Modes propres du syst`eme

En g´en´eral, l’aimantation des fils oscille en phase, selon un certain mode propre, caract´eris´e par un vecteur d’onde k et une fr´equence ωk. Nous recherchons ces modes propres, correspon-

dant `a des ondes magn´etostatiques, pour les FMNWAs. Dans ce qui suit, nous n´egligeons les ondes de spin se propageant dans la direction axiale aux fils. Supposons que la composante dynamique de l’aimantation du fil ℓ puisse s’´ecrire en terme de l’aimantation dynamique du fil j comme mℓ(t) ≃ mj(t) exp (ik · rℓ), o`u k est le vecteur d’onde et rℓ est un vecteur reliant

le centre du fil j au centre du fil ℓ. Une illustration sch´ematique d’un certain mode propre se propageant dans la direction transverse aux fils, avec k · rℓ = (2π/λ)(λ/2) = π, est pr´esent´ee

`a la figure 4.6.

mj(t) mℓ(t) ≃ mj(t)eiπ

λ/2 k

Figure 4.6 Vue de dessus d’un r´eseau de nanofils aimant´e axialement, montrant un mode propre d’oscillation de l’aimantation de vecteur d’onde se propageant dans la direction trans- verse aux fils, o`u l’aimantation dynamique du fil ℓ est d´ephas´ee de π par rapport `a l’aiman- tation dynamique du fil j. Chaque cercle repr´esente un nanofil trait´e comme un macrospin. Ici, la longueur d’onde est de 8D, o`u D est la distance inter-fils.

L’hypoth`ese ci-dessus nous permet d’´ecrire la composante dynamique du champ dipolaire inter-fils agissant sur le fil j [´equation (4.37)] comme

hint(t) = − X ℓ ←_N→ int,ℓmℓ(t) ≃ − X ℓ ←_N→

int,ℓmj(t)eik·rℓ (4.39)

= −←N→int,kmj(t), (4.40)

←_N→ int,k = X ℓ eik·rℓ    Nint xx,ℓ Nxy,ℓ Nxz,ℓint Nint

xy,ℓ Nyy,ℓint Nyz,ℓint

Nint

xz,ℓ Nyz,ℓint Nzz,ℓint

  =    Nint

xx,k Nxy,kint Nxz,kint

Nint

xy,k Nyy,kint Nyz,kint

Nint

xz,k Nyz,kint Nzz,kint

 

. (4.41)

Le fait d’´ecrire l’´equation (4.40) comme le produit de←N→int,k et de mj(t) nous permet d’´ecrire

l’´equation du mouvement, donn´ee par l’´equation (4.36), sans terme mℓ(t). Puisque l’´equation

(4.36) ne contient plus de terme en mℓ(t), il est possible de r´esoudre l’´equation (4.36) afin

d’obtenir les modes propres du syst`eme. Pour simplifier la notation, nous allons laisser tomber l’indice j pour le restant de cette sous-section. Le contexte sera suffisamment clair pour ´eviter toute ambigu¨ıt´e. `A partir d’ici, la m´ethode de r´esolution de l’´equation (4.36) est similaire `a celle d´ecrite aux sections 4.2.2 et 4.2.1. On injecte les ´equations (4.11), (4.12), (4.14), (4.17), et (4.40) dans l’´equation du mouvement de l’aimantation, on n´eglige le produit des termes dynamiques et on suppose une solution harmonique pour la composante dynamique de l’aimantation. On obtient alors le syst`eme suivant, ´ecrit en notation compacte :

A11 A12 A21 A22 ! m(t) = ωMh(t), (4.42) avec A11 = ωx− iαωk, (4.43)

A12 = ωM Nsh,xy+ Nxy,kint
+ iωk− T1−1, (4.44)

A21 = ωM Nsh,xy+ Nxy,kint
− iωk+ T1−1, (4.45)

A22 = ωy− iαωk, (4.46)

ωx/µ0|γ| = Hz+ Ms Nsh,xx+ Nxx,kint − Nsh,zz− Nint,zz
+ Haniscos2θM, (4.47)

ωy/µ0|γ| = Hz+ Ms Nsh,yy+ Nyy,kint − Nsh,zz− Nint,zz
+ Haniscos 2θM. (4.48)

On rappelle que ωM = µ0|γ|Ms, Hz est donn´e `a l’´equation (4.11), Nsh,xx, Nsh,yy et Nsh,zz sont

donn´es `a l’´equation (4.13), Nint,zz est donn´e `a l’´equation (3.25), Nxx,kint et Nyy,kint sont donn´es `a

l’´equation (4.41), et Hanis = 2K1/µ0Ms.

