fig. 4.4
Vu la bande de fréquence étroite du détecteur, rutiUsation de deux générateurs et d'un mélangeur de fréquence a permis d'exploiter toute la gamme de fréquence dynamique du pont
LA PRECISION SUR LES MESURES EFFECTUEES AU PONT MANUEL
Les performances de l'appareil sont les suivantes: la gamme des conductances est de 0 à 100 mMho et celle de la capacité est de 0 à ± 230 pF. La précision sur les mesures est de ± 2% ±0.1 mMho sur la conductance et ± 2% ± 1.5 pF sur la capacité.
La capacité d'un échantillon typique, ayant 5 mm de diamètre (d) et 200 /ym d'épaisseur (e), vaut:
eS _ 8.854 lO'^ [f/m] 7t (5 10'=' [m\f e,
e 4 (200 X 10 ®) M
= 0.869 pF
En fonction du diamètre exprimé en mm, on peut formuler la capacité par la relation suivante:
b = 3.48 10-2 2 pF (EQ.4.5)
Un échantillon de Ketjenblack ayant une concentration de 0.4 phr et une permittivité relative e, d'environ 4 (d = 5 mm et e = 200 /vm ), a une capacité de près de 3.5 pF. Une telle valeur faible sera mesurée avec une précision de près de 50% !
Pour réaliser des mesures ayant une précision minimale de 5%, il faut choisir en principe des échantillons dont la capacité
C ^ ^ 1.5/?F ^ SOpF
pour = 4, c'est-à-dire de faible concentration en noir de carbone, (en dessous du seuil de percolation); donc des échantillons ayant un
diamètre de 20 mm.
Un tel diamètre supérieur à la dimension des électrodes
(d = 10 mm) introduit des erreurs supplémentaires à cause des effets de bord.
D'autre part, il y a une limitation dans la précision des mesures liée à la détermination simultanée des deux paramètres G et C.
A basse fréquence, la précision sur la valeur de G augmente.
En effet, un test détaillé de mesures sur trois ponts manuels utilisés au début de notre travail [Pont Wayne Kerr B 221 opérant de 0.5 à 22 KHZ, le Pont à Impédance et le Pont General Radio 1 606 A), a montré qu'une cellule composée d'une résistance et d'une capacité montées en parallèle est mesurée avec une précision acceptable, lorsque sa fréquence de coupure est à l'intérieur de la gamme de fréquence dynamique du pont. En plus, le facteur de qualité doit être près de l'unité pour que les deux paramètres (capacité et résistance) soient déterminés simultanément avec la précision maximale du pont. Lorsque la fréquence de mesure est nettement différente de la fréquence de coupure, seule la résistance ou seule la capacité peut être mesurée avec précision, selon que celle-ci est supérieure ou inférieure à la fréquence de mesure (f^ / f > 6 ou f / f^, > 6 respectivement).
Par exemple, à f = 1 MHZ, étant égal à 1 ! p e, pour la susceptance domine la conductance il faut que f / f^ > 6. La capacité est donc mesurée avec une bonne précision lorsque la relation suivante est réalisée:
a < ^ ou O < 1.48 10 ® □-■'m-''
6
précision de lecture (.2 mMho).
La condition d'une bonne précision sur la mesure de la conductance (lorsqu'elle est beaucoup plus grande que la susceptance), implique que fj, / f > 6 ou a > 6 fo ^ ou a > 0.053 e, mMho.
Au seuil de percolation, les valeurs de e, étant supérieur à 50 (entre 50 et 100 pour le Ketjenblack, par exemple), la condition o > 6 6o ^ ou
O > 2.7 mMho devient log a > - 2.6 à la fréquence minimale de
mesure. En dessous du seuil de percolation, cette condition (e, < 10) équivaut approximativement à log a > - 3.6.
La mesure de deux paramètres avec une bonne précision implique donc que 1/6<f/fc< 6 ou 1.48 e,/vMho <o< 0.05 e, Mho.
Ces contraintes ne sont pas toujours vérifiées, spécialement pour les échantillons de concentration en dessous du seuil de percolation.
Nous nous sommes donc intéressé à faire des mesures pour les échantillons ayant une concentration supérieure ou égale au seuil de percolation: les valeurs de la conductance, à la fréquence limite du pont Wayne Kerr, étant légèrement inférieure ou supérieure à 2.7 mMho, les
IV.1.3 TECHNIQUE DE REFLECTOMETRIE D'UNE LIGNE DE TRANSMISSION
Une ligne de transmission est caractérisée par deux conducteurs de longueur "infinie", séparés par une substance diélectrique à travers laquelle se propage l'énergie électromagnétique dans la direction longitudinale.
IMPEDANCE CARACTERISTIQUE D'UNE LIGNE DE TRANSMISSION
Le circuit électrique équivalent d'une partie élémentaire d'une telle ligne de transmission est représenté schématiquement par la figure 4.5, a).
