Modifications de la dispersion introduites par un réseau et

Reformulation du couplage - introduction du cône de lumière

Afin d’apréhender le couplage de manière plus générale, il est utile de repré- senter la courbe de dispersion {k, ω} des ondes à l’interface réseau métallique- diélectrique. On s’interesse plus spécialement à la composante du vecteur dans le

plan du réseau kk, équivalent à kx dans le cas unidimensionnel.

Le diagramme de dispersion dans un milieu libre (sans charge ni courant) est représenté sur la figure 2.5. On peut écrire :

ω2

c2 = k2 = k⊥2 + kk2 (2.23)

On appelle cône de lumière la frontière matérialisée par la droite ω = kc. Au

dessus de cette frontière ; ω/c > kk ⇔ k⊥ ∈ R, l’onde est propagative. Dans

la zone grisée, ω/c < kk ⇔ k⊥ ∈ iR, l’onde est evanescente ; donc confinée à

l’interface, le champ est perpendiculaire au plan du réseau et donc absorbable. Au dessus du cône de lumière, il y a transport d’énergie, on parle donc de domaine radiatif. Ce diagramme est un moyen simple de classer les ondes et de comprendre le comportement électromagnétique d’un materiau.

n’ont pas accès à la zone grisée. Il existe plusieurs mécanismes physiques pour une onde radiative incidente de “passer” sous le cône de lumière, permettant aux différents ordres du développement de Rayleigh d’exister. La connaissance de la dis- persion du système est, par conséquent, cruciale pour savoir quels modes peuvent être couplés.

Nous présentons ici trois causes principales introduites par le réseau qui modifie la dispersion et permettent le confinement du champ : l’ouverture d’une bande interdite, la résonance plasmon/polariton et l’excitation des modes de créneau. Pour les paramètres de réseau que nous considérons habituellement, le premier effet est largement dominant aux longueurs d’ondes qui nous intéressent, il est cependant utile de passer en revue les autres car ils peuvent devenir prépondérants pour certaines profondeurs de gravure ou si l’absorption dans le métal devient importante.

Ouverture d’une bande interdite photonique

Un réseau périodique quelconque se comporte comme un réseau de Bragg pour les longueurs d’onde 2Λ. Cet effet est plus ou moins important suivant le rapport des indices de réfraction des deux matériaux. Le calcul exact est mené dans le cas d’une interface entre deux diélectriques dans la référence [34]. On peut trouver un résultat analogue dans le cas d’un métal parfait.

Pour comprendre le fonctionnement d’un réseau de Bragg, on peut faire l’analo- gie avec un miroir de Bragg. Un miroir de Bragg est un empilement de diélectriques

d’indices différents n1 et n2. En se propageant dans l’empilement il se forme deux

systèmes d’ondes stationaires, celles ayant leurs ventres dans les milieux d’indice n1 et celles dans le milieu d’indice n2, ce qui justifie que leur période sera 2Λ. Le

milieu dans lequel se trouvent leur maxima fixera leur pulsation, respectivement :

ω1, ω2. Ces deux ondes stationaires ont le même vecteur d’onde imposé par la pé-

riode de l’empilement : K

2, qui se trouve coïncider avec le bord de la première

zone de Brillouin. En conséquence en ce point de l’espace réciproque, la courbe de dispersion se sépare en deux branches levant la dégénérescence entre les ondes de même vecteur d’onde mais se propageant dans deux milieux différents. Entre les deux, aucune onde ne peut se propager, les ondes incidentes sont donc réfléchies (fig. 2.6).

Il en advient à peu près de même dans le cas du réseau métallique. En effet lorsque l’onde se propage à la limite entre le métal et le diéléctrique, comme le montre la figure 2.7, le champ ne pénètre pas de façon identique dans les plots et dans les interstices laissés vides. Dans la limite du métal parfait la pénétration dans le métal est même nul. Nous somme donc dans un cas analogue au miroir de Bragg où l’onde en se propageant rencontre périodiquement deux milieux différents.

