Models d’ensenyament dels nombres enters

A l’hora de portar a l’aula els nombres enters actualment es segueixen diferents estrat`egies que sovint es combinen. A grans trets, segons Arcavi i Bruckheimer (1981, pp 31-33).

• Repetici´o de models d’operacions: es defineixen les regles d’operativitat i s’apliquen sense justificaci´o de cap mena. La repetici´o rutin`aria de les operacions es considera que ´es el cam´ı cap a l’aprenentatge.

• Procediments inductius: basats en la descoberta i extensi´o (extrapolaci´o) de patrons.

• Procediments deductius: fonamentats en el principi de perman`encia de les lleis formals (Peacock, Hankel). Suposem que les lleis d’operativitat v`alides pels nombres naturals han de romandre v`alides en el sistema num`eric est`es. Aix`o implica mantenir les propietats en aquest sistema.

• Procediments sustentats en models referits a la vida quotidiana com poden ser moviments, despla¸caments vectorials,. . .

• Presentaci´o axiom`atic-formal: a partir de la definici´o dels enters com a classes d’equival`encia de parells ordenats de nombres naturals.

Segons Arcavi i Bruckheimer (1981) cap de les estrat`egies anteriors ´es determinant a l’hora d’aconseguir un millor aprenentatge per part de l’alumnat, com diuen a l’article citat:

To our surprise, after allowing (statistically) for initial differences between classes there was no (significant) difference in achievement between students learning by the various approaches.

Overall, all classes reached mastery (80% and above on the post-test). Further, no significant differences in attitude to the topic were found.(p. 32)

De fet l’ensenyament dels nombres enters, especialment la multiplicaci´o d’un negatiu per un negatiu, sempre ha estat objecte de dificultats d’ensenyament, justificaci´o i demostraci´o com apunta G´omez (2001). Aquest autor classifica la justificaci´o de la regla en sis categories que situa en el temps i a trav´es de diversos matem`atics:

• La regla sense justificaci´o. A l’`epoca de Diofant (segle III) hi ha const`ancia de l’aparici´o de nombres negatius tot i que ell mateix els rebutjava. Les equacions del tipusx+ 4 = 0 no les considerava resolubles. De tota manera, s´ı enuncia una regla dels signes pel producte de dues difer`encies:

El que ´es el que falta multiplicat pel que ´es el que falta d´ona el que ´es positiu; mentre que el que ´es el que falta multiplicat pel que ´es positiu, d´ona el que falta (Diofant, llibre I).

(G´omez, 2001, p.291)

En la mateixa l´ınia del que hem apuntat anteriorment de Bramaghupta (628) que ja utilitzava els negatius, el zero i explicita les regles per operar amb negatius. Per`o els `arabs nom´es consideraven solucions positives; tot i con`eixer les regles per operar amb negatius, nom´es les aplicaven a restes indicades amb soluci´o positiva.

• La justificaci´o de la regla en el marc de les restes indicades amb soluci´o positiva. Durant el Renaixement els matem`atics mostren diferents maneres d’afrontar els c`alculs amb negatius.

En aquesta `epoca els c`alculs amb negatius encara s’associaven, b`asicament, a les restes indicades amb justificaci´o negativa. En aquest context s’emmarca laJustificaci´o per doble comprovaci´o de Stevin (1625). Consisteix en enunciar la regla, aplicar-la a un exemple i veure que per un altre cam´ı s’arriba al mateix resultat. Stevin ho completa amb una interpretaci´o geom`etrica de la regla dels signes a partir de la descomposici´o d’un rectangle gran en diversos de m´es petits.

Teorema

M´es multiplicat per m´es, d´ona com a producte m´es; menys multiplicat per menys, d´ona producte m´es; m´es multiplicat per menys o menys multiplicat per m´es, d´ona producte

menys.

• La justificaci´o de la regla en el marc de les quantitats negatives a¨ıllades. Aquest tipus de justificacions apareixen cap al segle XVII quan l’´us generalitzat de l’`algebra fa que es treballi de manera m´es habitual amb quantitats negatives a¨ıllades. En aquest marc podem situar les justificacions seg¨uents:

i) Justificaci´o per eliminaci´o d’Euler (Elements d’ `Algebra, 1770). L’argumentaci´o parteix d’interpretar els negatius com a deutes, considerar que la multiplicaci´o de quantitats amb signe ´es commutativa i raonar per eliminaci´o: −aper −bser`a abperqu`e no pot ser−abque ´es el resultat de−aperb.

ii) Justificaci´o en coher`encia amb la propietat distributiva de Mac-Laurin (Tractat d’`algebra, 1748). L’argumentaci´o parteix de si

a−a= 0 per coher`encia amb la propietat distributiva

0 =n(a−a)⇒0 =na−na

per tant cal que al multiplicarn·a=nasigui l’Operacions den· −a=−naperqu`e es mantingui el resultat. En aquest cas ´es important ressaltar l’´us de raonaments formals.

iii) Justificaci´o en coher`encia amb la propietat distributiva de Laplace (lli¸cons del’ ´Ecole normale de l’any III (1795, p. 62)). Mant´e la interpretaci´o dels negatius en termes de deutes per`o introdueix aspectes formals en la seva justificaci´o, recorrent a la conservaci´o de la coher`encia de les operacions suma, multiplicaci´o i la propietat distributiva del producte respecte de la suma.

