La maquette 3D de la structure ligneuse de l’arbre fournit une information détaillée concernant la distribution spatiale de ses volumes de bois dans un repère
(
O,xr,yr,zr)
. Le moment de flexion (i.e., la sollicitation mécanique) exercé par le chargement en biomasse de l’arbre sur la section de la tige à 1.30 m de hauteur a ainsi pu être calculé. Ce paramètre constitue une nouveauté importante dans la mesure où il est difficilement calculable par d’autres moyens, en tous cas sur des arbres adultes.116
Nous l’avons vu au chapitre III, la maquette 3D est composée de polylignes et de cylindres (Figure III. 6. a). Les polylignes fournissent l’information de position dans l’espace des différents axes ligneux et les cylindres la variation du diamètre le long de chaque axe (Figure III. 6. b). Le diamètre de chaque cylindre est attribué au point de polyligne le plus proche, les diamètres manquants (dus à la non- continuité des cylindres le long de la polyligne) étant linéairement interpolés. Chaque point de polyligne est ainsi associé à un diamètre. Couplé à deux diamètres successifs, chaque segment de polyligne définit un tronc de cône (Figure III. 6. c). Ce tronc de cône représente la plus petite entité volumique de la maquette 3D. Son volume est noté Vi (en m
3
).
Afin de calculer le moment de flexion de l’arbre, il a tout d’abord fallu attribuer une masse aux différents éléments volumiques élémentaires (troncs de cône de révolution) constituant sa maquette. Cette étape nécessite un facteur de conversion entre le volume et la masse du bois à l’état « frais ». Une analyse, réalisée par d’autres acteurs du projet EMERGE et utilisant les données destructives de volume et de poids, a permis de calculer un facteur de conversion volume/masse pour chaque arbre considéré (Annexe 3). La masse (mi) de chaque élément volumique a ainsi pu être calculée (en kg) :
m
i= FC . V
ioù Vi est le volume de l’élément volumique considéré et FC est le facteur de conversion volume/masse.
La position du barycentre (Gi) de chaque élément volumique fut également calculée en le situant sur
l’axe du tronc de cône à une position définie par la formule suivante :
#
1G
%%%%%%%& h#%%%%%%%%%%&
1#
2où A1 et A2 sont les centre des bases circulaires du tronc de cône de rayons respectifs R1 et R2 (avec R1>R2), L est la longueur du tronc de cône et h est donné par :
2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1
2
3
4
R
RR
R
R
R
R
R
L
h
+
+
+
+
⋅
=
Le poids (P%%%&) exercé par l’élément volumique, appliqué en son barycentre, est alors donné par : i
P%%& m
i i. ɡ%&
où g est l’accélération de pesanteur, constante (g = 9.81 N/kg). P%%%& est exprimé en newtons (N). Le bras i de levier de l’élément volumique fut ensuite calculé. Ce bras de levier correspond à la longueur de la composante horizontale du vecteur ,%%%%%%%&s-i (Os étant le centre de la section de la tige à 1.30 m), soit :
,
s-
i%%%%%%%%& ./5
0101− /− 5
34346
01− 6
347
où xGi et yGi sont les coordonnées de Gi. Le bras de levier horizontal Di est alors donné par :
Figure III. 5. Mesure de l’inclinaison et de la courbure locale de la tige à partir des données T- LiDAR. Le nuage de points représentant le billon à 1.30 m de hauteur est sélectionné. Un cylindre est ajusté sur ce billon et son vecteur axial (vecteur vert) donne une information sur l’inclinaison locale de la tige. Perpendiculairement au vecteur axial, 8 vecteurs radiaux sont définis, tous les 45° (en bleu). Couplé au vecteur axial, chaque vecteur radial définit un demi-plan (dont la limite est le vecteur axial). Ce demi-plan sectionne l’enveloppe du billon et sélectionne les points à une distance de quelques centimètres. Sur la « bande de points » ainsi sélectionnée (points de couleur rouge), un vecteur est ajusté. Successivement, ce sont 8 vecteurs qui sont ajustés sur le pourtour du billon, chacun d’entre eux permettant de calculer l’inclinaison locale « sur écorce » du billon. La « bande de points » située sur la face supérieure permet également d’ajuster un cercle, dont le rayon de courbure permet d’obtenir l’information de courbure de la tige.
118
Figure III. 6. Calcul du moment de flexion (Mi) exercé par chaque élément de volume de l’arbre
sur la section de la tige à 1.30 m. La maquette 3D de la structure ligneuse de l’arbre est composée de polylignes et de cylindres (a). Chaque polyligne représente la position spatiale de l’axe et chaque cylindre le diamètre à un endroit précis de cet axe (b). Chaque diamètre est attribué au point de polyligne le plus proche, les diamètres manquants étant linéairement interpolés. Couplé à deux diamètres successifs, chaque segment de polyligne définit un tronc de cône, qui représente la plus petite entité volumique de la maquette. Son volume est noté Vi (c). La masse (mi) du tronc de cône
est ensuite calculée à partir de Vi et d’un facteur de conversion volume/masse (FC). Le poids (Pi) du
tronc de cône est également calculé et appliqué en son barycentre (Gi). La projection horizontale de
la distance entre Gi et le centre de la section à 1.30 m (Os) définit le bras de levier (OsGi) du tronc
de cône. Le moment de flexion (Mi) exercé par l’élément volumique est le résultat du produit
vectoriel entre les vecteurs Pi et OsGi (d). Le moment de flexion global (M) exercé par le chargement
en biomasse de l’arbre sur la section à 1.30 m correspond à la somme vectorielle des moments de tous les éléments volumiques de l’arbre situés au-dessus de 1.30 m de hauteur.
Enfin, le moment de flexion (<%%%%&) exercé par l’élément volumique sur la section de la tige à 1.30 m est le = résultat du produit vectoriel suivant :
<
=%%%%& ,%%%%%%%%& ˄ P
s-
i%%%&
iCe moment de flexion s’exprime en N.m-1. Le moment de flexion global (<%%&) exercé par le chargement en biomasse de l’arbre sur la section à 1.30 m correspond à la somme vectorielle des moments de flexion de tous les éléments volumiques :
<%%& ? <%%%%&
=@ 1AB
Il est alors possible de calculer les contraintes de flexion (σ) à la périphérie de la tige à 1.30 m (en MPa) sous l’effet du moment de flexion, la contrainte maximale de tension (σmax) dans le plan de
flexion orthogonal au moment s’exprimant par :
C
DEFG<%%&GH . I
où r est le rayon de la section (supposée circulaire) et I est le second moment d’inertie (ou moment quadratique, voir section I. 2. 2. 2) de la section transversale S de la tige par rapport à un axe horizontal. Tel que défini ici, σmax ne correspond toutefois pas à la réalité d’un arbre en croissance.