Equation du mouvement de l’aimantation ´

Consid´erons un nanofil uniform´ement aimant´e, d’aimantation M(t), soumis `a un champ magn´etique externe statique Hext et un champ magn´etique externe alternatif h(t) de faible

amplitude. Cette situation est repr´esent´ee `a la figure 4.1.

g θH θH θM ϕH ϕM M(t) M mx my Htot Hext h(t) x′ y′ z′ x y z

Figure 4.1 Repr´esentation sch´ematique d’un nanofil uniform´ement aimant´e par un champ statique externe Hext, et soumis `a un champ magn´etique alternatif externe h(t). `A l’´equilibre

statique, la composante statique de l’aimantation, M, s’oriente selon la composante statique du champ magn´etique total, Htot. Sous l’influence des champs magn´etiques, l’aimantation

M(t) pr´ecesse autour de l’axe z du syst`eme de coordonn´ees local xyz, d´efinie par la direction de la partie statique du champ magn´etique total Htot.

Sous l’influence des champ magn´etiques, l’aimantation du fil pr´ecesse autour de l’axe z du syst`eme de coordonn´ees local xyz, d´efinie par la direction de la partie statique du champ magn´etique total Htot. Il sera vu plus loin que la direction d´efinie par Htot correspond `a la

direction de l’aimantation M. Nous nous int´eressons au cas o`u le champ magn´etique externe statique Hext est confin´e au plan y′z′ (ϕH = π/2) du syst`eme de coordonn´ees g´en´eral x′y′z′,

o`u z correspond `a l’axe du fil. Pour un syst`eme o`u l’anisotropie est uniaxiale et dont l’axe de sym´etrie est selon z′_{, la condition ϕ}

H = π/2 implique que M soit confin´e au plan y′z′

(ϕM = π/2), de sorte que l’axe x correspond `a l’axe x′, et les axes y et z sont tourn´es d’un

angle θM autour de l’axe x′.

L’´equation du mouvement de l’aimantation du nanofil uniform´ement aimant´e s’´ecrit [73] ∂M(t)

∂t = −µ0|γ|M(t) × Htot(t), (4.1)

o`u µ0 = 4π × 10−7 H m−1 est la perm´eabilit´e du vide, γ = gµB/¯h [J T−1] est le rapport

gyromagn´etique, g est le facteur de Land´e, µB = 9.274 × 10−24 J T−1 est le magn´eton de

Bohr et ¯h = 1.05457 × 10−34 _{J s est la constante de Planck r´eduite. L’´equation (4.1) indique}

que l’´evolution temporelle de l’aimantation est ´egale au moment de force exerc´e par le champ Htot(t) sur l’aimantation M(t).

La condition d’´equilibre de l’aimantation peut ˆetre obtenue `a partir de l’´equation (4.1), en posant tous les termes dynamiques ´egaux `a z´ero. Si l’on effectue cette op´eration, on constate que la condition d’´equilibre de l’aimantation est satisfaite si M × Htot = 0. Autrement dit,

l’aimantation est en ´equilibre lorsque la composante statique de l’aimantation est align´ee selon la direction du champ total statique Htot, incluant le champ externe statique, le champ

dipolaire statique et les autres champs d’anisotropie statique. Nous allons introduire une notation qui permettra de simplifier la condition d’´equilibre M × Htot = 0 par la suite. Si V

est un vecteur tel que V = Vxˆx + Vyy + Vˆ zˆz, alors il est possible d’´ecrire l’op´erateur produit

vectoriel V× de fa¸con matricielle comme

V× = ¯¯V =    0 _−Vz Vy Vz 0 −Vx −Vy Vx 0   , (4.2)

o`u l’op´erateur ¯¯_{V remplace l’op´erateur produit vectoriel V× (voir ´equation (1.3.27) de [}40], par exemple). L’´equation (4.2) nous permet d’´ecrire la condition d’´equilibre statique comme

