Double crit` ere de maillage en SGE

4.1.3 Application `a la simulation d’un ´ecoulement turbulent en conduite . . . 63

4.2 Quantification d’incertitudes et validations RANS / SGE . . . . 64

4.2.1 Choix m´ethodologiques . . . . 64 4.2.2 Configuration d’un ´elargissement brusque . . . . 65 4.2.3 Validation usuelle des simulations num´eriques . . . . 66 4.2.4 Validation avec prise en compte des incertitudes d’entr´ee . . . . 67 4.2.4.1 M´ethodologie de propagation des incertitudes . . . . 67 4.2.4.2 Application de NISP `a la configuration d’´elargissement brusque 70

Nous avons r´eguli`erement utilis´e dans ce m´emoire le terme “fiabilit´e” et l’incluons mˆeme dans le titre du pr´esent chapitre. Il est intuitivement clair qu’une simulation sera consid´er´ee comme fiable si elle fournit une pr´ediction de quantit´es d’int´erˆet de l’´ecoulement (couple exerc´e sur une directrice dans le cas d’un distributeur, perte de charge entre l’entr´ee et la sortie d’un aspirateur) qui refl`ete fid`element, ou en tout cas avec une marge d’erreur qui peut ˆetre consid´er´ee comme acceptable, la r´ealit´e physique. D`es lors qu’un code de calcul, tel que l’un de ceux d´ecrits au chapitre pr´ec´edent, est mis en oeuvre pour r´ealiser une pr´ediction num´erique, des erreurs apparaissent qui sont donc susceptibles de nuire `a la fiabilit´e des r´esultats num´eriques. Par ailleurs, les r´esultats fournis par le code de calcul d´ependent ´egalement du mod`ele physique, tout particuli`erement dans nos cas d’´etude du choix de mod´elisation de la turbulence retenue (RANS / SGE). L’´evaluation de la fiabilit´e d’une simulation suppose donc :

– une ´etape dite de V´erification [156] qui consiste, ind´ependamment de toute confrontation `a la r´ealit´e physique et `a d’´eventuels r´esultats exp´erimentaux, `a v´erifier l’impl´ementation cor-recte des algorithmes mis en œuvre et la maˆıtrise des erreurs num´eriques (de discr´etisation en particulier) qui leur sont associ´ees ;

– une ´etape dite de Validation qui consiste `a confronter les r´esultats num´eriques `a la r´ealit´e physique afin de s’assurer en particulier que le mod`ele physique retenu (par exemple RANS ou SGE pour ce qui concerne la mod´elisation de la turbulence) est pertinent. Dans cette

´etape de validation, il est particuli`erement important de pouvoir inclure dans la com-paraison entre calcul et exp´erience les incertitudes pr´esentes dans la r´ealisation de cette exp´erience afin de disposer d’une comparaison aussi objective que possible. C’est `a ce niveau qu’intervient la d´emarche de propagation et de quantification d’incertitude qui va permettre de tenir compte dans la simulation de ces incertitudes par exemple sur les condi-tions d’entr´ee du calcul et de confronter in fine des r´esultats exp´erimentaux avec barres d’erreur `a des r´esultats num´eriques avec barres d’erreur.

Une revue tr`es compl`ete des concepts de “V´erification & Validation” ou “V & V” en abr´eg´e peut ˆetre trouv´ee dans l’ouvrage [118] ainsi que dans la r´ef´erence, un peu plus ancienne maintenant, [120]. Nous avons pour notre part r´ealis´e une courte synth`ese des principaux ´el´ements d’une d´emarche de V & V et renvoyons le lecteur int´eress´e par cette synth`ese `a l’annexe A. Dans le corps de ce rapport, nous nous limiterons `a souligner les deux points suivants, qui conduisent de fa¸con naturelle au contenu du pr´esent chapitre :

– le volet “impl´ementation correcte des algorithmes” est consid´er´e comme acquis dans la mesure o`u les deux codes utilis´es, OpenFOAM et YALES2, ont d´ej`a fait l’objet d’une telle v´erification. Le volet essentiel restant en mati`ere de v´erification est donc la maˆıtrise de l’erreur num´erique ou erreur de discr´etisation, directement li´ee `a la qualit´e et au raf-finement du maillage utilis´e pour les simulations. On doit plus pr´ecis´ement distinguer ici l’approche RANS et la SGE : une classique d´emarche de “convergence en maillage” sera syst´ematiquement adopt´ee pour les simulations RANS alors qu’une approche originale de crit`ere de qualit´e pour un maillage SGE sera propos´ee dans la premi`ere section de ce chapitre, consacr´ee donc `a la notion de v´erification en SGE.

