Mouvement séculaire d’un astéroïde : effet de Jupiter et Saturne

La démarche analytique adoptée ici est similaire à celle de la Sect.3.4.1, à savoir le Hamiltonien est tronqué à l’ordre deux en excentricités et inclinaisons.

J’utiliserai ici encore les notations de [Murray and Dermott,1999], pour un astéroïde considéré sans masse, de demi-grand axe a et de moyen mouvement n ; la perturbation induite sur la particule test (l’astéroïde) considérée s’écrit :

R

= na^h1 2A(h²+ k²) +1 2B(p²+ q²) + 2

∑

j=1 Aj(hhj+ kkj) + 2

∑

j=1 Bj(ppj+ qqj)ⁱ, (3.33) où p et q sont les composantes du vecteur inclinaison de l’astéroïde, et :

B = −ⁿ₄ 2

∑

i=1 mi m_cα_i¯αib⁽¹⁾_3/2(αi), (3.34) B_i= ⁿ 4 m_i m_cα_i¯αib⁽¹⁾_3/2(αi), (3.35)

L’indice i = 1 désigne Jupiter et i = 2 désigne Saturne. Les définitions et propriétés des coeff-cients α et ¯α, ainsi que des coefficoeff-cients de Laplace sont données Sect.3.4.1.

La solution du problème du mouvement séculaire induit sur le petit corps par l’effet cumulé de Jupiter et Saturne, a pour le vecteur inclinaison :

p(t) = Ilibresin(Bt + γ) + p0(t), (3.36)

q(t) = Ilibrecos(Bt + γ) + q0(t), (3.37)

Elle s’écrit comme la somme des solutions des mouvement forcés (p0(t), q0(t)) et libres (pé-riodiques d’amplitude I_libre).

CHAPITRE 3. ASTÉROÏDES DE LA CEINTURE PRINCIPALE : STRUCTURE À GRANDE ÉCHELLE Le mouvement libre dépend des conditions initiales du vecteur inclinaison, à travers I_libre qui est son amplitude et γ sa phase. Les angles γ_isont ceux déterminés comme dans la Sect.3.4.1. Quant au mouvement forcé, il dépend du demi-grand axe par le biais des coefficients de La-place. Il est donné par (Eqs 7.80 et 7.81 de [Murray and Dermott,1999]) :

p₀(t) = − 2

∑

i=1 µ_i B − fi sin( fit+ γi) , q₀(t) = − 2

∑

i=1 µ_i B − fi cos( fit+ γi), (3.38) où µ_i= 2

∑

j=1 B_jI_ji (3.39)

On peut associer à ce mouvement forcé une inclinaison forcée I_forcée et un nœud Ω_forcé. On écrira :

I_forcée= q

p²₀+ q²₀ , tanΩ_forcé= ^p0

q₀, (3.40)

Nous disposons maintenant de tous les éléments nécessaires pour nous intéresser aux effets séculaires de Jupiter et Saturne sur les astéroïdes, dans le cadre d’un modèle non-résonant et d’un développement jusqu’à l’ordre 2 en inclinaisons et excentricités.

J’ai donc appliqué cette théorie séculaire simplifiée à un échantillion de 50.000 particules fic-tives dans la ceinture principale, en excluant la région autour de 2,5 au (MMR 3 :1 avec Jupiter). Dans l’espace (i,Ω) la répartition initiale est donnée Fig3.19.

FIG. 3.19: Distribution (i,Ω) initiale des 50.000 particules fictives.

En considérant tout d’abord les perturbations séculaires de Jupiter puis celles de Jupiter et Saturne sur ces particules fictives, nous arrivons aux distributions représentées figure 3.20. Ce qui confirme que l’effet de Jupiter suffit largement à expliquer les vagues ou sinusoïdes observées. Celles-ci sont dues aux circulations des astéroïdes dans leurs plans orbitaux. Reste la question des densités de distributions observées (Fig.3.8).

Dans la suite, je considère des astéroïdes réels et fictifs afin de montrer l’existence des trois dynamiques observées pour les corps massifs (Sect.3.4.1). Je procède par intégrations numé-riques, sur 1 million d’années, en utilisant tout comme précédemment un intégrateur de Gauss-Radau [Eggl and Dvorak, 2010], dans le cadre d’un système solaire complet (Soleil et toutes les planètes).

CHAPITRE 3. ASTÉROÏDES DE LA CEINTURE PRINCIPALE : STRUCTURE À GRANDE ÉCHELLE

(a) Densité de distribution conséquences des effets sé-culaires de Jupiter

(b) Densité de distribution conséquences des effets sé-culaires de Jupiter et Saturne.

FIG. 3.20: Densité de distribution, conséquences des effets séculaires de Jupiter et Saturne sur 50.000 particules fictives (Fig.3.19).