En cuanto al signo del producto, debe ser positivo si los signos del multiplicando y del multiplicador son los mismos, si son diferentes, el signo del producto debe ser negativo. Esta regla presenta algunas dificultades: cuesta concebir que el producto de

−apor−b sea el mismo que el deaporb. Para hacer sensible esta identidad, observaremos que el producto de −apor+b, es−ab, ya que este producto no es mas

que −arepetido tantas veces como unidades hay en b. En seguida observaremos que el producto de−apor+b−bes nulo, al ser nulo el multiplicador; as´ı siendo−ab el producto de−apor+b, el producto de −a por−b, debe ser de un signo contrario, o

igual a+ab, para destruirlo. (G´omez, 2011, p. 297)

iv) Justificaci´o a partir de la definici´o de producte dels signes de Cauchy (Curs d’An`alisi.

1^a (1821, pp. 2 i 403)). Partint de la distinci´o entre quantitats algebraiques (les que anaven acompanyades d’un signe que fa d’adjectivador) i quantitats aritm`etiques (les que ´unicament assignaven un valor num`eric) fa una argumentaci´o introduint la idea de producte de signes: “Multiplicar un signo por otro, es formar su producto.” (G´omez, op.cit., p.297) i d’aqu´ı enuncia i demostra el seg¨uent teorema:

“El producto de dos signos semejantes es siempre+, y el producto de dos signos opuestos es siempre−.”(G´omez, op.cit., p. 297)

v) Justificaci´o des de la definici´o del producte per un nombre negatiu de Wentworth i Smith (s`erie per a escolars de 1900). Mant´e la interpretaci´o dels nombres positius i negatius en el context de guanys i deutes. Basant-se en la conservaci´o de la coher`encia de la propietat conmutativa obt´e la regla dels signes. Basa el seu raonament en que si alg´u deu 3 euros, ´es a dir −3 i duplica el seu deute tindrem

−3·2 que haur`a de ser el mateix que el resultat de

2· −3 .

vi) Justificaci´o en coher`encia amb la propietat distributiva, sense fer cap suposici´o sobre qu`e s´on els nombres negatius de Crowley i Dunn (Mathematics Teacher, 1985). Entre d’altres demostracions hi ha una alternativa formal a la demostraci´o de Laplace:

(−1)(−1) = (−1)(−1) + (0)(1) = (−1)(−1) + ((−1 + 1)(1)) =

= (−1)(−1) + (−1)(1) + (1)(1) = (−1)(−1 + 1) + (1)(1) =

= (−1)(0) + (1)(1) = (1)(1) (G´omez, p.298).

L’´us alternatiu de la propietat distributiva i de l’extracci´o de factor com´u porten a concloure que (−1)(−1) = (1)(1) i en conseq¨u`encia− · −´es +.

• La justificaci´o de la regla en el marc en qu`e s’eviten les quantitats negatives a¨ıllades. Aquest tipus de justificacions es centren en el fet que els nombres negatius s´on quantitats que cal restar evitant la interpretaci´o que s´on quantitats m´es petites que zero.

i) Justificaci´o a partir de la definici´o de multiplicaci´o per negatiu de D’Alembert (a l’article Negatiu aparegut a l’enciclop`edia de Diderot, s.XVIII). Parteix del fet que les quantitats negatives indiquen quantitats positives per`o en un problema mal formulat.

Multiplicar per una quantitat negativa, per ell, ´es restar tantes vegades com indica la quantitat. Raonant en aquesta direcci´o justifica la regla dels signes (G´omez, op.cit., p.299).

ii) Justificaci´o a partir de la definici´o de multiplicaci´o per negatiu de Lacroix (Curs complet elemental de Matem`atiques Pures, 6a edici´o, 1846). Parteix de la idea que la multiplicaci´o algebraica i l’aritm`etica ´es el mateix i que les quantitats negatives s´on el resultat de restar una quantitat m´es gran de la que es t´e. Treballa amb productes del tipus

(a−b)(c−d) (G´omez, op.cit., p.300).

iii) Justificaci´o a partir de la definici´o de multiplicaci´o algebraica de Vallejo (Tratado Elemental de Matem´aticas, 1841, pp.185-199). Basa la seva justificaci´o en dos punts:

(a) “Las cantidades negativas son una manera de ser de las cantidades algebraicas contraria al prop´osito que se propone en la cuesti´on.”