Cette ligne est donc formée d'une distribution longitudinale de circuits électriques élémentaires, et v, i, I, r, g, et c représentent respectivement le voltage électrique, le courant électrique, l'inductance, la résistance en série, la conductance et la capacitance shuntée.
Dans la pratique, comme on utilise des lignes de transmission uniforme (ayant une constance dans la géométrie et la nature physique des matières constituantes tout le long de l'axe z : même distance entre les conducteurs, aucune discontinuité le long de l'axe z, uniformité et homogénéité des matériaux constitutifs), on peut écrire les relations suivantes :
l{z) ^ LAz , et g{z) = G{z) ;
r{z) ^ R Az , et c(z) = C(z)
G et C sont les conductance et capacitance par unité de longueur de la substance diélectrique, et L et R sont les selfs et résistances des conducteurs par unité de longueur.
ELEMENT INEINITESIMAL DVNE LIGNE DE TRANSMISSION
i(z) n(z) i(z+dz)
Z Z +d Z
les impédances infinitésimales en série représentent celles des matériaux conducteurs alors que les impédances infinitésimales shuntées représentent celles du matéreau diélectrique
a)
LIGNE DE TRANSMISSION TERMINEE PAR UNE CHARGE
b)
Une ligne de transmission d'impédance caractéristique Zq, et de longueur s, est terminée par une charge d'impédance inconnue
Les équations différentielles d'une ligne de transmission homogène qui décrivent v(z,t) et i(z,t) sont :
et — Az = {RAz)i + {L Az) — dz dz Az = (GAz)v + (CAz) dz dz ou dv dz ÊL dz = Ri + L et = G V + G il dt dv dt (EQ.4,6)a et b
Dans l'espace des fréquences, F(üj) étant la transformée de Fourier de f(t): = j(ùF{cù) dt J ^ f on a dV — =(/?+ j(ùL)l = ZI (EQ.4.7)a et b — = (G + j<ùC)V = YV dz
oùZ = R+ j6vLetY = G+ ja;C sont respectivement l'impédance série et l'admittance shuntée par unité de longueur de la ligne de transmission.
La solution de ces équations prend la forme suivante :
V{z) ^
/(z) = 1
De manière simplifiée, on écrira
e - A^
(EQ.4.8)a et b
V = A^ + ^2
/ = ± {Ay «Yx - ^2
(EQ.4.9)a et b
La constante de propagation de la ligne de transmission y, est égale à
Y '=■ a + i P = + ywl) (G + jiùC) (EQ.4.10)
où a (nepers/mètre) est appelé la constante d'atténuation et p
(radian/mètre), la constante de phase.
L'impédance caractéristique de la ligne de transmission est un paramètre important et est définie par la relation
(EQ.4.11)
G j (ùC
COMPORTEMENT D'UNE LIGNE DE TRANSMISSION CHARGEE £
Y \ Y \
La méthode expérimentale suivie dans ce travail pour déterminer
€' et 6" à partir de G et C, consiste d'abord à fabriquer des lignes de transmission ayant comme substance diélectrique le composite polymérique à base de noir de concentration désirée et ensuite de
calculer rimpédance caractéristique de ces lignes. Cette dernière est évaluée à partir de la valeur mesurée du coefficient de réflexion.
Pour comprendre la démarche suivie, nous allons analyser une ligne de transmission de longueur s, alimentée à l'entrée par une source de tension Vg (de résistance interne Z) et terminée par une impédance de charge Z^: voir figure 4.5, b).
L'impédance de charge Z^, représente l'échantillon et les autres éléments de l'environnement de mesure. Z^^ est l'impédance d'entrée de la ligne de transmission d'impédance caractéristique Zq, de longueur s terminée par une impédance de charge Zl
-En fonction de V(0), 1(0) et Zq, V(z) et l(z), passant de la notation exponentielle à la notation hyperbolique,
on obtient: 'IN /(z) = /(O) (cx)Sh y Z b et c(EQ.4.12)a,
Z
q sinhyz)
Z ^ ^0 tanh yC^ -z) ° Zq+ Z
i tanh y - z)où 11 /(O) = ^IN + ^1 ■xiiiiiiiÿ--' Q.4.13)a etb Z^+ Zq tanh y^ Zq + Z^ tanh y5
Selon les valeurs particulières de Z^^, diverses expressions de Z^^
peuvent être retenues :
a) pour Zl = Zq , on retrouve que Z,n = Zq. On dit que la ligne de transmission est adaptée.
b) pour Zl = O, Z|N = Zghort = Zq tanh ys : la ligne de transmission étant terminée en court-circuit;
c) pour Zl = oo, Z|N = Zope„ = Zq cotanh ys : la ligne de transmission étant terminée en circuit ouvert.