– puisque la d´emarche de validation doit int´egrer pour ´etablir la fiabilit´e des simulations les incertitudes du probl`eme physique dans le calcul, nous d´ecrirons sur une configura-tion simplifi´ee d’aspirateur (repr´esentative du comportement d’un aspirateur de turbine `

a charge partielle comme indiqu´e par Nilsson [114]) la mise en œuvre de la d´emarche non-intrusive de quantification d’incertitude que nous appliquerons dans les chapitres qui suivent `a l’analyse d’un distributeur de turbine Francis et d’un aspirateur de turbine-bulbe.

4.1 V´erification en SGE

Comme nous l’avons ´evoqu´e, l’´etape de v´erification a pour objectif d’assurer que la solution num´erique pr´edite s’affranchit le mieux possible des choix faits pour r´esoudre le mod`ele num´erique. En particulier, le maillage qui permet de d´ecrire le domaine g´eom´etrique continu en un domaine discret doit ˆetre adapt´e `a la simulation,i.e.tel que l’erreur de discr´etisation associ´ee au mod`ele mis en œuvre et commise sur les quantit´es d’int´erˆet analys´ees puisse ˆetre consid´er´ee comme n´egligeable.

Pour une simulation s’appuyant sur une mod´elisation de la turbulence de type RANS, il est l´egitime d’exiger une solution num´erique qui soit ind´ependante ou quasi-ind´ependante du maillage. Consid´erant que ce type de simulation conduit le plus souvent `a des temps de calcul courts, une ´etape de convergence en maillage bas´ee sur une r´eduction syst´ematique de la taille de maille peut ˆetre mise en place. C’est ce qui a ´et´e fait dans ce travail o`u il a ´et´e v´erifi´e que les pr´edictions des simulations RANS ´etaient ind´ependantes du maillage. Dans le cas de simulations s’appuyant sur une mod´elisation de la turbulence de type SGE, les coˆuts de calcul et la nature mˆeme de l’approche ne permettent pas d’envisager la v´erification de la convergence en maillage de fa¸con similaire (cf. chapitre pr´ec´edent et rappels au d´ebut de la section qui suit). L’´etape de v´erification pour les SGE men´ees dans ce travail s’est donc appuy´ee sur la d´efinition de crit`eres permettant de r´ealiser un maillage fournissant un calcul fiable. Ces crit`eres sont d´etaill´es dans la section qui

suit et leur utilisation est illustr´ee dans le cas de SGE d’´ecoulements acad´emiques, d´emontrant la pertinence des crit`eres propos´es.

4.1.1 Double crit`ere de maillage en SGE

Comme cela a ´et´e ´evoqu´e dans le pr´ec´edent chapitre, la SGE r´esout explicitement les ´echelles turbulentes de taille sup´erieure aux cellules composant le maillage du domaine de calcul. L’in-fluence des ´echelles de plus petite taille (les ´echelles sous-maille) n’est prise en compte qu’`a travers un mod`ele mais n’est pas directement calcul´ee. Les mod`eles sous-maille utilis´es en SGE sont ainsi naturellement d´ependants d’une taille de filtre (ou ´echelle de coupure) caract´eristique distinguant les ´echelles r´esolues des ´echelles mod´elis´ees. Dans le cas limite, o`u le maillage utilis´e permet de r´esoudre toutes les ´echelles de la turbulence, le mod`ele devient n´egligeable et la SGE r´ealis´ee est ´equivalente `a une simulation directe (SND). En d’autres termes, la technique SGE n’a pas une convergence en maillage conduisant `a une solution ind´ependante de la discr´etisation. Lorsque la SGE est utilis´ee pour la pr´ediction d’´ecoulements industriels, une proc´edure est ainsi n´ecessaire pour “v´erifier” que le maillage utilis´e est adapt´e. Dans le cas des SGE, un maillage adapt´e doit r´epondre `a deux crit`eres. La SGE r´esout un champ filtr´e compos´e par le champ moyen et les plus grandes ´echelles du champ turbulent. Il s’agit donc de s’assurer que le maillage permet une r´esolution correcte de ce champ filtr´e, c’est-`a-dire une r´esolution correcte du champ moyen et une r´esolution suffisante des grandes ´echelles turbulentes.