(b) “Multiplicar en ´Algebra es tomar una cantidad tantas veces como diga otra; y tomarla del mismo modo que se diga se debe tomar.”

L’aplicaci´o d’aquests dos punts li permet justificar la regla dels signes (G´omez, op.cit., pp. 300, 301). Diversos autors espanyols, com Picatoste (1907), Miguel i Gonz´alez (1931) i Mataix (1941), van utilitzar aquest model.

• La justificaci´o de la regla en el marc de la teoria de parells ordenats. S’emmarca en el proc´es d’evoluci´o de les matem`atiques amb la conseq¨uent re-definici´o dels conceptes de n´umero i operacions, independents de la realitat f´ısica. En aquesta l´ınia tenim Roanes (Did´actica de las Matem´aticas, 1976, pp. 274-293), que argumenta a partir de la definici´o de nombres enters com a classes d’equival`encia de parells ordenats a N∪ {0} x N∪ {0}. En aquest conjunt defineix la relaci´o d’equival`encia

(a, b)∼(c, d)⇐⇒a+d=b+c i les operacions:

1. Suma: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

2. Multiplicaci´o: (a, b)x(c, d) = (ac+bd, ad+bc)

La regla dels signes ´es conseq¨u`encia de l’estructura constru¨ıda:

(N∪ {0}xN∪ {0}) /∼ ≡Z,

on (p,0) i (r,0) s´on representants can`onics de nombres positius i (0, t) i (0, q) ´es el representant can`onic d’un nombre negatiu, els seus productes

(p,0)·(r,0) = (p·r+ 0·0, p·0 + 0·r) = (pr,0)

´

es el representant d’un nombre positiu,

(p,0)·(0, q) = (p·0 + 0·q, p·q+ 0·0) = (0, pq)

´

es el representant d’un nombre negatiu,

(0, q)·(0, t) = (0·0 +q·t,0·t+t·0) = (qt,0)

´

es el representant d’un nombre positiu i,

(0, q)·(p,0) = (0·p+q·0,0·0 +q·p) = (0, qp)

´

es el representant d’un nombre negatiu.

Per tant tenim la regla dels signes en termes de parells ordenats que es pot estendre a l’´us dels nombres enters.

• La justificaci´o de la regla en el marc de les modelitzacions intu¨ıtives. Durant el segle XX es van utilitzar justificacions m´es lligades a les modelitzacions f´ısica, geom`etrica o num`erica que permetessin trobar relacions m´es properes a les experi`encies personals dels estudiants.

i) Justificaci´o des de la modelitzaci´o geom`etrica sobre rectangles de Klein (Matem´atica elemental desde un punto de vista superior, 1908.)

Figura 1.1: Rectangles de Klein.

La imatge de la Figura 1.1 ens mostra gr`aficament la justificaci´o. Si a partir del rectangle de costats a i c considerem el de costats a−b i c −d, aquest nombres representen una quantitat positiva que correspon a l’`area (a−b)·(c−d). Per recuperar aquesta `area a partir del rectangle original restem les `areesb·c ia·d, al fer-ho hem restat dues vegades l’`area b·d. Aleshores per recuperar l’`area desitjada cal tornar a sumar b·d, que ´es l’`area resultant de dues quantitats que restaven als costats a i c.

En conseq¨u`encia el producte de dos negatius ´es un positiu. Aquesta justificaci´o va en la l´ınia de la de Stevin (G´omez, op.cit., pp. 303 i 304).

ii) Justificaci´o des de la modelitzaci´o f´ısica sobre despla¸caments de Rey Pastor i Puig Adam (Nociones de ´algebra y trigonometria, 1946, pp. 19 i 20). Basen la seva justificaci´o en el despla¸cament d’un objecte o persona situat sobre el zero en una recta graduada: un moviment a l’esquerra es considera negatiu i a la dreta positiu; el temps passat es considera negatiu i el futur positiu (G´omez, op.cit., pp. 304 i 305).

La regla dels signes apareix a l’hora d’estudiar diferents situacions en aquest model.

iii) Justificaci´o des de la modelitzaci´o geom`etrica sobre la l´ınia num`erica de “El obrero mec´anico” (1938, pp. 263-266). Es modelitzen els nombres enters sobre una recta num`erica, eix, a partir d’un punt origen i el producte per −1 converteix un nombre en el seu sim`etric. Les operacions amb segments sobre la recta num`erica justifiquen la regla dels signes (G´omez, op.cit., pp. 305 i 306).

iv) Justificaci´o des de la modelitzaci´o num`erica, Crowley i Dunn (Mathematics Teacher, 1985). Consisteix en entrenar un patr´o num`eric que permeti anar descobrint les regles d’operativitat amb positius i negatius (G´omez, op.cit., p. 306) en la l´ınia que proposa Arcavi (1981) d’entrenament de les operacions.