La détermination des modes propres de vibration d’un pilier isolé de silicium sur plaque de silicium a permis de mettre en évidence la présence de modes fondamentaux de flexion, de compression et de torsion. Entre 0 − 10MHz, pour des piliers de tailles caractéristiques φ ∼ 100µm et h ∼ 250µm et de formes presque cylindriques, les modes de flexion F0 et F1 ont pu être mesurés, ainsi que le mode de compression C0. Les modes de flexion se caractérisent par une symétrie de déplacement dipolaire dans le pilier, et notamment à son sommet. Le mode de compression se caractérise par une vibration de symétrie polaire. Pour des fréquences proches de la résonance, ces modes présentent du gain.
L’étude de la diffusion des ondes de Lamb A0 et S0sur un pilier isolé de diamètre φ150 a mis au jour la présence d’une ondelette réémise par le pilier, principalement de type
A0 et de symétrie identique à celle du mode dont elle est issue. Le mode de compression agit comme une source ponctuelle en produisant une ondelette circulaire en quadrature de phase par rapport à l’onde incidente. Les modes de flexion produisent un rayonnement dipolaire analogue à celui d’une antenne, déphasé de 0 [π] par rapport au sommet du pilier. Ces résultats sont résumés page 164 pour le pilier φ150 et ils ont été retrouvés pour les piliers φ100 et φ50.
Ce mécanisme de diffusion par processus de réémission est fondamental et l’interaction d’un mode S0avec le pilier aura permis grâce aux vitesses de phase différentes de l’observer et de constater que l’onde incidente traverse le pilier qui à résonance réémet une ondelette qui interfère avec l’onde incidente pour produire le champ qualifié de diffusé.
compor-tement identique à celui d’un oscillateur harmonique, respectivement vis-à-vis d’une force orthogonale et colinéaire à l’axe de révolution du pilier. Par conséquent, à résonance, le mode de flexion se situe au sommet de l’onde de Lamb alors que le mode de compression au niveau du flan. Les simulations ont montré une parfaite équivalence entre le système
pilier sur plaque et le système modèle d’un cylindre isolé. Ceci permet de voir le système
pilier sur plaque comme une masse posé sur un ressort attaché à la surface.
L’étude des relations de phases entre le sommet du pilier, l’onde incidente et l’onde réémise a mis en évidence la possibilité de produire une interférence destructive dans le champ transmis à résonance de flexion et de compression, se traduisant macroscopique-ment par une description en terme de masse volumique ou de compressibilité effective négative.
Le pilier φ100, possédant une unique fréquence de résonance pour les modes F1 et C0, s’est révélé être une cellule élémentaire métamatériau possédant une double négativité pour les ondes de Lamb A0.
Finalement des structures formées de ligne de piliers ont été fabriquées afin de construire l’effet des ondelettes (principe de Huygens-Fresnel). Une ligne constituée de piliers de dia-mètre φ50 présente un bandegap autour de 6MHz d’environ −15dB pour une épaisseur dix fois plus petite que la longueur d’onde. La ligne de piliers de diamètre φ150 a permis de vérifier l’impact de F0 et de constater que le mélange de modes peut conduire à des effets tels que l’anti-résonance.
L’une des caractéristiques recherchée pour le métamatériau est qu’il doit pouvoir être accordable en fréquence, et fonctionner sur une large gamme de fréquences. La configura-tion « pilier » autorise potentiellement ce genre d’amélioraconfigura-tion en envisageant par exemple d’échauffer la surface du sommet du pilier pour modifier la fréquence de résonance et ainsi décaler le bandgap, voir l’élargir dans le cas d’un mélange de modes.
Conclusion générale
La propagation des ondes et leur contrôle est un enjeu majeur. Les applications couvrent des domaines allant de la santé à la défense en passant par les télécommunica-tions ou encore le bâtiment. Une onde mécanique est le résultat d’un processus de couplage entre un état de cisaillement sans changement de volume et un état avec changement de volume sans cisaillement. Ce résultat de la théorie de l’élasticité découle directement du théorème de Helmholtz pouvant s’appliquer à la fonction d’onde nécessairement d’éner-gie finie. Finalement ce résultat se généralise à toutes les ondes et il a pour application majeur qu’un contrôle efficace de la propagation passe par la mise en place de deux états de vibration. Si l’on est capable de modifier localement l’état avec changement de volume puis l’état sans changement de volume, on modifie alors à souhait la propagation. C’est ce phénomène qui a été utilisé avec le premier métamatériau optique. Il fut le résultat de l’assemblage d’une boucle de courant avec une antenne microscopique permettant de modifier par la réémission d’une onde secondaire le rayonnement incident. Pour atteindre ce résultat, il fut nécessaire de trouver des éléments électromagnétiques résonants avec des tailles caractéristiques plus petites que la longueur d’onde rayonnée. L’invention de la boucle SRR conduisit au concept de métamatériau en ce sens qu’il est le produit d’une fabrication contrôlée d’un assemblage de résonateurs répondant à des besoins précis. Il dépasse le cristal photonique par le fait que ses motifs résonnent en dessous de la longueur d’onde de l’onde se propageant dans le milieu.
