Arcavi i Bruckheimer (1981)

Centren el seu estudi en comparar diversos m`etodes de presentar i ensenyar la multiplicaci´o de nombres negatius perqu`e troben a faltar valoracions sobre l’efectivitat dels utilitzats.

“Minus times minus gives plus” is often a dangerous stumbling block. This particular operation is usually one of the first non-intuive concepts met by students in school.

(Klein, 1924, pp. 23-28)

Arcavi i Bruckheimer comencen fent una revisi´o i classificaci´o dels principals m`etodes emprats per introduir la multiplicaci´o de nombres enters per a partir d’un estudi posterior, realitzat amb estudiants de Grau 7, comparar-los i veure si algun ha estat m´es efectiu que els altres. La seva classificaci´o el porta a distingir cinc categories, fixant-se sobretot en els conceptes essencials que es treballen i en l’estructura did`actica, sense fer cas dels detalls que poden introduir-se. Aquestes categories estan basades en:

1. ´Us de rutines: El procediment consisteix en definir les regles de multiplicaci´o, sense motivaci´o ni justificaci´o

+·+ = + +· −= +

− ·+ = +

− · −= +

els alumnes memoritzen les regles i les entrenen fent exercicis. En aquest punt es pregunten:

(a) La presentaci´o d’una regla per repetici´o, afecta l’actitud de l’estudiant cap a les matem`atiques?

(b) El principal objectiu d’aprendre, “menys per menys ´es m´es”, ´es nom´es el domini de les habilitats de c`alcul, o hi ha m´es en joc?

(c) Hi ha d’altres implicacions matem`atiques, en la manera en qu`e un contingut s’apr`en?

2. Inducci´o: En aquest cas el principi b`asic d’aquest m`etode consisteix en el descobriment i extensi´o de patrons. En aquest cas separen tres variants:

2.1 Basats en l’isomorfisme entre els nombres positius i els naturals. S’elabora una seq¨u`encia de productes que porta a la multiplicaci´o de dos negatius. Per exemple:

(+4)·(+2) = (+3)·(+4) = (−3)·(+4) =

(+3)·(+2) = (+3)·(+3) = (−3)·(+3) =

(+2)·(+2) = (+3)·(+2) = (−3)·(+2) =

(+1)·(+2) = (+3)·(+1) = (−3)·(+1) =

(−1)·(+2) = (+3)·(−1) = (−3)·(−1) =

(−2)·(+2) = (+3)·(−1) = (−3)·(−2) =

Aquest m`etode apareix en for¸ca textos del segles XVIII i XIX, Saunderson (1741) i Euler (1828), i tamb´e a Peterson (1972).

2.2 Una variaci´o consisteix en utilitzar les taules de multiplicar enlloc de les seq¨u`encies de productes. L’alumne va completant quatre regions corresponents als quatre casos que es poden donar al multiplicar nombres enters. Per cada una de les regions n’extreuen patrons que poden estendre en els seus ve¨ınats. Aquest model es pot trobar a MME (1974) Midlands Mathematical Experiment i Sicklick (1975).

2.3 Fent ´us dels eixos de coordenades cartesianes. Lliga la intu¨ıci´o dels alumnes i la inducci´o:

ha d’inferir les regles per extensi´o de patrons que ell mateix ha trobat i posteriorment generalitzar des dels exemples num`erics a les regles generals. Com es mostra a la Figura 1.4.

Figura 1.4: Deducci´o del producte per negatius.

Segons Arcavi i Bruckheimer aquest acostament t´e for¸ca caracter´ıstiques comunes a l’activitat matem`atica genu¨ına que Polya (1973) anomena raonament heur´ıstic. Els avantatges d’aquest acostament queden paleses en aquest text:

... it’s easier to understand than the physical analogies and is readily teachable to all age and ability levels, with only minor modifications. Moreover, the student uses the study of number patterns and relations to discover a new result. He does not resort to reasoning about non-mathematical entities to discover a mathematical relation. Third, the student

has the opportunity to gain some insight into the process of mathematical creation . . . Last and by no mean least, the student is forced to practice his arithmetical skills to

complete the table. (Dubisch, 1963, pp. 31-33)

3. Deducci´o: Aquesta aproximaci´o es fonamenta en el Principi de Perman`encia de les lleis formals: ... by virtute of which we are involuntarily inclined to employ rules under circumstances more general than are warranted by the specia cases under which the rules are derived and have validity. (Klein, 1924, pp. 23-28) Les propietats observades pels naturals s’han de conservar v`alides pels enters i d’aqu´ı se’n dedueixen les regles. Euler (1828) comen¸ca amb el model de deutes i raona de forma semi-deductiva a trav´es de la propietat commutativa i de les lleis de cancel·laci´o, sense fer-ne refer`encia expl´ıcita. Concloent que− · −= +.

Tamb´e comenten que Dubisch (1963) utilitza un argument similar per`o modernitzant l’argument. El proc´es que segueix ´es:

a) Defineix la multiplicaci´o com a repetici´o de sumes.

b) Utilitza la propietat commutativa.

c) Utilitza la llei de cancel·laci´o i d´ona les regles d’operativitat.