Le cas o`u k = 0 correspond `a la situation o`u l’aimantation de tous les fils pr´ecesse `a l’unisson ; il s’agit de la FMR. `A ce moment, ωk=0 = ω, Nxx,kint = Nint,xx, Nyy,kint = Nint,yy, et

(4.42) et obtenir la susceptibilit´e dynamique : mx my ! = ωM A11A22− A12A21 A22 −A12 −A21 A11 ! hx hy ! = ←→χ wh. (4.49)

Une fois que A11, A12, A21, et A22 sont remplac´es dans l’´equation (4.49), il est possible

de constater que la susceptibilit´e ←→χ w de l’´equation (4.49) est identique `a celle pr´esent´ee

`a l’´equation (4.19) de la section 4.2.2, pour un cylindre, apr`es avoir remplac´e Nxx,sh par

Nxx,sh + Nxx,int, Nyy,sh par Nyy,sh + Nxx,int et Nzz,sh par Nzz,sh + Nzz,int. Autrement dit,

les ´equations (4.19) `a (4.33), d´eriv´ees pour le cylindre isol´e, demeurent les mˆemes pour le r´eseau de nanofils ferromagn´etiques uniform´ement aimant´e, apr`es avoir additionn´e les fac- teurs de d´esaimantation inter-fils aux facteurs de d´esaimantation de forme. La discussion et les r´esultats pr´esent´es `a la section 4.2.2 s’appliquent donc pour le r´eseau de nanofils ferro- magn´etiques aussi.

L’´equation (4.49) d´ecrit l’aimantation dynamique des fils en r´eponse `a un champ magn´e- tique externe dynamique. Le tenseur de susceptibilit´e de l’´equation (4.49) inclut l’effet du champ externe statique et dynamique, du champ d’anisotropie statique et dynamique ainsi que des champs dipolaires statiques et dynamiques intra et inter-fils. Nous recherchons main- tenant la perm´eabilit´e effective du r´eseau de nanofils, ←→µ eff, telle que l’induction moyenne

dynamique dans le FMNWA soit donn´ee par

b = ←→µeffh, (4.50)

o`u h est le champ externe dynamique. Pour cela, nous rempla¸cons le FMNWA par un mat´eriau homog`ene ´equivalent, ayant une aimantation dynamique moyenne mavg = ←→χ avgh,

o`u ←→χ avg est la susceptibilit´e dynamique moyenne du mat´eriau homog`ene, de sorte que l’in-

duction moyenne dynamique puisse s’´ecrire b = µ0(h + mavg) = µ0(←→1 + ←→χavg)h, o`u ←→1 est

le tenseur diagonal unitaire. Comme la matrice d’alumine a une r´eponse magn´etique faible en comparaison avec celle des nanofils, nous supposons que la susceptibilit´e dynamique moyenne est domin´ee par celle des fils, pond´er´ee par la fraction de la surface occup´ee par les fils. Au- trement dit, nous supposons que ←→χavg ≃ P ←→χ w, o`u ←→χ w est la susceptibilit´e dynamique des

fils, donn´ee par l’´equation (4.49). Implicitement, ceci revient `a consid´erer un champ dyna- mique suffisamment uniforme sur le FMNWA pour que chaque fil du r´eseau per¸coit le mˆeme champ dynamique, et un FMNWA suffisamment grand pour n´egliger les effets de bord. Si l’on remplace ←→χavg dans l’´equation (4.50), la perm´eabilit´e effective du r´eseau de nanofils

←→_{µ eff= µ0}←→

1 + P ←→χ w



, (4.51)

o`u ←→1 est le tenseur unitaire diagonal et ←→χwest donn´e par l’´equation (4.49). L’´equation (4.51)

donne la perm´eabilit´e effective du r´eseau de nanofils uniform´ement aimant´es, en fonction du champ magn´etique externe statique, de la fr´equence d’excitation du champ dynamique, des param`etres g´eom´etriques du r´eseau ainsi que du champ d’anisotropie uniaxiale.