Le projet ANR METACTIF a pour objectif la conception et la caractérisation d’un métamatériau acoustique. C’est dans ce projet que s’est inscrit cette thèse.
La problématique du projet peut se résumer en constatant que l’expression de la vitesse de propagation des ondes dans les solides n’interdit pas à la masse volumique et à la compressibilité d’être toutes deux négatives. Comment concevoir un matériau dans lequel la masse volumique et la compressibilité effectives seraient toutes les deux négatives vis-à-vis d’une onde se propageant dans le milieu ?
L’approche mise en place pour fabriquer un métamatériau pour les ondes élastiques fut d’adopter la démarche consistant à étudier les propriétés de cellules mécaniques élé-mentaires puis de les assembler afin d’obtenir les propriétés souhaitées.Concrètement, il s’agissait d’étudier l’interaction d’une onde de Lamb avec un résonateur mécanique. L’étude a été restreinte au cas 2D des ondes de Lamb dans les plaques de silicium, pour des domaines de fréquences allant de 1MHz à 10MHz.
Deux structures ont été proposées : des paires de trous et des piliers sur silicium. Les paires de trous sont utilisées dans les cristaux phononiques, les lentilles à gradient d’indice : elle présentait un fort potentiel. Elles ont été étudiées à la suite d’une étude s’inscrivant dans le cadre de l’interaction acousto-optique. À cette occasion, la dynamique de formation des modes d’une cavité a été étudiée et analysée. Les propriétés du bandgap
ont été interprétées en termes de réflexion de Bragg grâce au comportement résonant de la paire de trous, identifié comme cellule élémentaire du cristal. Il est finalement ressorti que le déphasage de l’onde réémise par la paire était constant autour de la fréquence de résonance, égale à π
2. Ne répondant pas au critère d’homogénéisation exigé par le projet, cette structure aura permis de définir le cahier des charges d’une cellule métamatériau, à savoir d’être homogénéisable à résonance afin de permettre l’obtention d’un comportant soit « bandgap » dans le cas d’une simple négativité, soit de transmission retrouvée avec déphasage de π du signal transmis par rapport à l’onde incidente dans le cas d’une double négativité.
La seconde structure proposée pour atteindre le métamatériau acoustique fut le sys-tème pilier de silicium sur silicium. Ce syssys-tème présente l’avantage de ne pas être matériau dépendant, d’être simple à fabriquer dans de grandes quantités, et de faire l’objet d’une riche littérature exposant les potentialités de ce type de structure. L’étude de la diffusion a consisté à établir les relations de phase entre l’onde incidente, le champ rayonné et le pilier isolé. Sachant que les régimes de diffusion dépendent fortement de la fréquence, et notamment des fréquences de résonance de la structure, une première étude du gain du pilier fut menée. Pour pouvoir y arriver, il s’est avéré nécessaire de travailler en im-pulsionnel (source blanche acoustique) et d’établir le minimum de points de mesure pour obtenir l’information. Grâce aux simulations numériques, il fut démontré que deux points suffisaient, rendant ainsi possible l’étude d’environ 60 piliers isolés sur plaques de silicium. Cette étude a permis d’établir les relations entre les fréquences de résonance et le dia-mètre, la hauteur et l’épaisseur du système, et a révélé une anomalie de verticalité liée à la gravure par technique DRIE. Cette anomalie s’est traduite par la gravure de piliers en forme de cône avec l’apparition d’un diamètre limite, limitant l’homogénéisation au cas du pilier φ50 (facteur 10). L’étude de l’interaction d’une onde de type A0 et S0 pour des fréquences entre 0MHz et 10MHz a permis de mettre en évidence un mécanisme responsable de la modification du champ transmis. L’onde incidente traverse le pilier pra-tiquement sans céder d’énergie à celui-ci. À résonance, le gain du pilier est maximal. Le pilier est alors dans un état de survibration qui se traduit par la réémission d’une onde de symétrie identique à sa vibration. Dans le cas d’une vibration polaire (mode de compres-sion) l’onde réémise est circulaire. Dans le cas d’une vibration de flexion, l’onde réémise est dipolaire. Ce mécanisme de réémission est commun à de nombreux phénomènes de diffusion, dont celui d’une onde électromagnétique sur un atome. Finalement, l’analyse des vibrations du pilier permet de conclure que celui-ci possède un comportement vis-à-vis de l’onde incidente analogue à un système masse-ressort (oscillateur harmonique) qui rayonne une onde par couplage avec la plaque. Ce terme de couplage est responsable d’une diminution des fréquences de résonance par rapport aux fréquences propres théoriques d’un cylindre plein en silicium.