M × Htot = ¯¯M Htot =    0 _−Mz My Mz 0 −Mx −My Mx 0   (Hext+ Hsh+ Hanis) = 0, (4.3) o`u le champ total statique Htot est donn´e par la somme du champ externe statique Hext,

du champ statique de d´esaimantation dˆu `a la forme du fil Hsh et du champ statique dˆu `a

l’anisotropie uniaxiale Hanis. Nous verrons plus loin que la notation introduite ici pour le

Le champ magn´etique total Htot(t) est constitu´e du champ magn´etique statique externe

Hext, du champ magn´etique dynamique externe h(t), du champ magn´etique dipolaire Hdip(t),

comportant une composante statique et dynamique, du champ magn´etique d’anisotropie Hanis(t) (d’origine crystalline, magn´eto´elastique, etc.) ayant une composante statique et dy-

namique, ainsi que de la composante spatialement non-uniforme du champ d’´echange Hexc(t).

Pour un fil uniform´ement aimant´e, le champ d’´echange est n´egligeable. La r´esolution de l’´equation du mouvement de l’aimantation donne une fr´equence de r´esonance ω0, fonction

des champs magn´etiques, de la nature et des propri´et´es g´eom´etriques du fil.

L’´equation du mouvement de l’aimantation, telle qu’´ecrite `a l’´equation (4.1), implique un mouvement de pr´ecession de l’aimantation, mˆeme en l’absence d’un champ dynamique externe h(t). Cependant, nous savons par exp´erience que si nous retirons le champ magn´etique alternatif h(t), l’aimantation s’amortit et s’aligne ´eventuellement dans la direction du champ total statique Htot. Pour tenir compte d’une telle relaxation de l’aimantation, un terme est

ajout´e au membre de droite de l’´equation du mouvement de l’aimantation. Nous reviendrons ult´erieurement aux m´ecanismes de relaxation de l’aimantation.

Plusieurs formulations ont ´et´e propos´ees pour le terme d’amortissement. Une discussion des diverses formulations du terme d’amortissement est trouv´ee dans la r´ef´erence [136]. En pratique, seulement trois ´equations sont g´en´eralement utilis´ees pour d´ecrire la dynamique de l’aimantation : l’´equation de Landau-Lifshitz (LL), l’´equation de Gilbert (G) et l’´equation de Bloch-Blombergen (BB). L’´equation de LL s’´ecrit

∂M(t) ∂t = −µ0|γ|M(t) × Htot(t) − λ M2 s M(t) × M(t) × Htot(t), (4.4)

o`u λ [s−1<sub>] est un param`etre d’amortissement ph´enom´enologique et M</sub>

s [A m−1] est l’aiman-

tation `a saturation. L’´equation de G s’´ecrit ∂M(t) ∂t = −µ0|γ|M(t) × Htot(t) + α MsM(t) × ∂M(t) ∂t , (4.5)

o`u α est un param`etre d’amortissement ph´enom´enologique. L’´equation de BB s’´ecrit ∂M(t) ∂t = −µ0|γ|M(t) × Htot(t) − mx(t) + my(t) T1 − mz(t) T2 , (4.6)

o`u T1 [s] et T2 [s] sont les temps de relaxation de l’aimantation dans la direction transverse

et longitudinale `a l’aimantation, respectivement.

Le dernier terme de l’´equation (4.4) et (4.5) d´ecrit un amortissement dans la direction transverse `a l’aimantation et transverse `a la direction de pr´ecession. De plus, les ´equations (4.4) et (4.5) pr´eservent le module de l’aimantation durant le processus d’amortissement.

Ceci peut ˆetre d´emontr´e en multipliant chaque terme des ´equations (4.4) et (4.5_{) par M(t)·.} Comme les termes des membres de droite des ´equations (4.4) et (4.5) sont orthogonaux `a M(t), la multiplication par M(t)· nous donne ∂|M(t)|2_{/∂t = 0. Il est possible de montrer}

que les ´equations (4.4) et (4.5) sont approximativement ´equivalentes lorsque α2 _{≪ 1, en}

multipliant l’´equation (4.5_{) par M(t)×, en utilisant l’identit´e u × v × w = (u · w)v − (u ·} v)w, puis en r´einjectant M(t) × ∂M(t)/∂t dans le membre de droite de l’´equation (4.5), suivant un peu de manipulations alg´ebriques. Nous r´ef´erons le lecteur `a [86] ou [136] pour une comparaison d´etaill´ee des termes d’amortissement.

