Création d’une cavité de surface

Dans ce paragraphe, on ne considère aucun couplage, il faut donc s’imaginer que le réseau est éclairé par un faisceau à incidence rasante. On suppose de plus le réseau infini dans les deux directions.

Réseau de Bragg : dispersion de la bande interdite

Nous avons vu au paragraphe 2.3.4 qu’un réseau de période Λ agit comme un réseau de Bragg, en créant des ondes stationnaires de périodes 2Λ, ayant leur extrema soit sur les plots soit sur les sillons du réseau 2.8. Revenons un peu plus en

détails sur la dispersion de ce réseau. L’ouverture d’une bande interdite en k = K

2,

a pour effet de créer deux branches dans la dispersion : une au-dessus du cône de lumière et une en-dessous. Le calcul théorique du champ sur une telle structure [34], permet de connaître la distribution de champ. On définit les notations sur la figure 4.2.

Les champs peuvent être écrits : E_⊥+/−(rk, r⊥) = E0 f (r⊥) h α e−iK 2rk+φ+/−+ β e+iK2rk+φ+/− i ] (4.1)

Par symétrie on déduit la forme de l’onde stationnaire formée par les deux ondes contrapropagatives : E_⊥+/−(rk, r⊥) = E0 f (r⊥) cos  K 2rk + φ+/−  (4.2)

Fig. 4.2 – À gauche dispersion de la bande interdite. À droite profil du champ électrique aux extrémités des deux bandes.

Avec : φ+_{− φ}− ₌ π

2. Au sommet de la bande inférieure, les maxima sont situés

sur les zones métallisées, à l’inverse au bas de la bande supérieure les maxima sont au-dessus des sillons. La branche supérieure est ici représentée en pointillé, car, étant au-dessus du cône de lumière cet ordre n’est pas confiné à la surface du réseau mais radié. Rigoureusement, ce mode n’existe donc pas, on le représente ici uniquement dans un souci explicatif.

Les références [34,53–56] donnent les paramètres de la bande interdite (centre 

ω, k , et extrémités ω−, ω+), dans le cas d’un réseau entre deux diélectriques.

Rappelons que dans le cas du métal parfait ces résulats sont toujours valables mais

doivent être ré-interprétés. Notamment ω+n’a plus de sens puisque situé au-dessus

du cône de lumière. En supposant un réseau de la forme p (x) = hB× sin (Kx), on

obtient les paramètres suivants :

k = K₂ = 2πc_2Λ (4.3) ω = kc = 2πc 2Λ (4.4) ω−= ω × s 1 −  K 2hB ₂ (4.5)

Fig. 4.3 – À gauche : dispersion de la bande interdite. On représente la partie imaginaire des vecteurs d’onde en pointillés. À droite, on représente le profil du champ pour deux positions dans la bande interdite.

On peut désormais s’intéresser à ce qui se passe à l’intérieur de la bande in- terdite. S’il n’existe pas d’onde se propageant, i.e. avec un vecteur d’onde réel ; il existe nonobstant une dispersion pour les vecteurs d’onde imaginaire, que l’on représente sur la figure 4.3. Le calcul monter que dans le cas du réseau métallique, cette dispersion est circulaire et centrée sur le centre de la bande interdite.

Dans la bande interdite, les vecteurs d’onde ayant une partie imaginaire, l’ex- pression du champ (eq. 4.1) prend la forme :

E⊥(rk, r⊥) = E0 f (r⊥) e−ℑ(kk)rk cos  K 2 rk+ φ  (4.6) c’est à dire une onde exponentiellement décroissante. Suivant la position dans

la bande interdite, la valeur de | kk | varie, donnant lieu à des ondes plus au moins

décroissantes. À titre d’exemple, on a représenté sur la figure 4.3, deux ondes ayant des vecteurs d’onde différents. La dispersion des ces ondes étant circulaire, la plus forte décroissance sera obtenue pour l’onde au centre de la bande interdite, c’est à dire en ω = cK/2 (dans le cas perturbatif). Compte tenu de la position des maxima aux extrémités de la bande interdite, on ne peut avoir, pour des raisons de symétrie, que les maxima au-dessus des arrêtes des plots en centre de bande interdite.

Fig. 4.4 – Variation de la hauteur de bande interdite pour deux profondeurs de gravure. La dispersion en noir correspond à un réseau plus gravé que la dispersion grisée.

De la profondeur de gravure

Si l’on se place au centre de la bande interdite, on peut néanmoins faire varier le module du vecteur d’onde en jouant sur la profondeur de gravure. En effet, on peut

montrer [34], que la hauteur de la bande interdite ∆ω = ω+− ω− est croissante

avec la profondeur du réseau h. Une fois de plus la dispersion de la bande interdite étant circulaire on a, au centre de la bande interdite :

ℑ kk
= ∆ω_2c (4.7)

En conséquence | kk | croît aussi avec la profondeur (fig. 4.4).

Deux miroirs de Bragg

Si l’on peut à partir d’un miroir de Bragg donner naissance à des ondes ex- ponentiellement décroissantes, on peut imaginer une configuration où à l’aide de deux de ces miroirs on obtienne une cavité de surface. En effet, en mettant deux réseaux côte à côte, les ondes venant de la gauche décroîtront sur toute la longueur du miroir de droite, de même dans le miroir symétrique pour les ondes venant de la droite (fig. 4.5).

Si l’on veut jouer sur la concentration du champ à l’intérieur de la cavité, on peut, comme décrit au paragraphe précédent, jouer sur la profondeur de gravure.

Fig. 4.5 – Schéma idéalisé d’une cavité de surface à l’aide de deux miroirs de Bragg. La cavité est ici représentée en grisé.

Il faut cependant garder à l’esprit plusieurs points. Le premier étant que les miroirs sont ici supposés infinis, et l’on peut s’attendre à ce que dans le cas d’une structure finie les propriétés décrites plus haut soient altérées. Deuxièmement les ondes sont supposées à incidence rasante, ce qui ne correspond pas à la situation où nous trouverons à l’intérieur d’un pixel. Pour cette dernière raison il est nécessaire d’ajouter à cette structure de Bragg, un réseau de couplage, afin de pouvoir exciter la cavité avec une onde à incidence normale.