Interprétation du bandgap en termes de réflexion de Bragg

diffusion dépend de la fréquence. Pour une paire de trous telle que i ≈ 10µm, la diffusion est maximale autour de 15MHz. Pour une plaque d’épaisseur e = 110µm, la longueur d’onde d’une telle onde est de λ = 250µm (voir fig.4.6 p.95). Arranger périodiquement avec un paramètre de maille de cet ordre de grandeur, comme dans le cristal phononique, celui-ci peut alors être vu, pour des fréquences dans le gap, comme un système équivalent à une succession de lames semi-réfléchissantes avec un taux de réflexion-transmission de l’ordre de 50% − 50%. Au niveau de chaque maille coexistent donc deux ondes contra-propageantes. On retrouve que le maximum de l’amplitude de l’onde décroît exponentiel-lement avec la profondeur dans le cristal. En effet, à chaque interface de trous, seul 50% de l’énergie est transmise. L’énergie suit donc une loi de type progression géométrique.

4.5 Conclusion

Un cristal phononique est une structure présentant une périodicité (1D à 3D) d’au moins une de ces propriétés élastiques. L’arrangement périodique de deux matériaux d’impédances acoustiques différentes produit pour l’onde qui se propage dans la structure des interférences de Bragg responsables de la formation de bandes interdites pour la propagation.

Lorsque l’on envoie un paquet d’ondes centré autour de la fréquence basse du band-gap, on constate l’apparition d’un signal réfléchi filtré en fréquence. Le bandgap permet le filtrage en fréquence : il peut donc être mesuré aussi bien en réflexion qu’en transmis-sion, avec pour la réflexion, la précaution de sortir du champ d’interférence, lieu d’ondes stationnaires (donc avec des nœuds de déplacement).

Suite à cette étude, la recherche d’une cavité minimale pour l’obtention des modes à conduit à l’identification de la brique élémentaire responsable des phénomènes observés. La cellule élémentaire utilisée pour le calcul des courbes de dispersion ainsi que les résul-tats sur la cavité phononique simplifiée ont conduit à l’identification des paires de trous comme résonateurs dans le cristal. L’étude des différentes paires de trous a montré une forte modulation du coefficient de réflexion d’une onde de Lamb de fréquence centrale

ν0 = 15MHz. La paire de trous, avec φtrous = 100µm et i = 10µm, s’est révélée être la structure résonante du système sur laquelle les ondes de Lamb de type A0 possèdent un régime de diffusion fortement modulé en fréquence, en relation avec les courbes de dis-persion du cristal. Alors qu’il ne semble rien se passer pour une onde incidente sur cette paire de trous avant et après les résonances de celle-ci, le régime de diffusion résonant, notamment autour du mode proche de 15MHz, est caractérisé par une forte modulation de la phase de l’onde transmise et par l’existence d’une onde réfléchie. La cartographie du mode propre de vibration à 15MHz a permis de comprendre en termes de réflection de Bragg la possibilité de construire un bandgap complet par un arrangement périodique de cette structure avec un paramètre de maille bien choisi pour obtenir des interférences constructives à l’intérieur du cristal.

Le cristal peut alors être vu comme une succession de « lame d’air » de type Fabry-Perot. La transmission suit donc une loi de type progression géométrique avec la pro-fondeur dans le cristal : on retrouve l’enveloppe exponentielle de l’amplitude des ondes, caractéristique des ondes évanescentes dans le bandgap, qui est d’ailleurs le siège des ondes stationnaires (comme démontré à partir du modèle masse-ressort).

Chapitre 5

Etude de la diffusion des ondes de

Lamb sur des structures de piliers en

silicium sur plaque de silicium

5.1 Introduction

Le terme de diffusion couvre une large gamme de phénomènes physiques associés à l’interaction d’une onde (ou d’une particule) avec un milieu matériel [109, 110, 111]. Considérons une onde OEMPPM de champ électrique Eincident, de pulsation ω, de lon-gueur d’onde λ dans le milieu d’indice nref, incidente sur un objet d’indice n1 dont la taille caractéristique est notée D. On restreint l’étude à la réponse linéaire et indépen-dante du temps du milieu sous l’effet de l’onde incidente. La diffusion est alors qualifiée de diffusion statique. Les propriétés du milieu ne changent donc pas avec le temps et sont décrites à l’aide de grandeurs macroscopiques telles que l’indice optique n, dont les écarts relatifs sont faibles (n1 − nref ≈ 0 - cadre de l’approximation de Born). De plus, on se place dans le cas où l’onde diffusée possède la même fréquence que l’onde incidente, qui constitue le cadre de la diffusion élastique ou diffusion cohérente [90].