Fig. 2.6 – Diagramme de dispersion après l’ouverture d’une bande interdite. L’ou- verture d’une bande interdite entraîne le passage de la branche inférieure de la dispersion sous le cône de lumière.

Fig. 2.7 – Pénétration du champ lorsque l’onde se propage à la surface d’un réseau métallique.

Fig. 2.8 – Analogie entre les états stationnaires d’un réseau de Bragg et d’un miroir de Bragg diélectrique.

en surface d’un réseau, comme le suggère la figure 2.8. Pour cette raison il existe aussi une bande-interdite en bord de zone de Brillouin dans le cas du réseau. L’ouverture de cette bande interdite implique que la bande inférieure soit sous le cône de lumière, supportant donc des modes piégés.

Le concept de réseau de Bragg sera essentiel pour la compréhension du concen- trateur de lumière plus tard. Cependant, l’existence de cette seule bande interdite en k = K/2 ne permet d’obtenir qu’un très faible confinement pour les modes en k = K, qui nous intéressent. C’est l’ouverture d’une deuxième bande interdite, cette fois en k = K (fig. 2.9), et pour des raisons analogues d’arrangement pé- riodique des dipôles, qui justifie l’existence de modes couplés avec une longueur d’onde correspondant au pas du réseau [35,36].

Plasmons

Le couplage d’une onde incidente radiative à des ondes de surface evanescentes est souvent expliquée par le formalisme des plasmons de surface. La résonance plasmon, est un état physique du métal où les électrons oscillent collectivement. Le photon, de fréquence suffisante, qui vient exciter cet état est alors indissociable des électrons excités, on parle alors de plasmon-polariton. Cette résonance plasmon entraîne de manière analogue à l’ouverture d’une bande interdite entraîne une partie de la courbe de dispersion sous le cône de lumière comme schématisé sur la figure. 2.10. Dans ce cas la permittivité du métal peut s’écrire [37] : εr= 1−ω

2 plasmon

ω2

et donc ne rentre plus dans le cadre de l’approximation du métal parfait.

De cette façon une onde incidente avec un vecteur d’onde kk nul peut se retrou-

ver en dessous du cône de lumière, c’est-à-dire sera une onde evanescente piégée à l’interface métal-diélectrique.

Dans le cas qui nous interesse le couplage à bien lieu dans le cadre du mo- dèle parfait, le couplage est donc dû à des effet purement géométriques, i.e. sans interaction lumière/électrons. On peut cependant par abus de langage parler de

Fig. 2.9 – Ouverture d’une bande interdite en K. L’existence d’une bande interdite sépare la dispersion en deux branches l’une au-dessus du cône de lumière, l’autre en dessous.

Fig. 2.10 – Diagramme de dispersion d’un plasmon-polariton en pointillé. En blanc

le cône de lumière. ωpdésigne la fréquence de résonance plasmon et ε la permittivité

relative du diélectrique. On remarque que la résonance plasmon entraîne le passage de la courbe de dispersion sous le cône de lumière.

Fig. 2.11 – Schéma d’un mode de créneau. On représente le réseau en foncé ainsi que son symétrique en pointillé. Ce guide d’onde idéalisé accepte un mode fonda- mental dont le champ est représenté en noir au centre.

plasmons de surface pour décrire la formation d’onde de surface à une interface métal-diélectrique.

Mode de créneau

Il peut être montré [38], que les créneaux d’un réseau de profondeur h réagissent

à une excitation comme des guides d’onde de largeur 2h pour le champ Ek (fig.

2.11). Par conséquent, le mode fondamental des créneaux est excité pour 2h = λ

2

soit k⊥ = π_h. Dans la réalité, le comportement du créneau dévie légèrement de ce

modèle en guide d’onde faisant qu’il peut être excité pour des k⊥ légèrement supé-

rieur à cette valeur. Ces modes présentent de plus une polarisation non négligeable

E⊥les couplant aux ondes de surfaces. La dispersion de ces dernières en sera donc

modifiée et se trouvera sous le cône de lumière.