Un premier crit`ere sur la r´esolution du champ moyen doit ˆetre d´efini. Ce crit`ere doit permettre d’assurer une bonne discr´etisation des gradients moyens de l’´ecoulement. Par exemple, c’est ce crit`ere qui impose un maillage fin dans la direction normale `a la paroi o`u l’on sait que les gra-dients de vitesses sont forts en r´egime turbulent. Dans ce travail, nous proposons de d´efinir une erreur en reprenant une m´ethodologie d’adaptation de maillage r´ecemment propos´ee [64, 5, 43]. Ainsi, il peut ˆetre montr´e que l’erreur d’interpolation, g^∗, d’une quantit´e continue, g, sur un domaine discret de taille de maille ∆p est born´ee par une quantit´e QC1, telle que

Qc₁= ∆²_pmax ∂²g^∗ ∂x²_i . (4.1)

Ce crit`ere peut ˆetre interpr´et´e dans le contexte SGE. En consid´erant la quantit´e filtr´ee instan-tan´ee, ¯f, pr´edite en SGE, cela revient `a dire que le champ moyen refiltr´e,hf^¯i=hf^¯i doit tendre vers le champ moyen,hf^¯i, et donc qu’il n’y a pas d’´echelle sous-maille associ´ee au champ moyen. En effet, en s’appuyant sur le d´eveloppement de Taylor de l’op´eration de filtrage [11], on peut montrer que hf^¯i ≈ hf^¯i+^∆ 2 p 24 ∂²hf^¯i ∂x2 i

o`u l’on retrouve l’op´erateur ∆²_p∂²/∂x²_i qui doit ˆetre minimis´e. Ainsi, nous proposons d’adapter le maillage du domaine de calcul en minimisantQc1 appliqu´e aux vitesses moyennes.

Un second crit`ere doit permettre de s’assurer qu’une part suffisante d’´echelles turbulentes est explicitement simul´ee pour que la SGE soit valide [20]. Pour cela, il faut v´erifier que la coupure induite par le filtre se produit au del`a des grandes ´echelles anisotropes, `a partir de la r´egion inertielle. En consid´erant une turbulence pleinement d´evelopp´ee, on peut montrer que c’est le cas lorsqu’au moins 80% de l’´energie cin´etique turbulente totale est r´esolue [130]. Un second crit`ereQc2 peut donc ˆetre d´efini [113] tel que

Qc₂ = ^Esgs

Esgs+ER

avec E_sgs et E_R = 1/2hu¯⁰_iu¯⁰_ii, respectivement les ´energies sous-maille et r´esolue. D’un point de vue pratique, d’un calcul SGE pr´eliminaire de taille de maille locale ∆p, on peut lier la proportion d’´energie cin´etique mod´elis´ee `a la viscosit´e sous-maille [38],ν_sgs,

E_sgs =C ν_sgs ∆_p 2 ,

avec C ≈100 [130, 175]. Finalement, sachant que la viscosit´e sous-maille varie comme la taille du filtre `a la puissance 4/3 [89], on peut d´eduire la nouvelle taille de maille, ∆<sub>f</sub>, n´ecessaire pour respecter le crit`ere de 80% d’´energie cin´etique r´esolue, `a partir de ∆p,

∆_f = ∆_p 0.2 Qc₂ 3/2 . (4.3)

La strat´egie mise en place pour assurer un maillage adapt´e en SGE consiste ainsi `a :

– ´evaluer Qc₁ et Qc₂ dans un premier maillage, en utilisant les relations (4.1) et (4.2). Ce premier maillage peut par exemple ˆetre choisi comme le maillage r´esultant d’une ´etude de convergence en maillage effectu´ee en RANS.

– utiliser ensuite l’´evaluation de Qc₁ et Qc₂ dans le maillage de base pour estimer les ca-ract´eristiques `a donner `a un nouveau maillage en minimisant Qc1 d’une part et en cher-chant `a satisfaire le crit`ere (4.3) d’autre part.

La d´emarche propos´ee est illustr´ee `a pr´esent pour deux configurations acad´emiques : la simula-tion d’un jet plan puis l’´ecoulement dans une conduite cylindrique.