Le deuxi`eme terme de l’´equation (4.6) d´ecrit une relaxation de la composante transverse de l’aimantation, avec un temps de relaxation T1, et est un indicatif de la d´ecoh´erence entre

les spins. Le troisi`eme terme de l’´equation (4.6) d´ecrit un amortissement dans la direction longitudinale `a l’aimantation, avec un temps de relaxation T2. En multipliant les termes

de l’´equation de BB par M(t)·, il est possible de constater qu’en g´en´eral, l’´equation de BB ne pr´eserve pas le module de l’aimantation, contrairement aux ´equations de LL et de G. G´en´eralement, le dernier terme de l’´equation (4.6) est n´eglig´e car T1 ≪ T2 et car la

composante longitudinale dynamique mz(t) est beaucoup plus faible en amplitude que la

composante transverse dynamique mx(t) + my(t).

Les ´equations de LL et G d´ecrivent les ph´enom`enes de relaxation de l’aimantation qui pr´eservent le module de l’aimantation, alors que l’´equation de BB d´ecrit les processus de relaxation qui ne pr´eservent pas le module de l’aimantation. En pr´esence de ph´enom`enes de relaxation qui pr´eservent et ne pr´eservent pas le module de l’aimantation, certains auteurs utilisent une ´equation du mouvement g´en´eralis´ee, incluant deux termes d’amortissement de l’aimantation [84], [102]. Nous d´esignerons cette ´equation par BBG, pour Bloch-Blombergen- Gilbert. Nous utiliserons une ´equation de type BBG pour les FMNWAs, car nous ne savons pas a priori si les m´ecanismes de relaxation pr´eservent ou ne pr´eservent pas le module de l’aimantation. Si l’aimantation du nanofil est donn´ee par M(t) = M + m(t), avec M⊥m(t), l’´equation BBG s’´ecrit ∂m(t) ∂t = −µ0|γ|M(t) × Htot(t) + α MsM(t) × ∂m(t) ∂t − m(t) T1 . (4.7)

La r´esolution de l’´equation (4.7) donne la fr´equence de r´esonance ainsi que l’´elargissement de la r´esonance en fonction des champs magn´etiques, de la nature et la g´eom´etrie du mat´eriau, en pr´esence de ph´enom`enes de relaxation qui pr´eservent (terme α) et ne pr´eservent pas (terme T1) le module de l’aimantation.

Pour r´esoudre l’´equation (4.7), nous posons quelques hypoth`eses simplificatrices. D’abord, puisque le champ d’excitation externe est en g´en´eral harmonique en exp (−iωt), il est naturel de supposer une solution harmonique pour la composante dynamique de l’aimantation. Nous

´ecrivons alors m(t) = m exp (−iωt). Ensuite, nous supposons que l’amplitude du champ alternatif est suffisamment faible pour que les composantes dynamiques de l’aimantation soient de faible amplitude. En cons´equence, nous n´egligeons le produit des termes dynamiques de l’´equation (4.7<sub>), tels m(t) × h(t), ou m(t) × m(t). Ces deux hypoth`eses simplificatrices</sub> permettent d’obtenir, en g´en´eral, une expression de type ←→A m(t) = µ0|γ| ¯¯M h(t). `A partir

d’ici, nous avons deux choix : nous pouvons obtenir les fr´equences propres du syst`eme en posant h(t) = 0 et en r´esolvant le d´eterminant de ←→A ´egal `a z´ero, ou nous pouvons inverser la matrice ←→A et obtenir une expression de type m = ←→χ h, o`u ←→χ = µ0|γ|←→A−1M est la¯¯

susceptibilit´e dynamique. Cette proc´edure sera utilis´ee aux sections 4.2.2, 4.3 et 4.4 pour obtenir la susceptibilit´e d’un nanofil ou de r´eseaux de nanofils ferromagn´etiques.