4.2 Bandgap et mécanismes de vibrations du cristal phononique
4.2.2 Modes propres de vibration du cristal phononique
Afin d’étudier les vibrations du cristal phononique dans un régime de fréquences appartenant au bandgap, le cristal phononique est éclairé par un paquet d’ondes élastiques
A0, en incidence normale, de fréquence centrale ν0 ≈ 15MHz. Le déplacement est alors mesuré du silicium vers la cavité, tout en passant par les ponts de matière, jusqu’au point
P2 (expérience n02 de la figure 4.7, page 101).
Figure 4.9 – Ensembles de données concernant le comportement des ondes autour du
bas du bandgap du cristal phononique. a) Mesure expérimentale à l’interface silicium-cristal. L’onde arrive du haut de l’image. On identifie une onde réfléchie. La structure du déplacement dans le cristal est matérialisée par le rectangle noir. b) Schéma des ventres et des nœuds de déplacement mesurés sur la figure a). La figure c) est une simulation numérique des modes propres d’un cristal infini à 12.8MHz.
Le résultat de cette cartographie, filtrée entre 12MHz et 16MHz, est représenté sur le graphique temps-espace de la figure 4.9a. Sur cette figure, on retrouve les signaux incidents et réfléchis observés lors de l’expérience n01 (fig.4.8, p. 102). Dans le cristal, la partie de l’énergie transmise se propage dans la maille avant de se réfléchir sur l’interface formée par les trous suivants où le phénomène de réflexion-transmission déjà observé à l’interface se reproduit. Globalement l’énergie se propage puisque le maximum du paquet d’ondes met un certain temps pour passer de maille en maille. Les modes de vibration correspondent à des modes stationnaires de la structure. Pour une fréquence du gap, on constate la présence de sur-vibrations au niveau des mailles et des ponts de la structure phononique. Dans le cas présent, il s’agit d’une harmonique 1 (un nœud, deux ventres) qui s’établit entre les ponts.
À l’intérieur du cristal, pour des fréquences appartenant au bandgap, les vibrations sont donc de type ondes stationnaires. Il y a donc existence de deux ondes contra-propagandes dans le cristal, provenant d’un phénomène de réflexion-transmission au ni-veau des différentes couches de trous, et se propageant avec des vitesses de phases égales à celle d’une onde dans le silicium. Ces deux ondes contra-propageantes sont responsables de la formation du mode de cavité.
La figure 4.9b représente un schéma du déplacement expérimental pouvant être ob-servé dans le rectangle noir de la figure a). Il est une image expérimentale du mode propre de vibration d’une maille du cristal. Le nœud de vibration est au centre de la maille, les ventres, en opposition de phase, sont localisés entre les ponts et ce nœud central.
La figure 4.9c est une simulation du cristal (sans cavité) à la fréquence de 12.8MHz, fréquence située en bord de gap. La modulation de l’onde qui se propage dans la structure est de l’ordre de grandeur de la taille caractéristique du cristal, soit la longueur des mailles ∼ 200µm. La modulation est très proche de celle mesurée, sauf au niveau des centres des ponts. Expérimentalement, les centres des ponts présentent un déplacement important, ce qui n’est pas le cas sur cette simulation à la fréquence de 12.8MHZ.
Finalement, la propagation au sein du cristal d’un paquet d’ondes de fréquence cen-trale située dans le gap est le résultat d’un couplage du paquet avec les modes propres de la structure. Le paquet d’ondes met en résonance les mailles du cristal sur ses modes propres de vibrations qui sont analogue à l’harmonique 1 d’une corde tendue entre ces deux extrémités.
Ce comportement se retrouve dans l’étude d’une chaîne linéaire d’atomes, tous de masse identique m, connectés par des ressorts de même raideur K avec pour seule inter-action celle entre les plus proches voisins. Considérons le système masse-ressort suivant :
Le bilan des forces selon l’axe ux s’appliquant au système Mn est le suivant :
• Une force de rappel exercée par Mn−1 sur Mn telle que −→Fn−1→n= −K(l − l0)−→ux = −K(un− un−1+ ∆leq)−→ux.
• Une force de rappel exercée par Mn11 sur Mn telle que −→Fn+1→n = K(un+1− un+ ∆leq)−→ux
D’après le principe fondamental de la dynamique selon (Ox) :
m¨un(t) = −K(un− un−1+ ∆leq) + K(un+1− un+ ∆leq
= K[−2un(t) + un+1(t) + un−1(t)] (4.1) Cette équation est une équation d’onde avec un terme de couplage K(un+1(t) + un−1) correspondant à l’interaction entre masses plus proches voisines.
Figure 4.10 – Chaîne d’oscillateurs harmoniques.
