gu
∂r +2
rgu + 1 rcosϕ
∂gv
∂λ +1 r
∂gw
∂ϕ − tanϕ
r gw (4.6)
Alors, le champ de gravitationG(P)émis par une massemplacée enOest à flux conservatif en tout pointP différent deOpuisque, pour toutr 6= 0, on obtient :
div
−Km r2 u
= ∂
∂r
−Km r2
+2 r
−Km r2 = 0
On peut aussi trouver directement cette propriété en calculant le flux sortant d’une surface ferméene contenant pasle pointO : En fait, faisons ce calcul pour une petite surface élémen-taire fermée contenant le volume compris dans un cône de sommet O et d’angle solidedΩet entre deux sphères de centre O de rayons R etR +dR; les deux petites surfaces sphériques correspondantes ont alors pour aires : R2dΩet(R+dR)2dΩ. Le flux deG sortant des faces coniques de la surface est nul puisque le champ est radial ; le flux sortant de la surface sphérique de rayonR: −Km
R2 ×(−R2dΩ)est compensé par celui sortant de l’autre surface sphérique :
−Km
(R+dR)2 ×(R+dR)2dΩ. Le flux sortant total est donc nul. Or, tout domaine de l’espace peut être ainsi décomposé en petits éléments de volumes limités par un cône et deux sphères, et quand deux tels éléments sont en contact par une de ces surfaces, le flux qui sort de l’un par cette surface rentre dans l’autre par la même surface, donnant un flux global nul. Donc, le flux deG sortant de toute surface fermée ne contenant pasO est nul.
En revanche, si on prend une surface S fermée contenant O, on peut isoler à l’intérieur du volume contenu dans S, une sphère de centre O et de rayon ε aussi petit que l’on veut ; le flux qui sort de cette sphère, de surface 4πε2, vaut −Km
ε2 × 4πε2 = −4πKm. Le reste du volume contenu dans S est maintenant limité par cette sphère et par S, mais le point O ne faisant pas partie de ce volume, le flux sortant de ce volume parSet par la sphère est nul. Donc, globalement, le flux sortant de toute surface contenant une massemvaut−4πKm. Ce flux ne dépend pas de la position demà l’intérieur deS.
On peut généraliser cette propriété au cas de plusieurs masses mi placées en des points distinctsOi: Chaquemi engendre un champ de gravitation dont le flux sortant est nul à travers toute surface ne contenant pas Oi, et dont le flux est égal à −4πKmi à travers toute surface contenant ce point. L’ensemble de ces masses crée un champ de gravitation égal à la somme des champs engendrés par chaque masse. Le flux de ce champ résultant sortant d’une surface ne contenant aucune des masses est donc nul, et celui qui sort d’une surface contenant une ou plusieurs de ces masses ne dépend que de ces masses et non de leur position à l’intérieur de cette surface. On en déduit encore que le champ de gravitation d’une ou plusieurs masses ponctuelles est à flux conservatif partout sauf aux pointsOi
15.1.3 Conséquence
En appliquant l’opérateur “divergence” à l’opérateur “gradient”, on obtient un opérateur appeléLaplacienet noté∆:
∆U = divgradU
Suivant queP est repéré en coordonnées cartésiennes ou sphériques, on utilisera le Laplacien en coordonnées cartésiennes :
∆U1(x, y, z) = ∂2U1
∂x2 +∂2U1
∂y2 +∂2U1
∂z2 (4.7)
ou en coordonnées sphériques :
∆U2(r, λ, ϕ) = ∂2U2
∂r2 +2 r
∂U2
∂r + 1 r2cos2ϕ
∂2U2
∂λ2 + 1 r2
∂2U2
∂ϕ2 − tanϕ r2
∂U2
∂ϕ (4.8)
On vient de voir que le champ de gravitation d’une ou plusieurs masses ponctuelles mi en Oi dérive d’un potentiel U et qu’il est à flux conservatif partout sauf enOi; donc, partout sauf enOi, le potentiel de gravitation vérifie l’équation suivante, appelée équation de Laplace :
∆U(P) = 0 ∀P 6=Oi (4.9)
En chacun des pointsOi, on a au contraire :∆U(Oi) =−4πKmi.
Le cas ∆U = 0est fort intéressant car les fonctionsU qui vérifient cette équation forment l’ensemble des fonctions harmoniques. On montre que de telles fonctions possèdent les pro-priétés suivantes : si∆F = 0dans un domaineE des points de l’espace, en tout pointP deE, la fonctionF(P)est finie, continue et indéfiniment dérivable, et égale à sa valeur moyenne sur toute sphèreSa(P)de centreP et de rayonaincluse dansE :
F harmonique ⇐⇒ F(P) = 1 4πa2
Z
Q∈Sa(P)
F(Q)dS
On utilisera plus loin cette propriété de U d’être une fonction harmonique, en cherchant à représenter le potentiel de gravitation dans une base de fonctions harmoniques.