Pour obtenir les modes propres du syst`eme, on pose le membre de droite de l’´equation (4.42) ´egal `a z´ero. Le d´eterminant de la matrice du membre de gauche de l’´equation (4.42) ´egal `a z´ero donne alors les fr´equence propres des modes non-uniformes :

Rehωxωy − ωk2 1 + α2
− iαωk ωx+ ωy+ 2T1−1
− ωM2 Nsh,xy+ Nxy,kint

2i

= 0, (4.52) o`u Re indique la partie r´eelle du terme entre crochets. L’´equation (4.52) donne la relation de dispersion du r´eseau de nanofils uniform´ement aimant´es. Une discussion des modes propres pour le r´eseau infini de fils aimant´es axialement est pr´esent´ee `a l’annexe G. Dans le cas du mode de r´esonance uniforme, lorsque k = 0, nous avons N_xy,kint = Nint,xy, Nxx,kint = Nint,xx, et

Nint

yy,k = Nint,yy, et alors la partie r´eelle de l’´equation (4.52) ´egale `a z´ero donne, en n´egligeant

le terme α2_,

ω0 = √ωxωy. (4.53)

On retrouve la fr´equence de r´esonance du r´eseau de nanofils ferromagn´etiques uniform´ement aimant´es, donn´ee par la moyenne g´eom´etrique des champs de rigidit´e ωx et ωy.

Revenons maintenant `a la condition d’´equilibre de l’aimantation. Puisque l’aimantation statique s’´ecrit M = Msˆz dans le syst`eme xyz, la notation donn´ee `a l’´equation (4.2) nous

permet d’´ecrire la condition d’´equilibre de l’aimantation en notation compacte comme

¯¯ M Htot =    0 _−Ms 0 Ms 0 0 0 0 0  

(Hext+ Hsh+ Hint+ Hanis) = 0. (4.54) Si l’on effectue le produit matriciel de l’´equation (4.54), on trouve que la composante selon y du champ total doit s’annuler, ce qui s’´ecrit

Hextsin (θM − θH) + Heffsin θM cos θM = 0, (4.55)

Heff=Ms(Nsh,x′_x′ + N_int,x′_x′ − N_sh,z′_z′ − N_int,z′_z′) + H_anis =Ms(1 − 3Nz′_z′) + 2K₁/µ₀M_s,

(4.56)

o`u Nz′<sub>z</sub>′ = N<sub>sh,z</sub>′<sub>z</sub>′+N<sub>int,z</sub>′<sub>z</sub>′, avec 2N<sub>x</sub>′<sub>x</sub>′+N<sub>z</sub>′<sub>z</sub>′ = 1. L’´equation (4.55) correspond `a l’´equation (3.16) du chapitre pr´ec´edent, une fois que l’on remplace Nsh,x′_x′ par N_sh,x′_x′ + N_int,x′_x′ et Nsh,z′_z′ par N_sh,z′_z′ + N_int,z′_z′ dans le champ effectif. L’´equation (4.55) donne la condition d’´equilibre de l’aimantation des fils en fonction du champ magn´etique externe, des param`etres g´eom´etriques du r´eseau et de l’anisotropie uniaxiale Hanis, lorsque le r´eseau est uniform´ement

aimant´e. L’´equation (4.55) doit ˆetre utilis´ee conjointement `a l’´equation (4.51) pour trouver la perm´eabilit´e dynamique ou la fr´equence de r´esonance du syst`eme. Regardons le cas particulier d’un r´eseau de nanofils domin´e par l’effet de forme (Hanis= 0), avec L ≫ D et L ≫ a (r´egime

monopolaire). Dans ce cas, Nsh,x′_x′ → 1/2, N_sh,z′_z′ → 0, N_int,z′_z′ → P et N_int,x′_x′ → −P/2. On retrouve alors l’expression ph´enom´enologique du champ effectif propos´ee par Encinas et al. [61], donn´ee par Heff = Ms(1 − 3P )/2.