La figure 5.1 regroupe une illustration de la situation considérée ainsi que deux por-traits de diffusion Edif f usé. Le portrait de diffusion est fonction de la taille caractéristique de l’objet D par rapport à la longueur d’onde de l’onde incidente λ. On distingue trois domaines [112] :

– Le domaine de la diffusion Rayleigh correspond au cas D ≪ λ. Il est illustré sur le cas du haut de la figure 5.1b. Il se caractérise par une réémission symétrique, polaire ou dipolaire.

– Le domaine de diffusion résonante caractérisé par une section efficace d’interaction très grande et une très forte diffusion.

– Le domaine de diffusion Thomson (ou de Mie pour les ondes élastiques), correspond au cas D ≫ λ, se caractérise par un portrait de diffusion dissymétrique.

On note E(−^→r , t) = Eincident(−^→r , t) + Edif f usé(−^→r , t) le champ de l’onde total. En l’ab-sence de source extérieure, ce champ vérifie l’équation de Helmoltz suivante [90] :

∆E(−^→r , ω) + k2n²_{ef f}E(−^→r , ω) = (n2

ef f − n²1)E(−^→r , ω) (5.1) Le facteur (n2

ef f − n2

(a) Illustration du phénomène de diffusion d’une onde plane se

propageant dans un milieu d’indice nref et diffusant sur un élé-ment d’indice n1. La puissance diffusée est fonction de la lon-gueur d’onde de l’onde dans le milieu d’incidence par rapport à la taille caractéristique de la structure.

(b) Portraits de diffusion. De haut en

bas, diffusion Rayleigh D ≪ λ et dif-fusion de Mie D ≫ λ. L’onde inci-dente arrive de la gauche.

Figure 5.1 – Phénomène de diffusion (http: // fr. wikipedia. org/ wiki/

Diffusion_ des_ ondes ou http: // fr. wikipedia. org/ wiki/ Theorie_ de_ Mie).

En effet, en l’absence d’objet diffusant D, le champ Eincidentest solution de l’équation de Helmoltz suivante :

∆Eincident(−^→r , ω) + k2n²_{ef f}Eincident(−^→r , ω) = 0 (5.2) D’où, en injectant l’équation 5.2 dans 5.1 :

∆Edif f usé(−^→r , ω) + k2n²_{ef f}Edif f usé(−^→r , ω) = (n2

ef f − n²1)E(−^→r , ω) (5.3) On trouve donc que le champ Edif f usé est solution d’une équation avec pour terme source (n2

ef f − n2

1)E(−^→r , ω). L’origine de la diffusion est donc liée au coefficient n2

ef f − n2 1. Un point important sur le champ diffusé est que sa phase est constante et parfaitement définie par rapport à celle de l’onde incidente.

Remarque : Comme schématisé sur la figure 5.1a, il est à priori possible qu’un champ rayonné par un élément de l’objet excite une autre portion de l’objet qui à son tour va réémettre une onde. On parle alors de diffusion multiple, à l’origine par exemple du phénomène de la localisation d’Anderson. L’approximation de Born consiste à négliger les effets de la diffusion multiple.

Un exemple de diffusion élastique est celui du problème de l’interaction d’une onde électromagnétique de fréquence ω avec un atome à deux niveaux, de fréquence de réso-nance atomique ω0. Ce problème de diffusion est parfaitement décrit par le modèle de l’électron élastiquement lié qui prédit correctement la forme des lois de diffusion de Ray-leigh, résonante et de Thomason [112]. Le modèle de l’électron élastiquement lié consiste à décrire l’atome comme un système masse-ressort dans lequel l’électron est élastique-ment lié au noyau (force de rappel de type « Hooke »). Sous l’effet d’un champ électrique harmonique incident, l’électron oscille. L’atome acquière alors un moment dipolaire oscil-lant. Il devient donc un dipôle électrique oscillant (dipôle de Hertz) qui rayonne une onde

électromagnétique (rayonnement d’une antenne). On dit alors que l’atome a diffusé l’onde incidente. La puissance moyenne diffusée par l’atome dépend du régime de diffusion :

– Pour ω ≪ ω0(diffusion Rayleigh), la puissance diffusée varie en ω4. Cette loi permet de comprendre l’origine de la couleur bleue du ciel.