Per acabar apunten que es pot fer prenent com a base la propietat distributiva:

(+2)·0 = 0

(+2)·[(+3) + (−3)] = 0 (+2)·(+3) + (+2)·(−3) = 0

(+6)+ ? = 0

i per tant ? nom´es pot ser−6, en aquest proc´es tamb´e es t´e amb compte la unicitat. Aquest m`etode ´es utilitzat per SMSG - School Mathematics Study Group- (1960) i Skemp (1970).

4. Models: Comenten que, tot i ser molt utilitzat en els llibres de text, no hi ha un model que cobreixi totes les propietats dels enters de forma clara. Pel que fa a la multiplicaci´o, que ´es el que Arcavi i Bruckheimer treballen en aquest article, detallen tres tipus de models:

I. Models que treballen amb els signes sense cap tipus de relaci´o convincent cap a la multiplicaci´o. Per exemple, “en una ciutat hi ha bones (+) i males (−) persones, a la ciutat poden entrar (+) o sortir (−)”, aleshores,

bona persona (+) entra (+) −→ (+) bona persona (+) surt (−) −→ (−) mala persona (−) entra (+) −→ (−) mala persona (−) surt (−) −→ (+)

II. Models que treballen amb el signe i el valor absolut del resultat. Per exemple, tenim un projector que pot anar endavant (+) o endarrere (−) i un dip`osit amb una bomba que permet posar (+) o treure (−) aigua. A m´es sabem que la bomba mou 3 litres d’aigua per minut. Aleshores, si gravem durant dos minuts i fem anar la pel·l´ıcula endavant i endarrere

posar aigua (+) projectar endavant (+) −→ augmenta 6 litres (+) posar aigua (+) projectar endarrere (−) −→ disminueix 6 litres (−) treure aigua (−) projectar endavant (+) −→ disminueix 6 litres (−) treure aigua (−) projectar endarrere (−) −→ augmenta 6 litres (+) Aquest model el podem trobar a Gardner (1977) i Peterson (1972).

III. Models que utilitzen la recta num`erica i vectors que representen els n´umeros (despla¸caments). En aquest cas,

I. multiplicar per un positiu ´es allargar mantenint la direcci´o, II. multiplicar per un negatiu ´es allargar en direcci´o contr`aria.

Model implementat per SMP (1966) School Mathematics Study Group i Cable (1971).

5. Presentaci´o axiom`atica-formal: Aquest procediment s’implementa, sobretot, en l’`ambit universitari tot i que apunta a diferents autors que tamb´e l’han aplicat a secund`aria, Coltharp (1966), Mandsfield i Thompson (1967) i Fletcher (1976), sempre emmarcats en el context de l’aplicaci´o de l’anomenada Matem`atica moderna a l’educaci´o matem`atica dels anys 60’s del segle XX. Aquesta introducci´o es fonamenta en la representaci´o dels nombres enters com a parells ordenats relacionats per la relaci´o d’equival`encia:

(a, b)∼(c, d)⇐⇒a+d=b+c

i es defineix la multiplicaci´o

(a, b)x(c, d) = (ac+bd, ad+bc) la regla dels signes n’´es, directament, una conseq¨u`encia formal.

Apunta que una altra aproximaci´o matem`atica feta amb rigor es pot trobar a Landau (1951).

A l’hora de fer l’estudi nom´es van utilitzar els quatre primers m`etodes per introduir la multiplicaci´o d’enters.

L’estudi es va realitzar durant els anys 1979 i 1980. Arcavi i Bruckheimer van preparar un estudi per valorar quin dels quatres primers m`etodes aportava millors resultats en l’aprenentatge de la multiplicaci´o d’enters. Per aix`o van preparar quatre unitats did`actiques, una amb cada m`etode, per fer la introducci´o a 32 classes de set`e grau. Cada aproximaci´o es va valorar a partir de q¨uestionaris d’assoliment i d’actitud. Per a sorpresa dels investigadors, incl´us atenent a la diversitat inicials entre classes, no hi havia difer`encia significativa en l’assoliment dels objectius prOperacionss entre els estudiants que havien treballat la multiplicaci´o dels enters a partir dels diferents acostaments. En general, m´es d’un 80% aconseguien superar el test al final de l’aprenentatge, sense haver apreciat difer`encies significatives entre l’actitud dels estudiants a l’aula. La primera conclusi´o, que van estar temptats a fer, va ser que l’aproximaci´o era irrellevant i que es podia escollir a gust del professor. De tota manera ells mateixos apuntaven que aquesta valoraci´o podria ser precipitada i que caldria un estudi m´es profund per poder-la fer. En una segona an`alisi, conclo¨ıen que, potser la presentaci´o feta quedava invalidada pels exercicis prOperacionss al final de la unitat, que eren molt extensos i els mateixos per a tots els estudiants. Per tant, podien fer una segona hip`otesi, que amb uns exercicis apropiats la manera de presentar la multiplicaci´o d’enters era irrellevant. Un test que es va passar als alumnes 4 mesos despr´es donava resultats similars. Com a conclusi´o final deien que, potser, com a desenvolupadors de curr´ıculum no cal ser tan r´ıgids sobre les opinions formulades respecte a unes o d’altres aproximacions.