Considérons comme exemple l’astéroïde (24) Themis (Fig. 3.21(a)), de demi-grand axe a = 3,14 au, d’excentricité e = 0,13 d’inclinaison i = 0◦, 75 et avec un nœud initial²⁸Ω = 36^◦.103. Nous pouvons voir la libration de son plan orbital.

(a) (24) Themis, i = 0◦, 75 (b) i = 1◦, 64 (c) i = 3◦, 75

FIG. 3.21: Mouvement séculaire dans le plan (i,Ω) pour l’astéroïde (24) Themis : a = 3,14 au, e= 0, 13 et i = 0^◦, 75 (Fig.3.21(a)). Les figures3.21(b),3.21(c)donnent ce même mouvement séculaire pour des Themis fictifs d’inclinaisons respectives de 1◦, 64 et 3^◦, 75 ; en vert Jupiter et en rouge Saturne.

En augmentant progressivement son inclinaison à i = 1◦, 64 puis i = 3^◦, 75, nous constatons respectivement figures3.21(b)et3.21(c)le passage progressif à une circulation homogème et totale à partir d’une certaine valeur de l’inclinaison.

Dans la Table3.5, je donne pour chacun des astéroïdes (Fig.3.21(a)à3.21(c)) une estimation du temps passé par ces derniers entre les valeurs maximales et minimales du Ω de la zone de

CHAPITRE 3. ASTÉROÏDES DE LA CEINTURE PRINCIPALE : STRUCTURE À GRANDE ÉCHELLE Astéroïde Jupiter Saturne Uranus Neptune

Fig.3.21(a) 30,63% 70,67% 75,33% 47,62% Fig.3.21(b) 21,35% 50,29% 55,18% 31.15% Fig.3.21(c) 14,23% 31,50% 33,89% 20,52%

TAB. 3.5: Pour chaque astéroïde (3.21) pourcentage de temps passé entre les valeurs maximales et minimales du nœud des mouvements forcés des planètes géantes.

libration des planètes géantes (Table3.4).

L’astéroïde en libration (Fig.3.21(c)) passe deux fois (respectivement une fois et demi) plus de temps dans la zone de libration (en nœud) délimitée par les planètes géantes que l’astéroïde en circulation totale homogène Fig. 3.21(a)(respectivement l’astéroïde en circulation “hétérogè-ne” Fig.3.21(c)).

Un astéroïde fictif (24) Themis (Fig.3.21(b)), avec une inclinaison de i = 1◦, 64 en circulation “hétérogène”, passe donc 70,67% de son temps avec un nœud compris entre 68◦, 04 et 147, 55% et moins de 30% du temps (sur les 1 million d’années) sur les 280◦restants

(a) (24) Themis, i = 0◦, 75 (b) (19) Fortuna, i = 1◦, 57 (c) (44) Nysa, i = 3◦, 70

FIG. 3.22: Mouvement séculaire dans le plan (i,Ω) pour quelques astéroïdes (en gris) de la ceinture principale, en vert Jupiter et en rouge Saturne.

A titre d’exemple, je présente figure3.22 la courbe (i(t),Ω(t)) pour trois exemples de la cein-ture principale (24) Themis, (19) Fortuna et (44) Nysa ; on retouve bien les trois types de dynamiques. De même pour chacun de ces corps je donne (Fig.3.23) leur représentation dans le diagramme (q, p).

Remarquons que l’astéroïde (44) Nysa qui se trouve pourtant dans la zone de concentration maximale (Fig.3.8) est en circulation contrairement à ce q’on aurait pu croire.

A travers les résultats présentés ici (Fig.3.21et Table3.5), j’ai mis en évidence la dépendance en I_librede la dynamique des plans orbitaux (i,Ω). Pour des I_libre très petits les orbites sont en libration, plus I_librecroît plus les dynamiques dans (i,Ω) tendent vers des orbites en circulation. La figure3.24 montre qu’une grande partie des astéroïdes ont une inclinaison inférieure à 5◦, ils se retrouvent donc avec des orbites en libration totale ou partielle.

CHAPITRE 3. ASTÉROÏDES DE LA CEINTURE PRINCIPALE : STRUCTURE À GRANDE ÉCHELLE

(a) (24) Themis, i = 0◦, 75 (b) (19) Fortuna, i = 1◦, 57 (c) (44) Nysa, i = 3◦, 70

FIG. 3.23: Mouvement séculaire dans le plan (i,Ω) pour quelques astéroïdes (en gris) de la ceinture principale, en vert Jupiter et en rouge Saturne.

FIG. 3.24: Histogramme des inclinaisons sur la population entière d’astéroïdes en rouge et uniquement sur la ceinture principale en bleu.

Dans le document Etude dynamique et observationnelle des astéroïdes de la ceinture principale (Page 80-84)