3.2 Mod´ elisation de la turbulence
3.2.3 Mod´ elisation sous-maille de la turbulence (SGE)
Par ailleurs, on sait que la viscosit´e turbulente dans le mod`ele de Wilcox s’´ecrit comme
νt= k
ω
Afin de prendre en compte l’hypoth`ese de Bradshaw dans les seules zones de l’´ecoulement avec gradient de pression adverse, Menter propose d’´ecrire la viscosit´e turbulente comme
νt= a1k
max(a1ω,Ω). (3.24)
De mani`ere `a limiter les modifications SST aux ´ecoulements proche paroi et `a garantir des r´esultats corrects sur une zone de m´elange, une fonction de m´elange F2 est introduite dans l’expression (3.24) qui devient finalement :
νt= a1k
max(a1ω,ΩF2) (3.25)
o`uF2 est d´efinie par
F2 = tanh " max 2 √ k β?ωy, 500ν y2ω !#2
Les simulations RANS effectu´ees dans les chapitres 5 et 6 du m´emoire feront syst´ematiquement appel au mod`ele k−ω SST dans la mesure o`u d’une part ce mod`ele est reconnu comme parti-culi`erement pr´ecis dans la classe des mod`eles `a deux ´equations de transport et o`u d’autre part ce mod`ele est ´egalement celui privil´egi´e par l’industriel Alstom Hydro dans les simulations RANS qu’il r´ealise.
3.2.3 Mod´elisation sous-maille de la turbulence (SGE)
Les mod`eles statistiques qui viennent d’ˆetre pr´esent´es sont fortement r´epandus dans le milieu industriel ´etant donn´e leur robustesse et le (relativement) faible coˆut de calcul associ´e `a leur mise en œuvre. Cependant, il est ´etabli que la pr´ecision des mod`eles statistiques est d´ependante de l’´ecoulement consid´er´e. Il est en effet difficile de proposer un mod`ele statistique universel tant
le champ fluctuant, qui doit ˆetre mod´elis´e, d´epend de la dynamique de l’´ecoulement (pr´esence de recirculation, d’effets instationnaires, ...). De plus, ces approches ne donnent acc`es qu’au champ moyen de l’´ecoulement alors que l’analyse de l’´ecoulement peut n´ecessiter ´egalement une information instationnaire. Ainsi, une alternative a ´et´e propos´ee entre ces approches moyenn´ees et une approche SND encore inaccessible dans des configurations r´ealistes. Cette approche s’ap-puie sur l’interpr´etation de la turbulence en terme d’´echelles qui a ´et´e pr´ec´edemment ´evoqu´ee. En effet, il est admis que la dynamique de l’´ecoulement est principalement influenc´ee par les grands tourbillons (les grandes ´echelles) qui sont les plus ´energ´etiques. Les plus petits tour-billons (les petites ´echelles) ont un comportement plus isotrope et ont pour principal rˆole de “drainer” l’´energie turbulente jusqu’aux ´echelles dissipatives. La simulation des grandes ´echelles (SGE ou LES, pour Large Eddy Simulation) propose ainsi de ne simuler explicitement que les plus grandes ´echelles de la dynamique et de tenir compte de l’influence des petites ´echelles `a travers un mod`ele sous-maille. Le comportement isotrope des petites ´echelles mod´elis´ees permet de supposer que les mod`eles sous-maille peuvent ˆetre utilis´es de fa¸con universelle dans un grand nombre de configurations d’´ecoulements, sans ajustement.
3.2.3.1 S´eparation d’´echelles et ´equations filtr´ees
La s´eparation entre les grandes ´echelles r´esolues et les petites ´echelles mod´elis´ees se traduit par l’application d’un filtre passe-haut en ´echelle, not´e avec une barre sup´erieure dans la suite. On d´etermine ainsi une ´echelle de coupure, ∆, telle que les ´echelles du mouvement inf´erieures `a cette ´
echelle de coupure seront mod´elis´ees. La composante dans la direction xi du champ de vitesse instationnaire,ui(~x, t) se d´ecomposera donc en deux parties, la vitesse `a grande ´echelle, ¯ui(~x, t), construite avec les ´echelles du mouvement sup´erieures `a ∆ et la vitesse `a petite ´echelle, u00i(~x, t), construite avec les ´echelles du mouvement inf´erieures `a ∆,
ui(~x, t) = ¯ui(~x, t) +u00i(~x, t). (3.26)
Lors de simulations num´eriques utilisant l’approche LES, l’´echelle de coupure est le plus souvent consid´er´ee comme ´etant de l’ordre de la taille de la maille, on parle ainsi souvent d’´echelle sous-maille pour qualifier les ´echelles du mouvement plus petites que la coupure. Cette s´eparation d’´echelles est illustr´ee `a la figure 3.2, la d´ecomposition de Reynolds est ´egalement montr´ee pour comparaison. On voit ainsi que les plus grandes ´echelles du champ instantan´e sont explicitement retenues dans l’approche SGE.