Il est à noter qu'une relation pratique fort utile peut être utilisée pour déterminer Zq à partir des valeurs de Zghon ^open •
''short ^open - 72
short ^open (EQ.4.14)
COEFFICIENT DE REFLEXION ET PRINCIPE DE MESURE
Au laboratoire du Professeur A. BAREL, à l'Université VUB, nous avons utilisé un réflectomètre qui permet la mesure du coefficient de réflexion. Ceci est défini comme le rapport entre l'onde réfléchie et l'onde incidente qui sont décrites respectivement par les termes Aj e'^
Ainsi
p(z) = — (EQ.4.15)
A partir des équations 4.9a et 4.9b on tire immédiatement les valeurs
À2 -et = (K(0) - /(O) Zo)) (7(0) /(0)Zo)) (EQ.4.16)a et b Sachant que K(0) = et /(O) = ^IN ^1 ^IN ^0 (EQ.4.17)a et b il vient que pfe) = (EQ.4.18)
En développant l'expression Z,n sous forme exponentielle, on obtient une expression simplifiée de p{z)\
p(z) = (- ^°) {EQ.4.19)a
P {s) - ^ Z,-Zo
(EQ.4.19)b
A l'entrée de la ligne de transmission z = 0
p(0) =
Z^ + Zo
(EQ.4.19)c
Pour une ligne de transmission adaptée 7.^ = Zq ou une ligne de longueur infinie, on ap = 0 et pour une ligne en circuit ouvert Zl = «»: p(0) = e'^^®. Pour une ligne en circuit fermé, Zl = 0, on a yo = -e
A l'interface z = s, on a yo = 0, - 1 et,1 selon que la ligne est adaptée, court-circuitée = 0) ou ouverte (Zl = °o).
Le système d'appareillage contient un couple directionnel, pièce maîtresse, qui permet de séparer les deux ondes incidente et réfléchie. Il divise le signal d'alimentation en deux parties égales, chacune étant dirigée dans une branche identique (même longueur et impédance caractéristique) du couple directionnel.
Dans la première branche, prise comme référence, l'onde incident subit une atténuation de e ’''®* due au chemin parcouru s. Et dans la deuxième branche, la ligne de transmission est terminée par la charge d'impédance Zl, l'onde réfléchie est donc égale à
Zr “ Zq /
_L---0
Le rapport entre l'onde réfléchie et l'onde incident donne le coefficient de réflexion. Le facteur d'atténuation dans le couple directionnel est très faible : e*'*®'®’ « 1. Tout se fait comme si l'on mesurait l'onde réfléchie à l'interface entre la ligne de transmission de la branche
et l'échantillon, puisque le chemin pour les ondes électromagnétiques dans les deux branches du couple directionnel est identique.
P = r = (EQ.4.20)
Zt ^ Zo Où r=|p|e‘“ (EQ.4.21)
A partir de l'amplitude mesurée du coefficient de refléxion p et de sa phase B, on pourra déterminer la valeur Z^^.
Pour faciliter le calcul de l'impédance Z^^, nous avons construit des guides d'ondes, remplis de substance polymérique chargée de noir de carbone. Dans ce cas Z^^ est l'impédance caractéristique de la ligne de transmission que simule l'échantillon.
La forme la plus simple de la ligne de transmission qui donne une formulation précise de l'impédance caractéristique est celle de la ligne coaxiale de forme cylindrique [7]. La valeur de Z^^, pour r < < Ld<; (on néglige les pertes dans les conducteurs), est donnée par la relation
Z - 30 ^{bla)
v/«»
-Cette relation provient du fait que pour une telle cylindrique. (EQ.4.22) configuration G = et C = 2n O
In
(b/a) 2ne In (6/a) (EQ.4.23)a et bdonnant
G + j(ùC - 2n(t>
\n(bla) {e^j + e")
{EQ.4.23)c
Sachant aussi que
L = 2n\iQ
N ®o
= 120 it Q , (EQ4.24)a,b,G et d
e' - 6'O^Ra e« et e” -// _ Ea0^1G
La ligne de transmission de forme cylindrique n'est pas facile à réaliser en utilisant des échantillons sous forme de disques ayant 200
jjm d'épaisseur, obtenus par la technique de fabrication à partir d'une solution. Cela nécessite la fabrication de 500 rondelles polymériques (à chaque concentration donnée et pour chaque type de noir de carbone) pour réaliser une ligne de transmission sur une longueur de
10 cm par exemple. D'autre part, la mise en place du cylindre conducteur extérieur n'est pas facile.
Nous avons adopté une forme parallélipipédique pour l'ensemble avec un fil conducteur au centre, jouant le rôle du conducteur intérieur. Le conducteur extérieur est composé de deux plaques de 1 2 cm de longueur ayant 4 cm de largeur et de 2 à 3 mm d'épaisseur. Ce type de ligne de transmission inhabituelle porte le nom de triplaque (3 parties métalliques). Elle est représentée sur la figure 3.6 avec la connexion "SMA".