Bien que l’origine profonde des résonances mécaniques n’ait pas été étudiée en détail, l’ondelette identifiée a permis d’envisager quelques applications simples et efficaces pour un premier contrôle de la propagation. Le système proposé fut une ligne de piliers ordon-nés. En effet, d’après le principe d’Huygens-Fresnel, ce type de système devait permettre de produire une onde plane de phase égale à celle des ondelettes la constituant. C’est bien ce qui a été observé. La ligne s’est révélée être une barrière sonore de trois à dix fois plus petite que la longueur d’onde et avec un taux de transmission inférieur à 20%. Avec l’angle, cette ligne s’est révélée être un miroir acoustique quasi parfait. Lors de l’étude,
un phénomène d’anti-résonance a été observé avec une exaltation de la réflectivité de la ligne, faisant chuter le taux de transmission en dessous de 10%.
Au vue de l’ensemble des résultats sur le pilier, celui-ci peut être qualifié de cellule élémentaire métamatériau à compressibilité effective négative lorsqu’il vibre sur son mode de compression (changement de volume) et à masse effective négative lorsqu’il vibre sur son mode de flexion. Lorsqu’il vibre à la fois sur un mode de compression et sur un mode de flexion (cas du pilier φ100), il permet de retrouver la propagation avec un signal transmis en opposition de phase par rapport à l’onde incidente : ce système peut donc être considéré comme une première brique élémentaire vers un métamatériau 2D pour les ondes élastiques de Lamb de type A0.
Remerciements
Chaleureux remerciements à mon directeur de thèse, M. Bernard Bonello, et à tous les membres de l’équipe Acoustique pour les Nanosciences de l’Institut des Nanosciences de Paris pour leur aide et encadrement au cours de cette thèse.
Sincères remerciements à M. Bahram Djafari-Rouhani, professeur des Universités, et aux membres de son équipe de l’Université Lille 1 pour leur collaboration à la partie simulation numérique du projet.
Remerciements également à l’ensemble de l’équipe de la salle blanche MIMENTO de l’Institut Femto-St de Besançon pour leur accueil et leur aide à la gravure lors de la fabrication des échantillons sur wafer de silicium.
Merci également au centre national de la recherche scientifique et à la direction gé-nérale de l’armement pour leur soutien dans le cadre du programme ANR METACTIF dans lequel s’inscrit ce travail de thèse.
Annexe A
Traitement du signal
Cette annexe présente les principaux programmes développés durant la thèse pour l’analyse des signaux. Leur fonctionnement est illustré sur l’exemple simple d’un paquet d’ondes gaussien bruité numériquement.
Au cours de la thèse, le traitement du signal a été réalisé dans l’environnement de travail IPython [117] qui offre les avantages majeurs de pouvoir utiliser de nombreux langages informatiques, de conserver une trace du travail réalisé dans une page HTML et de permettre de nouvelles exploitations du travail de façon très simple ; le tout dans un environnement agréable tournant sur serveur.
A.1 Génération de deux tableaux pour l’illustration
du fonctionnement des programmes
Il s’agit de générer un paquet d’ondes gaussien de fréquence centrale ν0 = 5MHz, de largeur à mi-hauteur ∆ν = 0.5MHz, avec une vitesse de phase de Vφ= 3000m.s−1 et de groupe Vg = 5000m.s−1. Ces valeurs sont très proches de celles d’un paquet d’ondes de type A0 sur silicium.
Numériquement, il est possible de générer un bruit blanc en fréquence à l’aide de la fonction semi-aléatoire random.normal de la bibliothèque Numpy.
On créé deux tableaux, l’un de référence noté M, l’autre noté MN correspondant au tableau M bruité. Les fonctions de traitement du signal seront appliquées sur le tableau bruité MN et les résultats comparés aux données de M. Ces tableaux contiennent 32 colonnes. La première correspond à la base de temps, les autres aux mesures du déplacement en différents points de l’espace.