On cherche une solution de cette équation sous la forme un(t) = u0ei(ωt−kna+φ) 1 :
m¨un(t) = K[−2un(t) + un+1(t) + un−1(t) ⇒ −mω2un= −K 2un− eika un− e−ika un ⇒ ω2 = K m 2 − eika − e−ika ⇒ ω2 = 2K m (1 − cos(kl)) cos2θ = 1 − 2sin2θ ⇒ ω2 = 4K msin2(kl 2) (4.2) On pose ω2 0 = K
m. D’où la relation de dispersion :
ω= 2ω0 sin kl 2 ! (4.3)
Cette relation de dispersion correspond clairement à un système dispersif : k n’est plus une fonction linéaire de ω.
La courbe de la fonction w(k) est représentée sur la figure 4.11.
-πa 0 πa
ωc = 2
q
K
m
Vitesse du son
k
ω
Figure 4.11 – Relation de dispersion de la chaîne monoatomique modélisée par un
sys-tème masse-ressort m, K avec couplage entre plus proches voisins. Le cône du son est représenté en gris : il correspond à la vitesse de l’onde longitudinale dans le solide homo-gène isotrope.
Commentaires :
1. Les valeurs de k représentées appartiennent à ce que l’on appelle la 1re zone de Brillouin. Ces dimensions sont celles du réseau réciproque. Dans notre exemple,
ce réseau réciproque (segment a) est de taille 2π
a ; pour raison de symétrie, on fait varier k dans l’intervalle ] −π
a,π a].
2. Il existe un domaine qualifié de bande « interdite » au dessus d’une valeur de pul-sation ωc = 2ω0. L’amplitude de vibration d’un oscillateur harmonique décroît en
1
ω après sa fréquence de résonance f0 = ω0
2π. Au dessus de 2ω0, l’amplitude d’oscil-lation est donc fortement amortie dans la chaîne de proche en proche. L’énergie de la source restera confinée au niveau de celle-ci. Ce domaine est non propagatif : il s’agit d’un régime d’ondes évanescentes. Dans l’expression (4.2), k imaginaire pur implique ω imaginaire pure : la solution est donc doublement évanescente, en temps et en espace.
3. On retrouve la limite du domaine élastique aux basses fréquences (hypothèse des milieux continus (homogénéisation)). La tangente à la courbe en k = 0 est appelée « cône du son ». Cette vitesse correspond à la vitesse longitudinale des ondes de volume du solide infini isotrope élastique.
4. Les atomes peuvent vibrer selon la direction (Ox) (cas traité ci-dessus) mais peuvent également vibrer selon les deux directions transverses du cristal (hors-plan et dans le plan). De façon général, lorsqu’une onde se propage dans un cristal, elle peut
être décomposée selon ces trois directions (3 états de polarisation possibles pour une onde élastique).
5. Le cas k = 0[2π] est de fréquence nulle : il correspond à un déplacement de u0 dans le même sens de tous les atomes par rapport à leur position d’équilibre. C’est donc une translation du cristal d’amplitude u0.
6. On appelle phonon le quantum d’énergie associé à un mode de vibration du réseau avec Ephonon = ~Ω(k) et d’impulsion p = ~k. Le phonon traduit un état de vi-bration collective des atomes (mode collectif de la bande « permise »). La relation de dispersion peut être vu comme le spectre des énergies possibles ~Ω(k) pour les phonons en fonction de leur impulsion ~k.
Pour être plus précis, le cristal est en fait bien modélisé par une chaîne linéaire for-mée d’un système de deux masses différentes reliées par des ressorts de même raideur.
Figure 4.12 – Simulation mode
propre de vibration du cristal phono-nique à 20.1MHz correspond à un mode optique en bord de gap.
La courbe de dispersion possède alors deux fré-quences de coupures associées à chacune des masses et produisant trois domaines dans celle-ci :
– une bande permise en dessous d’une pulsa-tion ωc1 fonction d’une des deux masses. Il s’agit du domaine de vibration collectif des centres de masse.
– une bande interdite entre ωc1 et ωc2(domaine des ondes stationnaires).
– une bande qualifiée de branche optique cor-respondant à un domaine de fréquences su-périeures à ωc2 où les atomes vibrent autour des centres de masse.
Cette déscription sommaire correspond à la courbe
de dispersion du cristal (fig.4.3b, page 94). Pour avoir une idée de la forme des vibrations au sein du cristal dans ce domaine des branches optiques, une simulation (fig. 4.12) a été faite sur le cristal pour une fréquence de 20.1MHz correspondant au bord supérieur du bandgap de la structure. On constate que le déplacement est localisé au niveau des trous, laissant une grande partie des mailles statiques.