Des d´etails sur l’op´erateur de filtrage peuvent ˆetre trouv´es dans diff´erentes r´ef´erences [130, 139]. Pr´ecisons ´egalement que, le plus souvent, le filtrage est r´ealis´e de mani`ere implicite, c’est-`a-dire que le filtrage est issu de la discr´etisation num´erique sur un maillage donn´e [58]. En consid´erant que le filtre est un op´erateur lin´eaire et qui commute avec les d´eriv´ees de fa¸con similaire `a l’op´erateur de moyenne (mais que contrairement `a cet op´erateur, il n’est pas n´ecessairement indempotent), les ´equations (3.1) et (3.2) peuvent ˆetre filtr´ees afin d’obtenir les ´equations dont les champs filtr´es de vitesse, ¯ui, et de pression, ¯p, sont solutions. On peut ainsi ´ecrire
∂u¯i ∂xi = 0 (3.27) ∂u¯i ∂t + ∂(¯uiu¯j) ∂xj =− 1 ρ ∂p¯ ∂xi +ν ∂2u¯i ∂xj∂xj − ∂τij ∂xj. (3.28)
De fa¸con analogue `a l’application de l’op´erateur de moyenne, le filtrage du terme non-lin´eaire d’advection fait apparaˆıtre un nouveau terme,τij =uiuj−u¯iu¯j, qui est le tenseur des contraintes sous-maille. Ce terme traduit l’influence des ´echelles sous-maille sur les ´echelles r´esolues. C’est ce terme qui doit ˆetre mod´elis´e en SGE.
(a) Approche SGE (b) Approche RANS
Figure3.2: D´ecomposition d’un signal instantan´e de vitesse,u(~x, t) (trait fin), pour l’approche RANS (droite) et SGE (gauche). Pour l’approche RANS, le signal de vitesse est d´ecompos´e selon la d´ecomposition de Reynolds en un signal de vitesse moyenne,hui(~x) (trait ´epais), qui est explicitement simul´e en RANS et les fluctuations de vitesse, u0(~x, t) (trait pointill´e), dont l’in-fluence est prise en compte `a travers un mod`ele statistique. Pour l’approche SGE, une s´eparation d’´echelles est faite entre la vitesse `a grande ´echelle, ¯u(~x, t) (trait ´epais), et la vitesse sous-maille,
u0(~x, t) (trait pointill´e), dont l’influence est prise en compte `a travers un mod`ele sous-maille.
3.2.3.2 Mod`ele de Smagorinsky dynamique
Diff´erentes strat´egies de mod´elisation ont ´et´e propos´ees pour le tenseur sous-maille [90, 130, 139]. Nous allons dans cette partie d´ecrire le mod`ele de Smagorinsky dynamique utilis´e dans la suite de ce travail. Comme nous l’avons vu, au niveau de l’´echelle de coupure, il se produit une redistribution de l’´energie aux plus petites ´echelles par des m´ecanismes non-lin´eaires. Le rˆole du mod`ele sous-maille est donc de mod´eliser ces transferts des grandes ´echelles vers les ´echelles sous-maille. D’une fa¸con analogue `a l’approche RANS, ce transfert d’´energie est mod´elis´e comme une dissipation via une viscosit´e fictive d´ependante de l’´ecoulement local, appel´ee viscosit´e sous-maille et not´eeνsm. Le tenseur sous-maille est donc mod´elis´e comme
τij −1
3τkkδij =−2νsmS¯ij (3.29) avec ¯Sij, le tenseur filtr´e des taux de d´eformation. L’´equation de transport de la quantit´e de mouvement r´esolue en SGE, ´equation (3.28) devient donc
∂u¯i ∂t + ∂(¯uiu¯j) ∂xj =− 1 ρ ∂p¯∗ ∂xi + ∂ ∂xj (ν+νsm)∂u¯i ∂xj (3.30)
o`u ¯p∗ = ¯p+ 1/3τkk est une pression modifi´ee. La viscosit´e sous-maille est alors ´evalu´ee via une hypoth`ese de longueur de m´elange qui estime cette viscosit´e comme le produit d’une vitesse par une longueur caract´eristique `a la coupure consid´er´ee. Il est naturel de choisir la longueur caract´eristique comme la taille du filtre, ∆. Les mod`eles de type viscosit´e sous-maille se dis-tinguent alors par le choix de la vitesse caract´eristique.
Partant de l’´equation d’´energie sous-maille (voir Sagaut [139], par exemple), on peut d´efinir le terme de transfert d’´energie entre ´echelles r´esolues et sous-maille (parfois ´egalement appel´e
terme de production), comme Psm =−τijS¯ij. On peut ´egalement d´efinir une dissipation sous-maille, sm. Par analogie aux r´esultats statistiques de turbulence homog`ene isotrope, la vitesse caract´eristique,u∗, `a l’´echelle de coupure consid´er´ee est estim´ee commesm∝u∗3/∆. Le mod`ele de Smagorinsky [144] est alors bas´e sur une hypoth`ese d’´equilibre local entre la production et la dissipation sous-maille3,Psm(~x, t)≈sm(~x, t). On en d´eduit ainsi queu∗3 ≈∆sm ≈ −τijS¯ij∆≈
2∆νsmS¯ijS¯ij. En rappelant queνsm ≈∆u∗, on en d´eduit l’expression de la viscosit´e sous-maille pour le mod`ele de Smagorinsky
νsm=Cs∆2|S|¯ (3.31)
o`u |S|¯ =
q
2 ¯SijS¯ij et o`uCs est un coefficient `a d´eterminer. L’expression du tenseur sous-maille devient finalement τij− 1 3τkkδij =uiuj−u¯iu¯j − 1 3(ukuk−u¯ku¯k)δij =−2Cs∆ 2|S|¯S¯ij (3.32)
Une proc´edure dynamique a ´et´e propos´ee pour d´eterminer le coefficient du mod`ele de Sma-gorinsky, conduisant ainsi au mod`ele de Smagorinsky dynamique [59, 92]. Le point de d´epart est d’utiliser un second filtre, not´e ˆ., typiquement de taille ˆ∆ = 2∆. La premi`ere ´etape de la proc´edure dynamique consiste `a filtrer l’´equation (3.32) avec ce second filtre
d uiuj−u¯diu¯j−1