– Pour ω ≈ ω0 (diffusion résonante), la puissance diffusée suit une loi de forme Lo-rentzienne centrée sur ω0. La section efficace d’interaction à résonance est alors de l’ordre de grandeur de λ2

0 (le carré de la longueur d’onde à résonance).

– Pour ω ≫ ω0 (diffusion Thomson), la puissance diffusée tend vers une constante. La section efficace d’interaction est alors constante de l’ordre de grandeur de r2

0, le carré du rayon classique de l’électron (proche du rayon de Bohr).

On retrouve également ce concept d’onde réémise dans le phénomène de diffraction décrit par le principe d’Huygens-Fresnel. L’idée de Huygens dans son « Traité de la lu-mière » paru en 1690, fut de concevoir la propagation de la lulu-mière comme une succession de perturbations induites par l’onde lumineuse incidente. Fresnel compléta ce modèle afin d’éviter toute notion de milieu en décrivant les perturbations par des vibrations pério-diques appelées ondelettes possédant une amplitude et une phase. Le principe d’Huygens-Fresnel énonce que chaque point P d’une surface Σ atteinte par la lumière se comporte comme une source secondaire isotrope cohérente émettant une ondelette sphérique d’am-plitude proportionnelle à l’amd’am-plitude de l’onde incidente et de phase égale à celle de l’onde incidente en P . L’onde sortante de Σ en un point M est la somme de toutes ces onde-lettes. Mathématiquement, la diffraction est décrite par l’intégrale de Kirchhoff qui fait intervenir en plus un facteur d’inclinaison traduisant une anisotropie du champ réémis par les ondelettes. Le principe de Huygens-Fresnel (et l’intégrale de Kirchhoff) découle directement de l’équation d’onde. En effet, toute onde est d’énergie finie donc de carré sommable suivant le temps et l’espace. Sa fonction d’onde peut donc être représentée par une transformée de Fourier par rapport au temps et à l’espace. On montre alors que le champ s’écrit sous la forme d’une superposition d’ondes planes dont les composantes des vecteurs d’onde satisfont une relation de dispersion (donnée par l’équation d’onde). D’après le développement de Weyl, il est possible d’exprimer une onde plane sous la forme d’une onde sphérique (changement de base) et de retrouver ainsi le principe d’Huygens-Fresnel. La propagation peut donc être interprétée comme le résultat d’une diffraction du champ sur lui-même.

Finalement, le résultat d’un processus de diffusion ou de diffraction correspond à l’interférence d’un champ incident et d’un champ réémis excité par ce même champ incident. Diffusion et diffraction sont des phénomènes qui modifient plus ou moins la propagation des ondes.

L’objectif de ce chapitre est de présenter les résultats expérimentaux obtenus sur l’étude de l’interaction des ondes de Lamb de symétrie A0 et S0 sur des structures de types piliers de silicium sur plaque de silicium. Nous verrons que la diffusion sera fortement fonction de la fréquence de l’onde incidente par rapport aux fréquences de résonance de la structure (comme pour le cas de l’électron élastiquement lié). Une première partie est donc consacrée à l’étude des modes propres de vibration d’un pilier isolé Si/Si sur une plaque. La seconde partie regroupe les principaux résultats sur les portraits de diffusion obtenus sur le pilier isolé de diamètre φ = 150µm. Les domaines de fréquence avant, à et après résonance seront présentés. Une attention particulière a été portée sur l’analyse de la phase du champ rayonné par rapport à l’onde incidente, en fonction de la fréquence. Ces résultats

conduiront à la notion de cellules élémentaires métamatériau avec la mise en évidence de cellules simplement négatives et doublement négatives. Les parties suivantes pourront être vues comme l’association de cellules élémentaires métamatériau et concerneront l’étude de la diffusion sur une structure ligne de piliers. Nous verrons alors qu’il est possible de créer des bandgaps pour les ondes A0, ce qui confirmera le caractère simplement négatif de la cellule élémentaire utilisée.